<< Предыдущая

стр. 80
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?? ?
[Sa , Sb ] = i?abc Sc , [?a , ?b ] = 0, [?0 , ?a ] = i?a ,
(1.4)
? ?
[?0 , Sa ] = 0, [?a , Sb ] = i?abc ?c .

?
Явный вид матриц Sa , ?a , удовлетворяющих алгебре (1.4), построен в [3].

2. Уравнения движения, инвариантные относительно группы Sch(1, 3)
Теорема 1. Система уравнений (1.1) инвариантна относительно группы
Sch(1, 3), если и только если удовлетворяются уравнения
3
L ? ?0 ? i ? ? · p/m, (2.1)
L? = 0,
2

? ? ?a ?a ? ?2 + ?2 + ?2 . (2.2)
?? = 0, 1 2 3

Доказательство. Достаточность. Непосредственной проверкой можно убеди-
ться, что
? для (2.3)
[S, Ql ] = 0 l = 1, 2, . . . , 10, 13,

? ? ?
[S, Q11 ] ? [S, D] = 2iS, (2.4)

? ? ?
[S, Q12 ] ? [S, A] = 2itS + iL. (2.5)

Необходимость. Легко проверить, что система уравнений (1.1), (2.1) и (2.2)
инвариантна относительно группы Шредингера:

для l = 1, 2, . . . , 11, 13,
[L, Ql ] = 0
(2.6)
[L, Q12 ] ? [L, A] = (im)?1 ?,

для l = 1, 2, . . . , 10, 13,
[?, Ql ] = 0
(2.7)
[?, D] = ?2i?, [?, A] = ?2it?.

Таким образом, теорема доказана.
?
Итак, на множестве решений системы (1.1), (2.1) и (2.2), когда матрицы Sa , ?0 ,
?a реализуют нетривиальное представление алгебры (1.4), реализуется представ-
ление группы с массой m и спином s. Величина спина зависит от размерности
?
представления матриц Sa , реализующих приводимое или неприводимое представ-
ление алгебры Ли группы Sch(1, 3). Для явного построения уравнений (2.1), (2.2)
(дополнительных условий к (1.1)) необходимо иметь явные выражения для матриц
?
Sa , ?a . Эти матрицы построены в [3]. В зависимости от того, какое представле-
?
ние для матриц Sa , ?a выбирать, мы получим различные галилеево-инвариантные
уравнения (1.1), (2.1), (2.2).
Ниже мы приведем несколько примеров уравнений (2.1), (2.2) в явном виде для
частиц со спином 1/2 и произвольным спином s.
О системах, инвариантных относительно группы Шредингера 343

Пример 1. Рассмотрим представление D(s) ? D(s) для матриц
Sa 0
? (2.8)
Sa = ,
0 Sa
где Sa — матрицы, реализующие неприводимое представление алгебры Ли группы
SU (2), 0 — нулевые матрицы соответствующей размерности. Матрицы ?0 и ?a
имеют вид
i 30 0 0
(2.9)
?0 = , ?a = .
05 Sa 0
2
В развернутой записи система (1.1), (2.1), (2.2) имеет вид
?1
?
S? = 0, ?= ,
?2 (2.10)
im?2 ? S · p?1 = 0,
где ?1 и ?2 — (2s + 1)-компонентные функции. В частности, для спина s = 1/2
матрицы Sa = 1 ?a (?a — матрицы Паули), и система (2.10) запишется следующим
2
образом:
?1
?
S? = 0, ?= ,
?2 (2.11)
2im?2 ? (? · p)?1 = 0,
(?1 и ?2 — двухкомпонентные спиноры), или в эквивалентном виде:
p0 ?1 ? i(? · p)?2 = 0,
(2.12)
2im?2 ? (? · p)?1 = 0.
Эта система совпадает с уравнениями движения Леви–Леблонда [6] для нереля-
тивистской частицы со спином s = 1/2.
?
Пример 2. Пусть матрицы Sa реализуют представление D(s) ? D(s ? 1) [3]:
Sa 0
? (2.13)
Sa = .
0 ?a
Тогда
i 30 0 0
?0 = , ?a = ,
05 Ka 0
2
здесь и в дальнейшем Sa , ?a — матрицы, реализующие неприводимое представле-
ние D(s) и D(s ? 1), соответственно, алгебры Ли группы SU (2); Ka — матрицы
размерности (2s + 1) ? (2s ? 1), их свойства детально обсуждаются в приложении.
В этом случае система уравнений (1.1), (2.1), (2.2) имеет вид
? ? ? ?
?1 ?1
? ? ? ?
? . .
? ?=? ?, ?=? ?,
. .
S? = 0, ?= , . .
? (2.14)
?2s+1 ?2s?1
im? ? (K · p)? = 0.
344 В.И. Фущич, В.М. Штелень

В частности, для частицы со спином s = 1 получаем

(Sa )bc = ?i?abc , (2.15)
K1 = (i00), K2 = (0i0), K3 = (00i),

и система (2.14) принимает вид
? ? = {?1 , ?2 , ?3 , ?},
S? = 0,
(2.16)
m? ? pa ?a = 0.

