<< Предыдущая

стр. 79
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ?
? ?
? ?+ ?
?3 ?+ 1 ?3 1
? ?
? ?
s+ s?
?? ?
? ? s+ ? s?
?(x) = ? ??
? ?
?s ?
1
? ?
0 0
+
? ?
s+
? ?
? ?
1
0 s? 0 (21)
s?
? ?
1
v [F0 cos(? + ?0 ) + iG0 sin(? + ?0 )]
? ?
?
? ?
? ?
? ?
1
v [F1 cos(? + ?1 ) + iG1 sin(? + ?1 )]
?? ?,
? ?
?
? ?
? ?[G cos(? + ? ) + iF sin(? + ? )] ?
? ?
0 0 0 0

?[G1 cos(? + ?1 ) + iF1 sin(? + ?1 )]
338 В.И. Фущич, В.М. Штелень

где ? = {?1 , ?2 , ?3 }, ?0 , ?1 , F0 , F1 , G0 , G1 , C = 4(F0 G0 + F1 G1 ) — произвольные
постоянные;
1/2
?± = ?1 ± i?1 , 2 2 2
? = ?1 + ?2 + ?3 ,
s± = (?x0 ± x · ?)1/2 , ? = (?x0 )2 ? (x · ?)2 ,
mv
?ck (22)
? (1?k)/2 ?
?= ?, k = 1,
?(k ? 1) ?
mv
?c
? = ? ln ? ? ?, k = 1.
2? ?
Это решение также аналитично по константе связи ? и
v
?
?(x)?(x) = c/ ?.

3. Кратко обсудим вопрос о генерировании новых решений уравнения (1) по
известным решениям. Общий вид преобразований, порождаемых оператором Q (2),
следующий:

x > x = f (x, ?), ?(x) > ? (x ) = R(x, ?)?(x), (23)

где R(x, ?) — матрица размерности 4 ? 4, ? — параметр преобразований. Из того
что множество решений уравнения (1) инвариантно относительно преобразований
вида (23), следует:

?II (x) = R?1 (x, ?)?I (x ) (24)

будет также решением этого уравнения, если ?I (x) является решением.
Конформные преобразования, порождаемые оператором (6), имеют вид

xµ ? cµ x2
?(x) = 1 ? 2cx + c2 x2 ,
xµ = ,
?(x)
(25)
? (x ) = Rconf ?(x) = ?(x)(1 ? ?c?x)?(x),
Rconf = ? ?2 (x)(1 ? ?x?c).

Решение (21) при k = 1/3 и m = 0 можно использовать для получения другого
решения уравнения (1) с нелинейностью Гюрши согласно формулам (24), (25).
Аналогично следует поступать и в других случаях.
4. В заключение приведем пример скалярного нелинейного уравнения, на мно-
жестве решений которого реализуется нелинейное представление группы Ли.
Теорема. Максимальная локальная группа инвариантности релятивистского
уравнения Гамильтона–Якоби
?u ?u
(26)
= 1, µ = 0, 1, 2, 3,
?xµ ?xµ

есть 21-параметрическая группа Ли C(1, 4) конформных преобразований в 5-
мерном пространстве Пуанкаре–Минковского M (1, 4).
Доказательство этой теоремы можно получить с помощью метода Ли [7].
Об инвариантных решениях нелинейного уравнения Дирака 339

Не выписывая всех преобразований инвариантности уравнения (26), приведем
лишь наиболее интересные — чисто конформные:
xµ ? cµ x2 ? u2 (x)
xµ = ,
1 ? 2cx + 2c4 u(x) + (c2 ? c2 ) (x2 ? u2 (x))
4

u(x) ? c4 x2 ? u2 (x) (27)
u (x ) = ,
1 ? 2cx + 2c4 u(x) + (c2 ? c2 ) (x2 ? u2 (x))
4

x2 ? x? x? , cx ? c? x? , c2 ? c? c? .
µ, ? = 0, 1, 2, 3,
Формулы (27) также можно использовать для построения новых решений уравне-
ния (23) по его известным решениям. Это следует из следующего факта: из того
что уравнение (26) инвариантно относительно преобразований вида
xµ > xµ = fµ (x, u(x), ?),
(28)
u(x) > u (x ) = g(x, u(x), ?),

? — параметры, вытекает, что если uI (x) — решение этого уравнения, то новое
его решение uII (x) находится из функционального уравнения

g(x, uII (x), ?) = uI (x = f (x, uII (x), ?).

Приведем некоторые точные решения уравнения (26):

1) u(x) = f (?? x? ) + ? ? x? , ?? ?? = ?? ?? = 0, ? ? ?? = 1,
f — произвольная дифференцируемая функция;
1/2
2) u(x) = ± (?? x? )2 + x? x? ?? a? = ?1;
,
1/2
3) u(x) = ± x2 ? (?a xa )2 , ?a ?a = 1, a = 1, 2, 3;
0
v
4) u(x) = ± x? x? ,

?? , ?? — произвольные постоянные, удовлетворяющие указанным условиям.

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей, М., 1976.
2. G?rsey P., Nuovo Cim., 1956, 3, 988.
u
3. Фущич В.И., В кн. Теоретико-алгебраические исследования в математической физике, Киев,
1981, 6–28.
4. Heisenberg W., Z. Natur-forsch. A, 1954, 9, 292.
5. Merwe P.T., Phys. Lett. B, 1981, 106, № 6, 485.
6. Boerner H., Representations of groups, North-Holland, 1970.
7. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 340–347.

