<< Предыдущая

стр. 82
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где f и g — произвольные дифференцируемые функции, c1 и c2 — постоянные
величины.
Решения уравнения (2) ищем в виде

(13)
u(x) = ?(?) + f (x).

Наиболее простые решения уравнения (2) задаются формулами

u = ?2 ln[?P (x) sh Q(x)], (14)

u = ?2 ln[?P (x) ch Q(x)], (15)

u = ?2 ln[?P (x) cos Q(x)], (16)
О некоторых точных решениях многомерных нелинейных уравнений 351

u = ?2 ln[c1 P (x)R(x)], (17)
R(x) = Q(x)|c1 =1 ,

где
v
Q(x) = c1 (?? y ? )?1 y? y ? + c2 ,
P (x) = ?? y ? , ?? ?? = 0,
?, ?, ?, c1 , c2 — постоянные величины.
Непосредственной проверкой модно убедиться, что если в формулах (14)–(17)
сделать следующую замену:
P (x) = F ?1 (?? y ? ), Q(x) = ?? y ? F (?? y ? ),
то такие функции будут также удовлетворять уравнению (2) при произвольных
дифференцируемых функциях F и F ?1 .

5. Решения уравнений эйконала
При отыскании точных решений уравнения (3) (m = 1) использовались следу-
ющие симметричные свойства этого уравнения.
Теорема 3. Максимальная локальная группа инвариантности уравнения (3)
— 21-параметрическая группа Ли, базисные инфинитезимальные операторы
которой имеют вид
?
gAB = {1, ?1, ?1, ?1, ?1},
pA = gAB , A, B = 0, 1, . . . , 4,
?xB
(18)
JAB = xA pB ? xB pA , xA = {x0 , x1 , x2 , x3 , u(x)},
KA = 2xA D ? xB xB pA
D = xA pA ,
и удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли конформной
группы C(1, 4).
Приведем некоторые решения уравнения (3):
u(x) = f (?? x? ) + ?? x? , ?? ?? = ?? ? ? = 0, ?? ? ? = 1 (19)
(где f — произвольная дифференцируемая функция),
1/2
?? ?? = ?1,
u(x) = (?? x? )2 + x? x? (20)
,
1/2
u(x) = x2 ? (?x)2 ? · ? = 1, (21)
,
0
v
u(x) = x? x? , (22)

?? , ?? — произвольные постоянные, удовлетворяющие указанным условиям. Для
построения новых решений уравнения (3) по заданным воспользуемся теоремой 3,
т.е. тем фактом, что эйкональное уравнение (3) инвариантно относительно груп-
пы конформных преобразований C(1, 4) в 5-мерном пространстве Минковского
R(1, 4), метрика в котором задается формулой
s2 = xB xB = x? x? ? u2 (x). (23)
Конечные преобразования, порождаемые операторами (18), имеют вид
xµ ? cµ x? x? ? u2 (x) u(x) ? c4 x? x? ? u2 (x)
(24)
xµ = , u (x ) = ,
?(x, u) ?(x, u)
352 В.И. Фущич, Н.И. Серов, В.М. Штелень

где cµ , c4 — произвольные постоянные,
?(x, u) = 1 ? 2c? x? + 2c4 u(x) ? c? c? ? c2 x? x? ? u2 (x) .
4

Если u(x) = ?(x) — какое-то решение уравнения (3), то, используя преобразо-
вания инвариантности, общий вид которых
(25)
x = f (x, u(x), ?), u (x ) = g(x, u(x), ?)
(? — параметры преобразований), новое решение uнов (x) находится из функцио-
нального уравнения
(26)
g(x, uнов (x), ?) = ?(x = f (x, uнов (x), ?)).
Так, например, с помощью конформных преобразований (24) из очевидного реше-
ния уравнения (3)
u(x) = ?? x? , ?? ? ? = 1 (27)
получаем новое решение:

