<< Предыдущая стр. 83(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
pk S lj ? p0
pn (S 0j S jn + S jn S 0j ) , (5)
W = exp (ln 2) 1 + ?kjl i +
4 2|p|2
2|p|

where j, k, l, n = 1, 2, 3, S µ? , µ, ? = 0, 1, 2, 3 are the matrices of the D 1 , 1 repre-
22
sentation of the Lie algebra of the O(1, 3) group* . It can be easily shown that matrix
elements of symbols of this operator and the inverse one are
µ µ µ
[W (p)]? = p0 /|p|2 (p0 g? ? pµ g?0 ? g0 p? + 2g0 g?0 p0 ) ,
µ
(6)
µ
W ?1 (p) µ
2p2 (g? ? g0 g?0 ) + pµ p?
= 1/2|p|2 µ
0
?

elements of Sµ? have the form
* Matrix

(Sµ? )? = i(gµ g?? ? g? gµ? ),
? ?
?, ? = 0, 1, 2, 3, µ, ? = 0, 1, 2, 3.
?

(for symbols see e.g. Shubin [12]).
Using the operators (5) we are allowed to transform (1) into the equivalent diagonal
form
? 0
? ?
pµ pµ A = 0, p0 A = 0, (7)
µ, ? = 0, 1, 2, 3,
??
where A = (W ?1 A)? . It is not difficult to show that for every A , A satisfying
??
(7) the following equation holds
? ? ??
pµ A ? p µ A ? (pµ A? )A
? ?
(8)
= 0.

??
If we restrict ourselves to those solutions A , A which tend to zero quickly enough
with their first derivatives when |x| > ?, then by the Green–Gauss–Ostrogradsky
theorem
? ? ??
Aµ p 0 A ? (p0 Aµ )A d3 x = constant.
µ µ
(9)

In canonical representation (equation (7)) basic elements of the symmetry algebra can
be chosen as
µ
?
(S ? )µ = ?i?abc gb g?c , (10)
a, b, c = 1, 2, 3, µ, ? = 0, 1, 2, 3,
?

µ µ
?
(?jk )µ = ?(gj g?k + gk g?j ), (11)
j, k = 1, 2, 3, µ, ? = 0, 1, 2, 3.
?

Setting A = W ?1 A, A = f (p)Q? W ?1 A in (9) where f (p) is a scalar function
? ? ?
?
and Q? belongs to the symmetry algebra of equation (7), we can get

{(W ?1 A)µ p0 [f (p)Q? W ?1 A]µ ?(p0 W ?1 A)µ [f (p)Q? W ?1 A]µ }d3 x = const.(12)
? ?

? ?
Inserting into the above integral Q? = S a , a = 1, 2, 3, f (p) = ? 1 one obtains formu-
2
? ? = ?jk , j, k = 1, 2, 3 gives us expression (4).
?
la (3). Substitution f (p) = ?p0 /2|p0 |, Q
?
Now we see that besides such well known conserved quantities for the Aµ as
energy, momentum etc, integrals (3) and (4) are also independent of time.
Remark 1. Expression (3) represents three components of spin of the real vector
field (see e.g. Bogoliubov and Shirkov [1]). Formula (4) gives us six new conserved
quantities for equation (1) corresponding to the non-Lie (additional) symmetry.

3. The new conserved quantities for the Proca equation
In the paper of Fushchych and Vladimirov [5] the non-Lie symmetry of the Proca
equation was also investigated
pµ pµ ? m2 ? ? (t, x) = 0, pµ ? µ (t, x) = 0,
(13)
(t, x) ? R4 , m > 0.
It was shown that equation (13) is also invariant under the nine-dimensional Lie
algebra of the GL(3) group.
Theorem 2. Integrals
? ?
S a = i?abc [?b p0 ?c ? (p0 ?b )?c ] d3 x, (14)
a, b, c = 1, 2, 3,
On the new conservation laws for vector field equations 357

