<< Предыдущая

стр. 81
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ния имеют следующий вид:
mx2 ?
?1 (x ) = (1 ? ?t) exp{if }?1 (x), f?
3/2
,
2 1 ? ?t
? (4.3)
?2 (x ) = (1 ? ?t)5/2 exp{if } ?2 (x) ? i (S · x)?1 (x) ,
1 ? ?t
p0 = (1 ? ?t)2 p0 + ?(1 ? ?t)x · p, p = (1 ? ?t)p.
Под действием этих преобразований система (4.1) принимает вид
?
(1 ? ?t)7/2 exp{if }S?1 = F1 ,
1
?
(1 ? ?t)9/2 exp{if }S?2 ? ?(1 ? ?t)7/2 exp{if } ?
m (4.4)
?
? im?2 ? (S · p)?1 + im(S · x)S?1 = F2 ,
(1 ? ?t)5/2 exp{if }(im?2 ? S · p?1 ) = F3 ,
откуда в силу (4.1) получаем
F1 = (1 ? ?t)7/2 exp{if }F1 ,
?
F2 = (1 ? ?t)9/2 exp{if } F2 ? i (S · x)F1 ?
1 ? ?t
(4.5)
1
??(1 ? ?t)7/2 exp{if } F3 ,
m
F3 = (1 ? ?t) exp{if }F3 .
5/2


Используя (4.3) и тот факт, что из ? и ? † можно построить только два галиле-
евских инварианта ?† ?† ?† ?1 и ?† ?1 , приходим к (4.2). При ? = 0 (4.1) совпадает
122 1
с линейной системой (2.10). Теорема доказана.
Перечисленные ниже нелинейные системы уравнений являются обобщением
соответствующих линейных систем, рассмотренных в разделе 2. Все они неэкви-
валентны в том смысле, что на множестве их решений реализуются различные
(неэквивалентные) представления группы Sch(1, 3):
w1 w1
p0 ?1 ? i(? · p)?2 = ?F 2
w2 ?2 + µG w2 ?1 ,
w2 w2
(4.6)
w1
2im?2 ? (? · p)?1 = i?F w2 ?1 ,
w2
О системах, инвариантных относительно группы Шредингера 347

где w1 = (?† ?† ?† ?1 )1/2 , w2 = (?† ?1 )1/3 . Система (4.6) представляет собой нели-
122 1
нейное обобщение уравнений Леви–Леблонда (2.12). Следующие системы являю-
тся аналогичным обобщением уравнений (2.14), (2.18) и (2.19), соответственно:
S? = ?(?† ?)2/3 ?,
? im? ? K · p? = 0, (4.7)

(?† ?2 ? ?† ?1 )1/2
(?† ?1 )2/3 ?,
?
S? = ?F 1 2
(?† ?1 )2/3
1
(4.8)
1

2ms?2 + S · p?1 = 0, 2ms? + K · p?1 = 0,

(?† ?2 ? ?† ?1 )1/2
(?† ?1 )2/3 ?1 ,

sp0 ?1 + S · p?2 + K · p? = ?F 1 2
(?† ?1 )2/3
1
(4.9)
1

2ms?2 + S · p?1 = 0, 2ms? + K · p?1 = 0.

Построению точных решений нелинейных систем уравнений аналогичного ти-
па, инвариантных как относительно группы Шредингера, так и относительно груп-
пы Пуанкаре, посвящен сборник [8].

Приложение

Здесь мы приводим соотношения между матрицами Sa , ?a , Ka , Ka , которые
использовались в разделе 2. Свойства этих матриц детально обсуждались в рабо-
тах [3, 7]. Определяющие соотношения для Ka имеют вид
Ka Sb ? ?b Ka = i?abc Kc , (П.1)

Sa Sb + Ka Kb = is?abc Sc + s2 ?ab . (П.2)