u(x) = (2a)?1 ± [1 + 4(ax? x? + ?? x? )]
1/2
?1 ,
(28)
a = c4 ? ?? c = 0,
? ?
?? ? = 1.
6. Решение нелинейного уравнения Дирака
Для решения уравнения (4) используем следующий анзатц [3]
(29)
?(x) = A(x)?(?),
где A(x) — несингулярная матрица 4 ? 4, ?(?) — неизвестный 4-компонентный
спинор, зависящий только от инвариантных переменных. Явный вид матрицы A(x)
находим из следующего уравнения:
QA(x) ? (? µ (x)?µ + ?(x))A(x) = 0, (30)
где Q — инфинитезимальный оператор группы инвариантности уравнения (4).
Рассмотрим уравнение (4) с массой m = 0 и нелинейностью Гюрши (k = 1/3).
В этом случае, кал известно [5], уравнение Дирака инвариантно относительно
конформной группы C(1, 3). Конформно-инвариантное решение уравнения Дирака
с нелинейностью Гюрши, зависящее от четырех параметров, имеет вид
?x
exp{i??(??)?}? ?
?(x) =
(x? x? )2
(31)
?x ??
? cos(????) + i sin(????) ,
(x? x? )2 ?
?x
?? ? ? > 0, ? = (?? ? ? )1/2 , ?x = ?? x? , ? — постоянный спинор,
где ? = x? x? ,
a1/3
? = ?? ? ? .
?? = a,
?
Для получения решения (31) использовался оператор Q, представляющий собой
линейную комбинацию генераторов конформных преобразований:
Q = cµ K µ = (2cx)x? ? x2 c? + ?c?x + 2cx, (32)
О некоторых точных решениях многомерных нелинейных уравнений 353

где cµ — произвольные постоянные, x2 ? x? x? , x? ? x? ?x? и т.д.
?

Другие решения уравнения (4) приведены в [6]. Следует подчеркнуть, что на-
ши решения нелинейного уравнения Дирака (4) аналитичны по константе связи.
Решения уравнения (4) с m = 0 и k = 1/3, полученные Кортелем [7], Мерве [8] с
помощью анзатца Гейзенберга [9], неаналитичны по константе связи ?.
Общий вид конечных преобразований инвариантности уравнения (4) следую-
щий:
(33)
x = f (x, ?), ? (x ) = R(x, ?)?(x),
где ? — параметры преобразования, R(x, ?) — матрицы 4 ? 4. Формула для гене-
рирования нового решения ?2 (x) по известному решению ?1 (x) имеет вид:
?2 (x) = R?1 (x, ?)?1 (x ),
где R?1 (x, ?) — матрица 4 ? 4, обратная к R(x, ?).

Заключение
1. Если НДУЧП обладает нетривиальной симметрией, то имеется надежда
отыскать многопараметрические семейства его точных решений. Получаемые та-
ким способом решения для НДУЧП, содержащих малый параметр ?, могут оказа-
ться неаналитичными по ?; это означает, что с помощью теории возмущений нель-
зя получить решения, в каком-то смысле близкие к таким решениям. В некоторых
случаях решение можно представить через произвольные функции, зависящие от
инвариантов группы симметрии уравнения.
2. Для НДУЧП, инвариантных относительно нетривиальных преобразований
независимых и зависимых переменных, справедлив симметрийный нелинейный
принцип суперпозиции (преобразования) решений.
3. Точные решения НДУЧП могут служить “эталонами” для построения кон-
структивных приближенных методов решения НДУЧП.
4. С помощью указанного метода найдены классы точных решений много-
мерных нелинейных уравнений Шредингера [10], Гамильтона–Якоби [3], Борна–
Инфельда [11], Дирака [6].

1. Биркгоф Г., Гидродинамика, М., ИЛ, 1954.
2. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978.
3. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
4. Ибрагимов Н.Х., Группы Ли в некоторых вопросах математической физика, Новосибирск, 1972.
5. Gursey F., Nuovo Cim., 1956, 3, 988.
6. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A, 1983, 16, № 2, 271.
7. Kortel F., Nuovo Cim., 1956, 4, № 2, 210.
8. Merwe P.Т., Phys. Lett. B, 1981, 106, № 6, 485.
9. Heisenberg W., Z. Naturf. A, 1954, 9, 292.
10. Fushchych W.I., Moskaliuk S.S., Lett. Nuovo Cim., 1981, 31, 571.
11. Фущич В.И., Серов Н.И., ДАН СССР, 1982, 263, 582.
12. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Lett. Nuovo Gim., 1982, 34, № 16, 498.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 354–358.

On the new conservation laws
for vector field equations
W.I. FUSHCHYCH, V.A. VLADIMIROV
The new conservation laws corresponding to the non-Lie symmetry of vector field
equations are obtained.

