<< Предыдущая

стр. 75
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ln M (x) ? 2 ln y0 ,
+?
?2 ?
v 2
?(?a ya +b1 y0 )± (?a ya +by0 ) +c1 y0
v
где M (x) = , ?, ?, ? — из (3.4);
y0

?2 ?2
?2
c1 b1 b4 b2
?2 (6.9)
u(x) = ? +2 +? ln + c3 +? ,
?2
y0 ? y0 y0 ?
где функция ?2 определяется из уравнения b3 ln ?2 + ? 2 ?2 = ?a xa + b2 y0 + b3 ln y0 +
c2 , ?, ?, ? (см. (3.3));
? b
u(x) = 2 (M (x) ? 2ax0 ? bc) + ?c2 sin M (x) + c3 +
? 2a
(6.10)
b
+?c2 cos M (x) + c3 ,
2a
где M (x) = ± 4a(ax2 + bcx0 + ?a xa ) + c1 , ?, ?, ? — из (3.4);
0
? b
(M (x) + 2ax0 ? bc) + ?c2 exp ? v M (x) + bx0 +
u(x) =
?2 a
(6.11)
1
v M (x) ? x0
+?c2 b + v,
a
ax2 + bcx0 + ?a xa + c1 , ?, ?, ?, v — из (3.5);
где M (x) = 0
320 В.И. Фущич, М.М. Серова

ua (x) = f a (x0 ? ?b xb ), (6.12)

где f a — произвольные дифференцируемые функции, ?a — производные постоян-
ные, причем ?a f a = 1, a = 1, 3;
3
y0 c2 ± c2 ? 3 ?a ya
v
1 1 y0
(6.13)
u(x) = cF (x), F (x) = .
a(?a ya )2
Таким образом, мы получили целый класс точных решений уравнений (6.1).
Замечание. Если решения уравнения (6.1) искать в виде

(6.14)
u(x) = x?(?),
v
где ? — новая неизвестная функция, то для ? = ?x exp(?x0 ) и ? = x 2 exp(?x0 ),
? = const, оно приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению отно-
сительно функции ?

?? (? + ?) + ?2 = 0,

интегрируя которое, получим алгебраическое уравнение
1 ?
(6.15)
exp = c1 ?.
? ?
Таким образом, с помощью подстановки (6.14) уравнение (6.1) приводится к алге-
браическому уравнению (6.15).
В заключение отметим, что аналогичным образом могут быть получены ча-
стные решения уравнений Эйлера и Гамильтона–Якоби [5].

1. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в кн.: Теоретико-алгебраические
исследования а математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
2. Серова М.М., Точные решения одного нелинейного уравнения второго порядка, в кн.: Теорети-
ко-алгебраические исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР,
1981, 29–34.
3. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнение, М., Наука, 1978, 400 с.
?u
= (u?)u, Siam. J. AppI. Math., 1973,
4. Rosen G., Ullrich G.W., Invariance group of the equation ?t
24, № 3, 286–288.
5. Овсянников Л.В., Лекции по основам газовой динамики, М., Наука, 1981, 367 с.
6. Серова М.М., О некоторых классах точных решений нелинейных дифференциальных уравне-
ний, инвариантных относительно групп Евклида и Галилея, Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат.
наук, Киев, 1983, 16 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 321–323.

О максимальной группе инвариантности
и общем решении одномерных уравнений
газовой динамики
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВА

Групповые свойства уравнений газовой динамики детально исследовал Л.В. Ов-
сянников [1, 2], который установил, что максимально широкой локальной группой
Ли уравнений газовой динамики
D? + ? div u = 0,
1
Du + ?p = 0, (1)
?
Ds = 0, p = f (p, s),

где D = ?/?x0 + u?, ? = ?(x), p = p(x), u = u(x) = {u1 (x), u2 (x), u3 (x)}, x0 = t,
для случая политропного газа (с показателем ? = 5/3), является 14 параметриче-
ская группа.
Наше основное наблюдение, о котором речь пойдет ниже, состоит в том, что
уравнения (1) для одномерного движения, и только в этом случае, допускают груп-
пу значительно шире, чем группа, установленная в [2]. Оказывается, одномерные
уравнения (1) обладают уникальной симметрией — бесконечно параметрической
группой C? . Именно это свойство уравнений (1) в одномерном случае и дает во-
зможность найти общее решение одномерных уравнений газовой динамики. Риман
впервые, не используя в явном виде групповые свойства уравнений (1), нашел его
частное решение в виде простых волн.
Следует отметить, что одномерные уравнения Даламбера, Лиувилля также до-
пускают группу C? . Этот факт и является причиной их интегрируемости.
Для одномерного течения политропного газа
?2 3
— параметр, (2)
p= ?, ?
3
уравнения (1) запишем в виде
u0 + u1 u0 + u0 u1 = 0,
0 1 1
(3)
1 11 200
u0 + u u1 + ? u u1 = 0,
где введены следующие обозначения:
?uµ
u0 ? ?, u1 ? u, uµ = , µ, ? = 0, 1.
?
?x?
Цель настоящей заметки такова: 1) показать, что одномерные уравнения (3)
допускают бесконечно параметрическую группу C? ; 2) построить общее решение
уравнений (3).
Доклады академии наук СССР, 1983, 268, № 5, С. 1102–1104.
322 В.И. Фущич, Н.И. Серова