Напомним, что здесь, как и раньше, Sa и ?a — квадратные матрицы, реализующие
неприводимое представление D(s) и D(s ? 1), соответственно, алгебры Ли группы
SU (2); Ka — матрицы размерности (2s+1)?(2s?1). Соотношения (П.1) следуют из
?
(1.4), а именно из соотношения [?a , Sb ] = i?abc ?c и определяют Ka с точностью до
множителя, который удобно зафиксировать с помощью (П.2) [7]. Использование
остальных условий (1.4) приводит к следующим соотношениям [3]:
Ka Sb ? Kb Sa = i(s + 1)?abc Kc , ?a Kb ? ?b Ka = i(1 ? s)?abc Kc ,
† †
† †
? Kb Ka = ?i(2s + 1)?abc ?c , Ka Kb ? Kb Ka = i(2s ? 1)?abc Sc .
Ka K b


1. Niederer V., Helv. Phys. Acta, 1972, 45, № 5, 802–814.
2. Никитин А.Г., Фущич В.И., ТМФ, 1980, 44, № 1, 34–46.
3. Фущич В.И., Никитин А.Г., ЭЧАЯ, 1981, 12, вып. 5, 1157–1219.
4. Bracken A., Lett. Nuovo Cim., 1972, 2, № 11, 574–576.
5. Fushchych W.I., Moskaliuk S.S., Lett. Nuovo Cim., 1981, 31, № 16, 571–576.
6. Levi-Leblond J.-M., Commun. Math. Phys., 1967, 6, № 4, 286–311.
7. Herley W.J., Phys. Rev., 1971, 3, № 11, 2339–2347.
8. Теоретико-алгебраические исследования в математической физике, Сб. научн. трудов под ред.
В.И. Фущича, Киев, Институт математики АН УССР, 1981.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 348–353.

О некоторых точных решениях
многомерных нелинейных уравнений
Даламбера, Лиувилля, Дирака
и уравнения эйконала
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ, В.М. ШТЕЛЕНЬ


1. Введение
За последние 15 лет достигнут существенный прогресс в изучении двумер-
ных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (НДУ-
ЧП), широко встречающихся в теоретической и математической физике. Основ-
ным методом исследования таких НДУЧП является метод обратной задачи теории
рассеяния. Этот метод, несмотря на многочисленные попытки, не обобщен на мно-
гомерные НДУЧП.
В настоящем докладе приведены в явном виде некоторые классы точных реше-
ний следующих многомерных НДУЧП:

2u + ?uk = 0, u ? u(x), (1)
x = (x0 , x1 , . . . , xn?1 );

?
2u + ? exp(u), 2 = ?pµ pµ , (2)
pµ = igµ? ;
?x?
?u ?u
= m2 ; (3)
µ
?xµ ?x

?
?µ pµ ? m ? ?(??)k ? = 0, (4)

где ?µ — матрицы Дирака, ? — спинор, m, k, ? — произвольные действительные
постоянные величины.
Фундаментальным свойством уравнений (1)–(4) является то, что все они обла-
дают широкими группами симметрий. Именно симметрийные свойства этих урав-
нений дали возможность в явном виде построить их решения.
Хорошо известно, что впервые Софус Ли (1881–1885 гг.) использовал теорию
непрерывных групп для решения нелинейных дифференциальных уравнений. Впо-
следствии Пуанкаре, Лиувилль, Аппель, Леви–Чивита, Уиттекер и многие другие
использовали идеи и теорию С. Ли для явного построения решений линейного
волнового уравнения. Важные идеи по отысканию инвариантных решений НДУ-
ЧП высказал Г. Бейтмен (1914) и Г. Биркгофф [1]. В СССР лиевские идеи и
методы получили дальнейшее развитие в работах Л.В. Овсянникова [2].


Труды международного семинара “Теоретико-групповые методы в физике”, Звенигород, 24–26 ноя-
бря 1982 г., Москва, Наука, 1983, Т.2, С. 407–413.
О некоторых точных решениях многомерных нелинейных уравнений 349

