<< Предыдущая стр. 78(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>

where the nonsigular matrix A(x) = {a? (x)} and new variables ? = ?(x) are determi-
?
ned from the conditions
QA(x) ? [? µ (x)?µ + ?(x)] A(x) = 0, ? µ (x)?µ ?(x) = 0, (8)
where Q is an infinitesimal operators of the form (6) admitted by eq. (2). The unknown
functions ?a (?) are to be determined from eq. (2).
?
Let us begin from the conformally invariant solutions. One can make sure that the
following functions satisfy eq. (8) with the operator Q (4)
g?? x? x? ?x
?2 ? (9)
a?? = , ?= , ?c = 0,
?x (x x? )2 x? x?
x?
where ? ? are arbitrary real constants.
So we get the conformally invariant ansatz
?a (?) x? ?a (?) ?x
? 2x? ? ? 2 ,
?
a
(10)
W? (x) = ?= .
x? x? x? x?
(x x? )
Using (10), the field equations (2) can ho rewritten as follows:
? 2 ?a ? ?? ? µ ?a + e?abc ? µ ?b ?c ? ?? g ?µ ?b ?c + 2? µ ?b ?c +
?? ?µ ?µ ? ? ?? µ ??
(11)
+e2 ?b g µ? ?b ?a ? ?b ?a = 0,
µ ?? ??

where the dot means d/d?.
Conformal symmetry and new exact solutions of SU2 Yang–Mills theory 333

The simplest solutions of eq. (11) are
?a (?) = g a (?)?? , (12)
?

where g a (?) are arbitrary differentiable functions.
?a (?) = ??abc cb cc ? 2 + ca ? + ca ?? ,
? 12 2 1
(13)
2?(?µ ?? ? ?µ ? ) = e(?µ ?? ? ?µ ?2 ),
2

where ca , ca , ?? , ? are arbitrary real constants.
1 2
Now it is easy to write down the conformally invariant solutions of eq. (2)
W? (?) = g a (?)?? ?,
a
? = ?x/x? x? , (14)
g a (?) are arbitrary differentiable function.
?? ?x
W? (x) = ??abc cb cc ? 2 + ca ? + ca ? 2x? ?
a
,
12 2 1 ?x (x x? )2
x? (15)
2? ?µ ?? ? ?µ ? 2 = e ?µ ?? ? ?µ ?2 .
Let us note that
W? (x) = g a (f )?? f
a
(16)
satisfy eq. (2) with the arbitrary differentiable function f = f (x). A solution invariant
under the displacements obtained in the same may has the form
W? (x) = ??abc cb cc (kx)2 + ca (kx) + ca b? ,
a
12 2 1
(17)
2? kµ bk ? bµ k = e bµ bk ? kµ b ,
2 2

where ?, ca , ca , b? , k? are arbitrary real constants.
1 2
In [4, 5] it is shown that if an equation is invariant under transformations of the
form
x > x = f (x, ?), ?(x) > ? (x ) = R(x, ?)?(x), (18)
where R(x, ?) is a nonsingular matrix, ? are parameters of transformations, then the
formula
?new (x) = R?1 (x, ?)?old (x) (19)
gives a “new” solution ?new (x) of the equation, starting from an “old” one ?old (x).
In the case of special conformal transformations (3) the formula of generating new
solutions of eq. (2) takes the form
?
?µ 2
(cµ x? ? xµ c? + 2cxxµ c? ?
a
Wµ(new) (x) = +2
?(x) ? (x)

?c2 xµ x? ? x2 cµ c? a
W?(old) (x ),
(20)

xµ ? cµ x2
?(x) = 1 ? 2cx + c2 x2 ,
xµ = ,
?(x)
cx ? c? x? , c2 ? c? c? , x2 ? x? x? .
334 W.I. Fushchych, W.M. Shtelen

Upon application of this formula to some known solution of eq. 2, one obtains new
family of exact solutions of eq. (2).
Now everybody can easily write down analogous formulae of generating exact
solution of eq. (2) for the rest transformations of the invariance group of eq. (2).
In conclusion let us note that we have obtained exact solutions of the nonlinear
Dirac equation [4, 6], the relativistic eikonal equation [5], the quantum electrodyna-
mics nonlinear equations [7] by the same method.

1. Schwartz F., Lett, Math. Phys., 1982, 6, 355.
2. Actor A., Rev. Mod. Phys., 1979, 51, № 3, 401.
3. Fushchych W.I., in Algebraic-Theoretic Studies in Mathematical Physics, Kiev, Institute of Mathe-
matics, 1981, 6–28 (in Russian).
4. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A, 1983, 16, 271.
5. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Lett. Nuovo Cimento, 1982, 34, 498.
6. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Dokl. Akad. Nauk USSR, 1983, 269, № 1, 88 (in Russian).
7. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Phys. Lett. B, to be published.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 335–339.

