<< Предыдущая

стр. 84
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(6)
L1 QA ? = 0, L2 QA ? = 0,
где ? — произвольное решение уравнений (4). Хорошо известным примером АИ
уравнений (4) является 16-мерная алгебра Ли группы C(1, 3) ? H. Оказывается,
уравнения Максвелла обладают еще некоторой дополнительной симметрией, что
может быть сформулировано в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Уравнения Максвелла (4) инвариантны относительно восьмимер-
ной алгебры Ли A8 , базисные элементы которой задаются интегродифферен-
циальными операторами следующего вида:
Q1 = ?3 S · pD, Q3 = ?1 S · pD,
? Q2 = i?2 , ?
(7)
Q3+a = ?i?2 S · pQa , Q8 = i?2 S · p,
? Q7 = I, ?
где

p2 p2 + p 2 p2 ? p 2 p2 1 ? S a + p 1 p2 p3 S a S b pc ?
2
D= ab ac bc
a=b=c
(8)
??1 ,
?pp1 p2 p3 1 ? (S · p)2
?
О новых симметриях и законах сохранения для электромагнитного поля 361

2 1/2
1 2 2
? = v p4 p2 ? p2 + p4 p2 ? p2 + p4 p2 ? p2 ,
1 2 3 2 1 3 3 1 2
2
1/2
?a — матрицы Паули, коммутирующие с Sb , pa = pa · p?1 , p = p2 + p2 + p2 .
? 1 2 3
Операторы (7) удовлетворяют соотношениям
[Qa , Qb ] = ?[Q3+a , Q3+b ] = ??abc Qc ,
(9)
[Q3+a , Qb ] = ?abc Q3+c , [Q7 , QA ] = [Q8 , QA ] = 0,
которые определяют алгебру, изоморфную алгебре Ли группы GL(2) ? GL(2).
Доказательство. В справедливости теоремы проще всего убедиться непосред-
ственной проверкой. Для этого достаточно воспользоваться тождествами

DS · p = ?S · pD, D(S · p)2 = D,
D?a = ?a D,
(10)
[D, L2 ] = D + pp1 p2 p3 ??1 L2 ,
D 2 S · p = S · p, L2 S · p = 0,
? ?
из которых непосредственно вытекают соотношения (6), (7).
Очевидно, АИ уравнений Максвелла, описываемая теоремой 1, в принципе не
может быть найдена в классическом подходе Ли, в котором базисные элементы ал-
гебры инвариантности всегда принадлежат классу дифференциальных операторов
первого порядка.
Поскольку QA (7) являются интегродифференциальными операторами, приве-
дем конечные преобразования для фурье-компонент Ea и Ha . Из соотношения

? = (2?)?3/2
? ? ? ?
? > ? = exp(?A QA )?, d3 x ?(x, t) exp(?ip · x) (11)

получаем
Ea > Ea = Ea cos ?1 + i?abc pb Dcd Ed sin ?1 ,
?
(12а)
Ha > Ha = Ha cos ?1 ? i?abc pb Dcd Hd sin ?1 ,
?

? ? ? ?
Ea > Ea = Ea cos ?2 + Ha sin ?2 ,
(12б)
? ? ? ?
Ha > Ha = Ha cos ?2 ? Ea sin ?2 ,

? ? ? ?
Ea > Ea = Ea cos ?3 ? i?abc pb Dcd Hd sin ?3 ,
?
(12в)
? ? ? ?
Ha > Ha = Ha cos ?3 ? i?abc pb Dcd Ed sin ?3 ,
?

? ? ? ?
Ea > Ea = Ea ch ?4 ? Dab Hb sh ?4 ,
(12г)
? ? ? ?
Ha > Ha = Ha ch ?4 ? Dab Eb sh ?4 ,

? ? ? ??
Ea > Ea = Ea ch ?5 + i?abc pb Ec sh ?5 ,
(12д)
? ? ? ??
Ha > Ha = Ha ch ?5 + i?abc pb Hc sh ?5 ,

? ? ? ?
Ea > Ea = Ea ch ?6 ? Dab Eb sh ?6 ,
(12е)
? ? ? ?
Ha > Ha = Ha ch ?6 + Dab Hb sh ?6 ,

? ? ? ? ? ?
Ea > Ea = Ea exp ?7 , Ha > Ha = Ha exp ?7 , (12ж)
362 А.Г. Никитин, В.А. Владимиров, В.И. Фущич

? ? ? ??
Ea > Ea = Ea cos ?8 + i?abc pb Ec sin ?8 ,
(12з)
? ? ? ??
Ha > Ha = Ha cos ?8 ? i?abc pb Hc sin ?8 ,

? ?
где ?A (A = 1, 2, . . . , 8) — вещественные параметры, Ea и Ha — фурье-образы
векторов напряженности электрического и магнитного полей,

Dab = ?ab p2 p2 + p2 p2 ? p2 p2 + p1 p2 p3 pc ??1 ,
ad ae de
(13)
a = d, d = e, e = a, c = a, b.

Преобразования для Ea (t, x) и Ha (t, x) могут быть получены из (12) с помощью
интеграла Фурье

Ha (t, x) = (2?)?3/2 ?
d3 p Ha exp(ip · x),
(14)
?3/2 ?
d p Ea exp(ip · x).
3
Ea (t, x) = (2?)