О линейных и нелинейных системах
дифференциальных уравнений,
инвариантных относительно группы
Шредингера
В.И. ФУЩИЧ, В.М. ШТЕЛЕНЬ
Получены линейные и нелинейные системы дифференциальных уравнений, инвари-
антные относительно группы Шредингера и описывающие движение нерелятивист-
ской частицы массы m с произвольным спином s.

The Schr?dinger-invariant linear and nonlinear systems of differential equations are
o
obtained. They describe the motion of nonrelativistic massive particles with arbitrary
spin s.

Введение
Группа Шредингера Sch(1, 3) — максимальная локальная 13-параметрическая
группа инвариантности уравнения Шредингера [1].

? ? p0 ? p ,
2
?
S?k (t, x) = 0, S
2m
(0.1)
? ?
p = pa = ?i
p0 = i , , a = 1, 2, 3, k = 1, 2, . . . , n.
?t ?xa
Группа Sch(1, 3) содержит в качестве подгруппы группу Галилея G(1, 3) и группу
проективных и масштабных преобразований (более подробно об этом см., напри-
мер, [2, 3] и цитированную там литературу).
На множестве решений уравнения (0.1) реализуется неприводимое представ-
ление D(m, s = 0) группы Sch(1, 3), т.е. представление с массой m и нулевым
спином s = 0.
Требование инвариантности уравнений движения для частиц с ненулевым спи-
ном s = 0 в нерелятивистской квантовой теории относительно группы Sch(1, 3)
аналогично требованию конформной инвариантности в релятивистской теории.
Так, например, система свободных безмассовых векторных полей
2E = 0, E = {E1 , E2 , E3 },
(0.2)
2H = 0, H = {H1 , H2 , H3 },
инвариантна относительно конформной группы C(1, 3) только тогда, когда E и
H удовлетворяют уравнениям Максвелла [4]. Этот результат можно использовать
для вывода релятивистских уравнений движения для безмассовых частиц.
Отметим также, что, как хорошо известно, среди всех скалярных пуанкаре-
инвариантных уравнений вида
2? + F (?) = 0 (0.3)
Теоретическая и математическая физика, 1983, 56, № 3, С. 387–394.
О системах, инвариантных относительно группы Шредингера 341

существует только одно конформно-инвариантное нелинейное уравнение с куби-
ческой нелинейностью F (?) = ??3 .
Аналогичный результат имеется и в нерелятивистской теории: среди всех га-
лилеево-инвариантных уравнений вида
S? + F (?, ? ? ) = 0,
? (0.4)
существует только одно нелинейное уравнение
S? + ?(? ? ?)2/3 ? = 0,
? (0.5)
инвариантное относительно группы Sch(1, 3) [5].
Приведенная аналогия между релятивистскими и нерелятивистскими полями
лежит в основе наших дальнейших рассуждений.
В настоящей работе решены следующие две задачи.
1. Найдены уравнения (условия) на вектор-функцию
?
? = {?1 , . . . , ?n }, (0.6)
S? = 0,
при которых на множестве решений уравнения (0.6) реализуется представление
группы Sch(1, 3) с массой m и ненулевым спином s, т.е. из требования инвари-
антности относительно группы Sch(1, 3) и условия (0.6) найдены уравнения дви-
жения для нерелятивистской частицы с ненулевым спином. Некоторые из выве-
денных таким способом уравнений движения известны в литературе: уравнения
Леви–Леблонда [6], Хагена–Герлея [7] получены этими авторами из совершенно
других предпосылок; некоторые уравнения получены впервые.
2. Описаны нелинейные системы дифференциальных уравнений второго поряд-
ка вида
S?k = Fk (?l , ? ? ),
? (0.7)
k, l = 1, 2, . . . , n,
l

инвариантные относительно группы Sch(1, 3), т.е. в явном виде построены все
функции Fk , при которых уравнение (0.7) инвариантно относительно группы
Sch(1, 3).
1. Основные определения и постановка задачи
Определение 1. Система дифференциальных уравнений для вектор-функции
? = ?(t, x)
? (1.1)
S? = 0
?
(S — оператор Шредингера (0.1)) инвариантна относительно группы Шредин-
гера Sch(1, 3), если
? ? (1.2)
или
SQl ? = 0, [S, Ql ]? = 0,
где Ql — базисные элементы алгебры Ли группы Sch(1, 3), явный вид которых
следующий:
? ?
pa = ?i
p0 = i , , a = 1, 2, 3,
?t ?xa
?
Ja = (x ? p)a + Sa , Ga = tpa ? mxa + ?a , (1.3)
1
D = 2tp0 ? xp + ?0 , A = tD ? t2 p0 + mx2 ? ?x, E = m,
2
?
Sa , ?a , ?0 — некоторые матрицы.
342 В.И. Фущич, В.М. Штелень

Можно проверить, что эти операторы реализуют представление алгебры
Sch(1, 3), т.е. удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Sch(1, 3)
?
[3], если матрицы ?a , Sa , ?0 удовлетворяют соотношениям

<< Предыдущая

стр. 79
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>