p0 p0
? ?
?jk = ?j (t, x)p0 ?k (t, x) ? [p0 ?j (t, x)] ?k (t, x)+
|p0 | |p0 |
(15)
p0 p0
? ?
+?k (t, x)p0 ?j (t, x) ? [p0 ?k (t, x)] ?j (t, x) d3 x, j, k = 1, 2, 3,
|p0 | |p0 |

are conserved in time.
The proof of this theorem is not different from that of the previous one. To
diagonalise (13) we can use operators U , U ?1 with symbols
µ µ µ
[U (p)]? = (1/p0 ) (p0 g? ? g0 p? ? pµ g0? + 2g0 g?0 p0 ) ,
µ
(16)
µ
U ?1 (p) µ
= 1/ p2 + |p|2 p2 + |p|2 (g? ? g0 g?0 ) + pµ p? .
µ
0 0
?

Remark 2. Integrals (14) express spin components of the complex vector field (Bo-
goliubov and Shirkov [1]).

4. Conclusions
We have obtained the conserved quantities corresponding to non-Lie symmetry of
equations (1) and (13) without reference to the Noether theorem. It is worth noting
that classical conserved quantities for vector fields such as energy, momentum etc
can also be obtained in this way by substitution of generators of Weyl (Poincar?) e
symmetry algebras into (9).
As has already been mentioned, integrals (3) and (14) are attributed to the spin
of the classical vector fields. Conservation of (3) and (14) along with total angular
momentum was obtained as a consequence of symmetry of the energy-momentum
tensor for vector fields, namely Tµ? = T?µ (see e.g. Bogoliubov and Shirkov [1]).
Generally this is not true and such conserved quantities connected in fact with non-
Lie symmetry could not be obtained using the Noether theorem.
The natural question is what physical interpretation can be proposed for the new
conserved quantities. It is well known that by substitution

Ek = ? H k = ?kjr (?/?xj )Ar ,
?A0 /?xk + ?Ak /?x0 , k, j, r = 1, 2, 3,

the energy and momentum integrals for Aµ can be expressed in terms of E and H
which satisfy the Maxwell equations. As for the integrals (3) and (4), their explicit
dependence on the Aµ could not be eliminated by similar substitution, therefore any
interpretation in terms of measurable classical quantities is hardly possible. Never-
theless the interpretation of (3), (4) and (14) and (15) is possible in terms of quantum
field theory.
In conclusion we want to say a few words about the independence of the integrals
obtained. There exist several non-equivalent definitions of the independence of conser-
ved quantities. According to Ibragirnov [7] a set of conserved quantities (Fi )N ,
i=1

fi (t, x1 , . . . , xk ) dk x
Fi =

is independent if functions fi are linearly independent. Following this definition it is
not difficult to show that classical conserved quantities pµ , Jµ? (D) and new conserved
quantities (3), (4), (14) and (15) are independent.

1. Bogoliubov N.N., Shirkov D.V., Introduction to quantum field theory, Moscow, Nauka, 1973, ch. I,
§ 5.
2. Fushchych W.I., Teor. Mat. Fiz., 1971, 7, № 3.
3. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1974, 11, 508.
4. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cimento, 1977, 19, 347.
5. Fushchych W.I., Vladimirov V.A., Dokl. Akad. Nauk USSR, 1981, 257, 1105.
6. Good R.H.Jr., Phys. Rev., 1957, 105, 1914.
7. Ibragimov N.H., Teor. Mat. Fiz., 1969, 1, № 3.
8. O’Connell R.F., Tompkins D.R., Nuovo Cimento, 1963, 38, 1088.
9. O’Connell R.F., Tompkins D.R., Nuovo Cimento, 1965, 39, 391.
10. O’Connell R.F., Tompkins D.R., J. Math. Phys., 1965, 6, 952.
11. Ovsyannikov L.V., Group analysis of differential equations, Moscow, Nauka, 1978, ch. I, II.
12. Shubin M.A., Pseudo-differential operators and spectral theory, Moscow, Nauka, 1978, p. 27.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 359–365.