1. Introduction
The classical Lie method (see e.g. Ovsyannikov [11]) which is commonly used to
investigate the group theoretical properties of differential equations has one essential
disadvantage. Based on the infinitesimal approach, it does not permit one to find
out the maximal Lie algebra available by a given system of differential equations if
among its basic elements there are operators of higher order. A method was proposed
(Fushchych [2]), hereafter quoted as the non-Lie method, in which no restriction is
imposed on the order of operators available, by the systems of differential equation
under consideration.
By means of the non-Lie method additional invariances were established: Dirac
(Fushchych [2]); Maxwell (Fushchych [3]); Kemmer–Duffin–Petiau (Fushchych and
Nikitin [4]) and many other theoretical and mathematical physics equations.
Recently (Fushchych and Vladimirov [5]) within the framework of the non-Lie
(approach, group properties of the equations for the potential of an electromagnetic
field have been investigated:

pµ pµ A? (x) = 0, x ? R4 ,
(1)
pµ Aµ (x) = 0, µ, ? = 0, 1, 2, 3,

where pµ = i?/?xµ = igµ? ?/?x? and gµ? = g µ? the metric tensor of Minkowski
space, g00 = ?g11 = ?g22 = ?g33 = 1.
The maximal invariance algebra of equation (1) generated by first-order differential
operators is the eleven-dimensional Weyl algebra which includes the Poincar? algebra
e
µ
P (1, 3) and operator D = xµ p + 2i. It has been shown recently (Fushchych and
Vladimirov [5]) that equations (1) are additionally invariant under the nine-dimensio-
nal GL(3) algebra with basic elements being integro-differential operators; defined on
the set of solutions by the following formula
µ
(Dab A)µ = p0 /|p|2 (g0 pa ? ga p0 )Ab ,
µ
(2)
|p|2 = p2 + p2 + p2 , a, b = 1, 2, 3.
1 2 3

The operators (2) are non-local so there is no such point transformation of independent
variables (xµ ): (x µ ) = (T x)µ , which would give rise to a continuous group represen-
tation generated by Dab on the set of solutions of (1).
The existence of additional symmetry for systems of differential equations which
describe elementary particles is strictly connected with their polarisation properties.
J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, № 6, P. 1921–1925.
On the new conservation laws for vector field equations 355

Thus, there is no additional symmetry in the case of the Klein–Gordon equation
which describes a spin-zero relativistic particle, the additional symmetry algebra of
the Dirac equation is GL(2) ? GL(2), and generally the greater the spin, the greater
the dimension of the additional symmetry algebra.
One of the most important consequences of the invariance of the evolution equation
is the existence of integral quantities conserved in time. The purpose of this paper is
to construct new conserved quantities which correspond to the non-Lie symmetry of
vector field equations.
For the equations obtained from variational principles, the correspondence between
local transformation groups which preserve the action integral and conservation laws
is established by the well known Noether theorem. It is obvious that, because of
non-locality of the transformation group generated by the operators (2), the Noether
theorem is of no use in our case. However, there is another method of building up
conserved quantities. Good [6] succeeded in obtaining all classical conserved quanti-
ties for the Maxwell equations without reference to the Noether theorem. Later
O’Connell and Tompkins [8, 9, 10] and several other authors extended this result on
some other Poincar?-invariant equations. Employing the same techniques as in the
e
above mentioned papers it is possible to construct conserved quantities corresponding
to the non-local additional symmetry of the vector field equations.
In § 2 we perform such a construction for the four-vector potential of the electro-
magnetic field equation. In § 3 analogous conserved quantities are obtained for the
Proca equation. In § 4 we discuss the results obtained.

2. The new conserved quantities for the equations (1)
Theorem 1. Integrals
i
Sa = ?abc {Ab (t, x)p0 Ac (t, x)?[p0 Ab (t, x)]Ac (t, x)} d3 x, a, b, c = 1, 2, 3,(3)
2
1 p0 p0
Aj (t, x)p0 Ak (t, x) ? [p0 Aj (t, x)] Ak (t, x)+
?jk =
|p0 | |p0 |
2
(4)
p0 p0
+Ak (t, x)p0 Aj (t, x) ? [p0 Ak (t, x)] Aj (t, x) d3 x, j, k = 1, 2, 3,
|p0 | |p0 |
are conserved in time.
Proof. Let us consider the following operator:
v 2

<< Предыдущая

стр. 82
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>