Эти систему, инвариантную относительно группы Шредингера Sch(1, 3), можно
рассматривать как нерелятивистский аналог релятивистского уравнения Прока
[2, 3] для векторных частиц (s = 1).
?
Пример 3. Пусть матрицы Sa реализуют представление D(s) ? D(s) ? D(s ? 1),
тогда [3]
? ? ? ? ? ?
Sa 0 0 0 00 300
i i
Sa = ? 0 Sa 0 ? , ?a = ? ? Sa 0 0 ? , ?0 = ? 0 5 0 ? (2.17)
?
2s 2
0 0 ?a Ka 0 0 005

(Sa , ?a — матрицы, реализующие неприводимое представление D(s) и D(s ? 1),
соответственно, алгебры SU (2)), а система (1.1), (2.1), (2.2) принимает вид
? 1? ? 1?
?? ?k ?
?1
?.? ?.?
S? = 0, ? = ? ?2 ? , ?k = ? . ? , k = 1, 2, ? = ? . ? ,
?
. .
(2.18)
? 2s+1 2s?1
?
?k
2ms?2 + (S · p)?1 = 0, 2ms? + (K · p)?1 = 0.

Используя (П.2), систему (2.18) можно переписать в эквивалентном виде:

sp0 ?1 + S · p?2 + Ka pa ? = 0,
(2.19)
2ms?2 + S · p?1 = 0, 2ms? + K · p?1 = 0.

Эта система, инвариантная относительно группы Шредингера Sch(1, 3), совпада-
ет с уравнениями движения Хагена–Герлея [7] для нерелятивистской частицы с
произвольным спином s и массой m. Другие системы дифференциальных уравне-
ний, инвариантные относительно группы Sch(1, 3), получаются аналогичным обра-
?
зом при использовании других представлений матриц Sa , ?a .

3. Конечные преобразования группы Шредингера
Прежде всего отметим, что встречавшиеся нам в разделе 2 матрицы ?a ниль-
потентны 2-го и 3-го порядка. С учетом этого обстоятельства мы и приводим
конечные преобразования для ?(x), хотя обобщение на более сложные случаи
вполне очевидно.
Галилеевские преобразования:

x = x + vt,
t = t,
(3.1)
v2 (i? · v)2
? (x ) = exp im vx + I ? i(? · v) +
t ?(x).
2 2!
О системах, инвариантных относительно группы Шредингера 345

Масштабные преобразования:
x = exp{?}x,
t = exp{2?}t,
(3.2)
? (x ) = exp{i??0 }?(x)

(запись exp{i?0 } означает подстановку в показатель степени матричных элементов
диагональной матрицы ?0 ).
Проективные преобразования:
x
t
x=
t= , ,
1 ? ?t 1 ? ?t
i?
? (x ) = (1 ? ?t)?i?0 exp{if } I ? (? · x)+
1 ? ?t (3.3)
2
mx2 ?
1 i?
(? · x)2 ?(x), f?
+ .
1 ? ?t 2 1 ? ?t
2!

Доказательство справедливости формул (3.1)–(3.3) проще всего сделать, прове-
рив выполнимость уравнений Ли. Продемонстрируем это на примере проективных
преобразований (3.3):
mx 2
?? (x )
? (x ) + (1 ? ?t)?i?0 exp{if }?
= i?0 t ? (x ) + i
?? 2
2
?·x i? 1 i?
? ?i I? ?·x+ (? · x)2 ?(x) =
1 ? ?t 1 ? ?t 1 ? ?t
2!
mx 2
??·x
= i t ?0 + ? (x ),
2
т. e. уравнения Ли для оператора A из (1.3) удовлетворяются тождественно.

4. Нелинейные системы дифференциальных уравнений,
инвариантные относительно группы Шредингера
В этом разделе решена вторая задача, т. e. построены нелинейные системы
уравнений вида (0.7), инвариантные относительно группы Sch(1, 3). Задача сво-
дится к построению явных выражений для функций Fk , зависящих только от
компонент волновой функции ? = {?1 , ?2 , . . . , ?n }, при которых уравнение (0.7)
инвариантно относительно группы Sch(1, 3). Для решения этой задачи использу-
ются конечные преобразования группы Sch(1, 3), т.e. формулы (3.1)–(3.3). Такой
подход к построению нелинейных уравнений, инвариантных относительно задан-
ной группы, значительно проще инфинитезимального метода С. Ли. При этом,
конечно, необходимо задавать представление соответствующей группы.
Подробно остановимся лишь на одном типичном примере. В остальных случа-
ях, которые мы приведем без доказательства, все необходимые вычисления анало-
гичны.
Рассмотрим следующее нелинейное обобщение системы уравнений (2.10):
? ?
S?1 = F1 , S?2 = F2 ,
(4.1)
im?2 ? S · p?1 = F3 ,
346 В.И. Фущич, В.М. Штелень

где F1 , F2 , F3 — искомые (2s + 1)-компонентные функции, зависящие от ?1 , ?2 ,
?† , ?† .
1 2
Теорема 2. Система уравнений (4.1) инвариантна относительно группы Шре-
дингера Sch(1, 3), если
w1 w1
F1 = ?F F2 = ?F (4.2)
w2 ?1 , w2 ?2 , F3 = 0,
w2 w2
где w1 = (?† ?† ?† ?1 )1/2 , w2 = (?† ?1 )2/3 , F — произвольная скалярная функция
122 1
указанного аргумента, ? — произвольная постоянная.
Доказательство. Согласно (2.8), (2.9), (3.3) конечные проективные преобразова-

<< Предыдущая

стр. 80
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>