Для установления группы инвариантности системы (3) необходимо, как хорошо
известно [1, 3], найти коэффициентные функции инфинитезимального оператора
? ?
X = ? µ (x, u) + ? ? (x, u) ? , u = (u0 , u1 ). (4)
?xµ ?u
Можно показать, что эта задача сводится к решению следующих систем:
?0 + u1 ?1 + u0 ?1 = 0,
0 0 1
(5)
?0 + u1 ?1 + ?2 u0 ?1 = 0;
1 1 0


? 0 = ?u0 (?0 ? ?1 + 2u1 ?1 ),
0 1 0
(6)
? 1 = ?u1 (?0 ? ?1 + u1 ?1 ) ? (?u0 )2 ?1 + ?0 ;
0 1 0 0 1


0 1 0 1
(7)
?u0 = ?u1 , ?u1 = ?u0 ;

?u0 = u1 ?u0 ? ?2 u0 ?u1 ,
1 0 0
(8)
?u1 = u1 ?u1 ? u0 ?u0 .
1 0 0


Из условия совместности системы (8) имеем
20
?u0 u0 ? ?2 ?u1 u1 +
0 0
(9)
? 0 = 0.
u0 u
Таким образом, для отыскания функций ? µ нужно найти общее решение уравне-
ния типа Дарбу (9). Замечательным свойством уравнения (9) является то, что оно
допускает группу G? , точнее, справедлива
Теорема 1. Максимальной группой инвариантности (м.г.и.) уравнения (9) яв-
ляется бесконечно параметрическая группа Ли вида
(uµ ) = uµ + ?? µ + o ?2 , (? 0 ) = ? 0 + ?? + o ?2 . (10)
Коэффициенты инфинитезимального оператора
? ?
X = ? µ (u, ? 0 ) + ?(u, ? 0 ) 0
?uµ ??
задаются формулами
? 0 = f (u1 + ?u0 ) + g(u1 ? ?u0 ),
? 1 = f (u1 + ?u0 ) ? g(u1 ? ?u0 ) + c1 ,
(11)
?0
? = c2 ? 0 ? 0 + b(u),
u
где f , g — произвольные функции от ? и u, c1 , c2 = const, b(u) — произвольное
решение уравнения Дарбу (9).
Эта теорема “подсказывает” (см. формулы (11)) замену
W1 = u1 ? ?u0 ,
W0 = u1 + ?u0 , (12)
с помощью которой (9) сводится к уравнению
? 2 [(W0 ? W1 )? 0 ]
(13)
= 0.
?W0 ?W1
О максимальной группе инвариантности и общем решении 323

Из (13) получаем, что общее решение уравнения (9) имеет вид
F (x, u1 + ?u0 ) + G(x, u1 ? ?u0 )
?0 = (14)
,
2?u0
F , G — произвольные функции. Подставив (14) в (8)–(5), окончательно получаем
x0 F 0 + G0 + x0 F 1 + G1
0
?= ,
2?u0
(u1 ? ?u0 )(x0 F 0 + G0 ) + (u1 + ?u0 )(x0 F 1 + G1 ) (15)
?1 = + H(x),
2?u0
1 1
? 0 = ? (F 0 + F 1 ), ? 1 = ? (F 0 ? F 1 ),
2 2
где F 0 = F 0 (?0 ), F 1 = F 1 (?1 ), G0 = G0 (?0 ), G1 = G1 (?1 ) — произвольные
функции, H(x) = c? x? + d, c? , d = const,
?0 = x0 (u1 + ?u0 ) ? x1 , ?1 = x0 (u1 ? ?u0 ) ? x1 . (16)
Итак, мы нашли м.г.и. уравнения (3), т.е. доказали следующее утверждение.
Теорема 2. Максимальной группой инвариантности уравнений (3) является
бесконечно параметрическая группа Ли вида
xµ = xµ + ?? µ + o ?2 , (uµ ) = uµ + ?? µ + o ?2 , (17)
где ? µ и ? µ задаются формулами (15).
С учетом локальной замены (см. формулы (16))
V 0 = x0 (u1 + ?u0 ) ? x1 , V 1 = x0 (u1 ? ?u0 ) ? x1 (18)
система (3) распадается на два незацепленных уравнения
x0 V00 + (V 0 + x1 )V10 = 0, x0 V01 + (V 1 + x1 )V11 = 0. (19)
Общее решение уравнения (19) имеет вид
V 0 + x1 V 1 + x1
= ?0 (V 0 ), = ?1 (V 1 ). (20)
x0 x0
Возвращаясь к функциям u и ?, получаем общее решение уравнений одномерной
газовой динамики
x1
u ± ?? = ?± x0 ? (21)
,
u ± ??
где ?± — произвольные дифференцируемые функции.
Этот результат говорит о том, что в одномерном случае скорость u и плотность
? газа связаны довольно общим функциональным соотношением (21).

1. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
2. Овсянников Л.В., Лекции по основам газовой динамики, М., Наука, 1981, 350 с.
3. Фущич В.И., В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике, Киев,
1981, 6–28.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 324–330.

On some exact solutions
of the nonlinear Dirac equation
W.I. FUSHCHYCH, W.M. SHTELEN
Multiparametrical exact solutions of the nonlinear Dirac equation are found within the
framework of the group-theoretical approach. A procedure for generating new solutions
from known ones is presented. The solutions obtained are analytic in the coupling
constant, vanishing at infinity and describe the oscillations with the corresponding
solutions of the equation without self-interaction as amplitude.

1. Introduction
In this paper the multiparametrical exact solutions of nonlinear Dirac equations
are obtained with the help of the group-theoretical approach. The equations have the
form:
?
i?µ ?/?xµ ? m ? ?(?(x)?(x))k ?(x) = 0, (1)

?

<< Предыдущая

стр. 75
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>