Об инвариантных решениях нелинейного
уравнения Дирака
В.И. ФУЩИЧ, В.М. ШТЕЛЕНЬ

В работе с использованием теоретико-группового подхода получены некоторые
классы точных решений нелинейного уравнения Дирака
?
i? µ ?µ ? ?(?(x)?(x))k ?(x) = 0, (1)
где ?µ ? ?/?xµ , µ = 0, 1, 2, 3, ?µ — матрицы Дирака [1], ?, k — произвольные по-
стоянные; указан способ генерирования новых решений по известным решениям;
кратко обсуждаются групповые свойства и решения релятивистского уравнения
Гамильтона–Якоби.
1. Хорошо известно, что уравнение (1) при произвольном k инвариантно отно-
сительно группы Пуанкаре P (1, 3), дополненной масштабными преобразованиями,
а при k = 1/3 (нелинейность Гюрши [2]) — относительно 15-параметрической
группы конформных преобразований C(1, 3).
Общий вид генератора этих преобразований следующий:
Q = ? µ (x)?µ + ?(x), (2)
где ? µ (x), µ = 0, 1, 2, 3, — скалярные функции, зависящие от x, ?(x) — матрица
размерности 4 ? 4, зависящая от x.
Решения уравнения (1), следуя [3], ищем в виде
(3)
?(x) = A(x)?(?),
где ? = ?(x) — инварианты дифференциальной части оператора Q (2), т.е. фун-
кции, удовлетворяющие уравнению
? µ (x)?µ ?(x) = 0; (4)
?(?) — 4-компонентная спинорная функция, зависящая от новых переменных ?.
Несингулярную матрицу A(x) размерности 4 ? 4 определим из условия
QA(x) ? (? µ (x)?µ + ?(x)) A(x) = 0. (5)
После того как A(x) и ? найдены из (5) и (4), подстановка выражения (3) в (1)
приводит к системе дифференциальных уравнений для ?(?), которая, как правило,
значительно проще исходной. Решив систему для ?(?), мы найдем некоторый
класс точных решений уравнения (1).
2. Реализуем приведенный алгоритм для уравнения (1) с нелинейностью Гюрши
(k = 1/3), инвариантного относительно конформных преобразований, генератор
которых имеет вид
Qconf = 2(cx)x? ? x2 c? + (?c?x + 2cx), (6)
Доклады академии наук СССР, 1983, 269, № 1, С. 88–92.
336 В.И. Фущич, В.М. Штелень

где cµ — произвольные постоянные; cx ? c? x? , x2 ? x? x? . Непосредственной
проверкой убеждаемся, что матрица
?x
(7)
A(x) =
(x? x? )2
удовлетворяет условию (5) с оператором (6), т.е.
?x
? 0. (8)
Qconf
(x? x? )2
Из условия (4), имеющего для оператора (6) вид

2(cx)x? ? x2 c? ?(x) = 0, (9)

находим полный набор инвариантов конформных преобразований:

c2 xµ ? cµ cx
(10)
?µ = .
x? x?
В дальнейшем будем предполагать, что ?(?) зависит только от одного инварианта
?x
(11)
?= ,
x? x?
где ? ? — произвольные постоянные, ?c = 0, представляющего собой линейную
комбинацию инвариантов ?µ (10).
Подстановка выражения
?x ?x
(12)
?(x) = ?(?), ?= ,
(x? x? )2 x? x?
в уравнение (1) с k = 1/3 приводит к системе нелинейных обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений для ?(?)
d? ?
(??)1/3 (??)?, (13)
=i ?
?? ? ?
d?
для которой получаем общее решение
??
?(?) = exp[i??(??)?]? ? (14)
cos(????) + i sin(????) ?,
?

где ? = (?? ? ? )1/2 , ?? ? ? > 0, ? — постоянный спинор,

a1/3
?=
?? = a = const,
? .
? ? ??
Итак, конформно инвариантное решение уравнения (1) с k = 1/3 имеет вид
?x
exp{i??(??)?}? ?
?(x) =
(x? x? )2
(15)
?x ??
? cos(????) + i sin(????) ?.
(x? x? )2 ?
Об инвариантных решениях нелинейного уравнения Дирака 337

Решение (15) аналитично по константе связи ?, в то время как недавно получен-
ное с помощью анзатца Гейзенберга [4] решение Мерве [5] не обладает таким
свойством. Кроме того, для функций (15)
a
? (16)
?(x)?(x) = ,
(x? x? )3
т.е быстро убывает при x? x? > ?.
Стоит также отметить, что в случае n пространственных переменных конформ-
но инвариантное уравнение имеет вид

?
i? ? ?? ? ?(?(x)?(x))1/n ?(x) = 0, (17)
? = 0, 1, . . . , n,

а его конформно инвариантное решение следующее:
?x
(18)
?(x) = exp{i??(??)?}?.
(x? x? )(n+1)/2
? ? x?
Здесь ?-матрицы имеют надлежащую структуру (см., например, [6]), ? = x? x? ,
1/n
? = ?? ? ? , ?? = a, ? — постоянный спинор, ? ? (? = 0, 1, . . . , n) — произвольные
a
?
постоянные, ? ? ?? > 0.
Приведем теперь лоренц-инвариантное решение уравнения (1) с массой m, т.е.
уравнения
?
i?? ? m ? ?(?(x)?(x))k ?(x) = 0, (19)

полученное таким же способом, как и предыдущее решение, но с помощью опера-
тора лоренцовских поворотов
1
J0a = x0 ?a + xa ?0 ? ?0 ?a , (20)
QL = ?a J0a , a = 1, 2, 3,
2
?a — произвольные постоянные.
? ?
?3 ?? ?3 1 ?? 1
s+ ? s? ?
?? ?
? ? s+ ? s?
 << Предыдущая стр. 78(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>