О новых симметриях и законах сохранения
для электромагнитного поля
А.Г. НИКИТИН, В.А. ВЛАДИМИРОВ, В.И. ФУЩИЧ

Хорошо известно, что классические законы сохранения энергии, импульса,
углового момента и центра энергии электромагнитного поля являются следствием
симметрии уравнений Максвелла относительно группы Пуанкаре. Однако симме-
трия уравнений Максвелла не исчерпывается релятивистской инвариантностью. В
связи с этим возникает естественный вопрос, существуют ли другие законы со-
хранения для электромагнитного поля (помимо перечисленных выше?). Надеяться
получить положительный ответ на этот вопрос можно только в том случае, если
уравнения Максвелла обладают дополнительной симметрией помимо релятивист-
ской и конформной инвариантности, поскольку симметрия относительно собствен-
но конформных преобразований не приводит к новым законам сохранения [1]. Мы
покажем ниже, что уравнения для электромагнитного поля действительно обла-
дают некоторой скрытой симметрией, из которой следует существование новых
(неклассических) интегралов движения.
1. Прежде всего изложим коротко известные свойства симметрии уравнений
Максвелла
?E ?H
= ?rot E,
= rot H,
?t ?t (1)
div E = div H = 0.
В 1893 г. Хевисайд [2] обратил внимание на инвариантность уравнений (1)
относительно замены
E > H, H > ?E. (2)
Лармор [3] и Райнич [4] обобщили эту симметрию до группы однопараметриче-
ских преобразований вида

E > E cos ? + H sin ?,
(3)
H > H cos ? ? E sin ?.
Лоренц и Пуанкаре установили инвариантность уравнений Максвелла относитель-
но десятипараметрической группы Пуанкаре P (1, 3). Затем в 1909 г. Бейтмен [5]
и Канингхем [6] доказали, что уравнения (1) инвариантны относительно конформ-
ных преобразований. Эти преобразования совместно с преобразованиями Лоренца
образуют пятнадцатипараметрическую конформную группу C(1, 3). Сравнительно
недавно было показано [7], что группа G = C(1, 3)?H, где H — однопараметриче-
ская подгруппа преобразований Хевисайда–Лармора–Райнича (ХЛР) (3), является
Труды международного семинара “Теоретико-групповые методы в физике”, Звенигород, 24–26 ноя-
бря 1982 г., Москва, Наука, 1983, Т.2, С. 421–428.
360 А.Г. Никитин, В.А. Владимиров, В.И. Фущич

максимальной группой симметрии уравнений (1) в классе точечных преобразова-
ний. Иными словами, группой G определяется максимальная симметрия уравнений
(1) в смысле С. Ли.
2. В 1970 г. был предложен новый нелиевский подход к исследованию свойств
симметрии дифференциальных уравнений [8, 9]. Основное отличие этого подхо-
да от классических методов С. Ли состоит в том, что он позволяет находить не
только локальные группы инвариантности, но также скрытую симметрию уравне-
ний относительно интегральных преобразований. В рамках нелиевского подхода
были найдены новые алгебры инвариантности многих важных уравнений реляти-
вистской и нерелятивистской физики [10–15]. Применительно к уравнениям для
электромагнитного поля удалось получить результаты, изложенные ниже в теоре-
мах 1 и 2.
Запишем уравнения (1) в матричной форме
?
+ ?2 S · p,
L1 ? = 0, L1 = i
?t
(4)
E
L2 = p1 ? S · pS1 ,
L2 ? = 0, ?= ,
H
где
? ?I
? ?
Sa 0 0
(5)
Sa = , ?2 = i ,
?a ?
? I 0
0 S
?
I и ? — единичные и нулевые матрицы размерности 3?3, Sa — спиновые матрицы,
0
?
соответствующие спину s = 1, (Sa )bc = i?abc .
Обозначим через {QA } множество базисных элементов конечномерной алгебры
Ли. Эта алгебра по определению является алгеброй инвариантности (АИ) уравне-
ний Максвелла, если QA определены на множестве решений уравнений (4), т.е.
удовлетворяют условиям
 << Предыдущая стр. 83(из 131 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>