2. Метод
Для нахождения явных решений уравнений (1)–(4) мы воспользуемся следую-
щим анзатцем [3]
(5)
u(x) = ?(?)f (x) + g(x),
где ?(?) — некоторая неизвестная функция (или вектор-функция в случае системы
дифференциальных уравнений), зависящая от новых инвариантных переменных
? = ?(x) = {?1 , ?2 , . . . , ?n?1 },
число которых на единицу меньше, чем переменных в уравнении. Новые пере-
менные ?(x) и явные выражения для функций f (x) и g(x) находятся из системы
уравнений Эйлера–Лагранжа
dx0 dx1 dxn?1 du
= 1 = · · · = n?1 = (6)
,
?0 ? ? ?
где ? µ и ? — функции, задающие инфинитезимально группу инвариантности урав-
нений (1)–(3), т.е.
xµ = xµ + ?? µ (x, u) + o ?2 ,
(7)
u (x ) = u(x) + ??(x, u) + o ?2 .
Явный вид функций ? µ и ? зависит от симметрии уравнений.
Все приведенные ниже теоремы доказываются с помощью метода Ли [2].

3. Решения нелинейного уравнения Даламбера
Для отыскания решений уравнения Даламбера используются следующие сим-
метрийные свойства уравнения (1).
Теорема 1. Максимальной локальной группой инвариантности уравнения (1)
?
является расширенная группа Пуанкаре P (1, n ? 1) — группа вращении, сдви-
гов и масштабных преобразований. Базисные элементы алгебры Ли группы
?
P (1, n ? 1) задаются формулами
? ?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ , D = x? p? ? 2iu
pµ = igµ? , .
?x? ?u
Не вдаваясь в детали, приведем явный вид некоторых относительно простых
решений уравнения (1), построенных указанным выше способом. Решение уравне-
ния (1) ищутся в виде
(8)
u(x) = ?(?)f (x).
Полученные нами решения имеют такой вид:
1/(1?k)
?
? (1 ? k)2 (?? y ? )2 + y? y ?
u= ,
4 (9)
?? ? ? = ?1, ? = 0, 1, . . . , n ? 1,
y? = x? + a? ,
1/(1?k)
?
(1 ? k)2 ?? y ? ?? y ?
u= ,
2 (10)
?? ? ? = ?1,
?? ?? = ?? ? ? = 0,
350 В.И. Фущич, Н.И. Серов, В.М. Штелень

2/(1?k)
u = {F (?? x? ) + ?? x? } ,
(11)
?
?? ? = ? (1 ? k)2 (1 + k)?1 ,
? ? ?
?? ? = ?? ? = 0,
2
где F — произвольная дифференцируемая функция, a? , ?? , ?? — параметры, удов-
летворяющие указанным условиям.
Обратим внимание на следующий факт. Для всех k > 1 решения (9), (10)
неаналитичны по константе связи ?. Это означает, что с помощью теории возму-
щений нельзя получить решения, которые бы были близки (в каком-то смысле) к
найденным.
n+2
Уравнение ( 1) в случае k = n?2 , как показано Ибрагимовым [4], инвариантно
?
относительно конформной группы C(1, n ? 1) ? P (1, n ? 1). В этом случае, если
задано какое-то решение u1 = F (x) конформно-инвариантного уравнения (1), то
новое n-параметрическое решение u2 находится по формуле
x ? cx? x?
(2?n)/2
u2 (x) = ? F ,
?
где c = (c0 , c1 , . . . , cn?1 ) — параметры, ? ? 1 ? 2c? x? + c? c? x? x? .

4. Решения уравнения Лиувилля
В 1853 г. Лиувилль нашел общее решение двумерного (x = (x0 , x1 )) уравне-
ния (2). Метод Лиувилля неприменим к многомерным уравнениям (2).
Теорема 2. Максимальной локальной группой инвариантности уравнения (2)
?
(число переменных n > 2) является расширенная группа Пуанкаре P (1, n ? 1).
Базисные элементы алгебры Ли этой группы задаются операторами
? ?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ , D = x? p? ? 2i (12)
pµ = igµ? , .
?x? ?u
Замечание 1. При n = 2 двумерное уравнение (2) допускает бесконечную группу
Ли. Коэффициенты инфинитезимального оператора имеют вид

? 0 = f (x0 + x1 ) + g(x0 ? x1 ),
?? 0
? 1 = f (x0 + x1 ) ? g(x0 ? x1 ) + c1 , ? = c2 ? 2 ,
?x0

<< Предыдущая

стр. 81
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>