Преобразования (12), (14) образуют представление группы GL(2) ? GL(2) и
включают однопараметрическую подгруппу преобразований ХЛР (3).
3. Итак, помимо хорошо известной инвариантности относительно группы
C(1, 3) ? H уравнения Максвелла обладают дополнительной нелокальной сим-
метрией относительно преобразований (12), (14). Еще более высокую дополни-
тельную симметрию имеют уравнения для вектор-потенциала электромагнитного
поля
2Aµ = 0,
(15)
?µ Aµ = 0.

Теорема 2 [16]. Уравнения (15) инвариантны относительно алгебры Ли груп-
пы GL(3). Базисные элементы этой алгебры на множестве решений уравне-
ний (15) имеют вид

g0 p0 pa ? ga p2 Ab ,
(Fab A)µ = µ
(16)
a, b = 1, 2, 3,
0
2
p
где gµ — матричный тензор, g?? = (1, ?1, ?1, ?1), 1
?
— интегральный опера-
p2
тор
d3 x f (t, x )
1
(17)
f (t, x) = .
|x ? x |
p2
Доказательство приведено в [16]. Можно убедиться непосредственной провер-
кой, что преобразованные функции (16) удовлетворяют уравнениям (15) и что
операторы Fab образуют алгебру, изоморфную алгебре Ли группы GL(3)

[Fab , Fcd ] = ?bc Fad ? ?ad Fcb . (18)

Генераторы (16) принадлежат классу нелокальных (интегродифференциальных)
операторов и в силу этого не могут быть найдены в классическом подходе Ли.
4. Какие же законы сохранения соответствуют симметрии, установленной в
изложенных выше теоремах? К сожалению, эти законы невозможно получить
О новых симметриях и законах сохранения для электромагнитного поля 363

используя теорему Нетер в общепринятой формулировке, поскольку скрытая сим-
метрия уравнений Максвелла имеет нелокальный характер. Поэтому мы просто
воспользуемся тем фактом, что каждому базисному элементу АИ уравнений Ма-
ксвелла можно поставить в соответствие четырехвектор тока

JA = ?† M QA ?, JA = ??† M ?2 Sa QA ?,
0 a
(19)

удовлетворяющий уравнению непрерывности
µ
(20)
?µ JA = 0.

Здесь ? — вектор-функция (4), ?2 , Sa — матрицы (5), M — произвольный опера-
тор, удовлетворяющий условию
?
+ ?2 S · p, M ? = 0.
i
?t
По теореме Остроградского–Гаусса из (19), (20) заключаем, что интегральные
комбинации

d3 x ?† M QA ?
d3 x JA =
0
(21)
BA =

сохраняются во времени. Таким путем можно получить как классические инте-
гралы движения, так и новые законы сохранения, соответствующие нелиевской
симметрии уравнений Максвелла. Оператор M может быть выбран исходя из тре-
бования, чтобы интегралы движения (21) допускали четкую физическую интер-
претацию. Этому требованию соответствует выбор

?2 S · p
M =? (22)
,
p2
1
где p2 — интегральный оператор (17). Действительно, подставив (22) в (21) и
выбирая {QA } = {Pµ , Jµ? }, где Pµ и Jµ? — генераторы группы Пуанкаре, приходим
к классическим выражениям для импульса, энергии углового момента и центра
энергии электромагнитного поля. Подстановка в (21) операторов (7) приводит к
следующим результатам:

d3 p ? ?
? ? ? ?
f Ea (t, ?p )Ha (t, p ) + p2 E a (t, ?p )H a (t, p )
Q1 = ,
a
?p (23а)
a

f = p2 p2 + p2 p2 + p2 p2 ;
12 13 23

d3 p ? ? ? ?
p · E(t, ?p ) ? E(t, p ) + H(t, ?p ) ? H(t, p ) (23б)
Q2 = ;
2
2p

d3 p ? ? ? ?
f H(t, p )H(t, ?p ) ? E(t, p )E(t, ?p ) +
Q3 =
2?p
(23в)
? ? ? ?
? ? ? ?
p2 H a (t, p )H a (t, ?p ) ? E a (t, p )E a (t, ?p )
+ ;
a
a
364 А.Г. Никитин, В.А. Владимиров, В.И. Фущич

d3 p ? ? ? ?
E(t, p ) · E(t, ?p ) + H(t, p ) · H(t, ?p ) ; (23г)
Q8 =
2p
?A
? (23д)
Q4 = Q5 = Q6 = Q7 = 0, A= .
?t
Таким образом, помимо классических интегралов движения для электромагни-
тного поля в силу дополнительной симметрии уравнений Максвелла, описываемой
теоремой 1, сохраняются во времени интегральные комбинации (23).
Аналогично получаем, что из симметрии уравнений (15) относительно алгебры
(16) следует сохранение во времени интегралов
-
i ?
Ab (t, x) p 0 Ac (t, x) d3 x, (24а)
Sa = ?abc p0 = i ,
2 ?t
- -
1 p0 p0

<< Предыдущая

стр. 84
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>