<< Предыдущая

стр. 89
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2 C +2
Here sn z and cn z are Jacobi elliptic functions.
Some exact solutions of the many-dimensional sine-Gordon equation 381

We add that in ref. [6, 7] the same way some solutions of the many-dimensional
equation 2U = sin U are found. In [9] the solutions of this equation were obtained by
symmetry reduction.

1. Newell A., in Solitons, eds. R.K. Bullough and P.J. Caudrey, 1980, p. 177.
2. Pogrebkov A.K., Polivanov M.K., Part. Nucl., 1983, 14, 1073.
3. Birkhoff G., Hydrodynamics, Princeton, 1950.
4. Sedov L.I., Metody podobiya i razmernosti v mekhanike, Moscov, 1967 (in Russian).
5. Ovsyannikov L.V., Group properties of differential equations, Novosibirsk, 1962 (in Russian).
6. Fushchych W.I., in Algebraic-theoretical studies in mathematical physics, Kiev, Institute of Mathe-
matics, 1981, 6–24 (in Russian).
7. Fushchych W.I., Serov N.I., J. Phys. A., 1983, 16, 3645.
8. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M., Tables of integrals, series, products, New York, 1965.
9. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., Kinam, 1982, 4, 333.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 382–386.

О некоторых точных решениях
многомерного уравнения Эйлера–Лагранжа
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ

В работах [1–3] исследована симметрия и найдены некоторые классы точных
решений нелинейного двумерного уравнения Эйлера–Лагранжа

u00 u2 + 1 ? 2u01 u0 u1 + u11 u2 ? 1 = 0, (1)
1 0

где u = u(x), x = (x0 , x1 ) ? R2 , uµ ? ?xµ , µ = 0, 1.
?u

В литературе часто (1) называют уравнением для минимальной поверхности,
или уравнением Борна–Инфельда.
Естественное многомерное обобщение уравнения (1) — уравнение

L1 (u) = 2u (1 ? u? u? ) + uµ? uµ u? = 0. (2)

Уравнение вида [4]

(3)
?1 L1 (u) + ?2 L2 (u) = 0,
3/(n+4)
L2 (u) = [(1 ? u? u? ) |uµ? |] (4)

есть обобщение как уравнения Эйлера–Лагранжа, так и многомерного уравнения
Монжа–Ампера. При ?1 = 0, ?2 = 0 (3) совпадает с уравнением Монжа–Ампера
[4].
В (2)–(4) использованы следующие обозначения: u = u(x), x = (x0 , x1 , . . .,
?2u
xn?1 ) ? Rn , |uµ? | — -определитель из вторых производных ?xµ ?x? , т.е. гессиан;
µ, ? = 0, 1, . . . , n ? 1, 2 — оператор Даламбера.
Настоящая статья посвящена построению некоторых классов точных решений
уравнения (2). Кроме того, показано, что среди множества всех дифференциаль-
ных уравнений в частных производных (ДУЧП) первого порядка существует един-
ственное уравнение — релятивистское уравнение Гамильтона, инвариантное отно-
?
сительно расширенной группы Пуанкаре P (1, n).
Для отыскания некоторого нетривиального множества функций, удовлетворя-
ющего уравнению (2), нужно знать его симметрийные свойства.
Теорема 1. Максимальной алгеброй инвариантности в смысле С. Ли уравнений
?
(2), (3) является расширенная алгебра Пуанкаре P (1, n), базисные элементы
которой имеют вид
?
JAB = xA pB ? xB pA ,
pA = igAB , A, B = 0, 1, . . . , n,
?xB
(5)
?
pn = ?i .
D = xA pA , xn = u,
?u
Доклады академии наук СССР, 1984, 278, № 4, С. 847–851.
О точных решениях многомерного уравнения Эйлера–Лагранжа 383

Теорема 1 доказывается с помощью метода Ли [5]. Из теоремы вытекает, что
уравнение Эйлера–Лагранжа инвариантно относительно вращений в пространстве
Rn+1 , т.е. в пространстве с метрикой
s2 = xA xA = xµ xµ ? u2 , µ = 0, 1, . . . , n ? 1.
1. Решение уравнения (2), следуя [6], ищем в виде
(6)
u = ?(?)f (x) + g(x)
или
(7)
w0 (x, u) = ?(w),
где ?(?) и ?(w) — неизвестные функции, зависящие от инвариантов ?, w0 , w
?
группы (или подгруппы) P (1, n); f (x), g(x) — известные функции. Формула (6),
если известны инварианты w0 (x, u), w(x, u) и ?(w), задает решение (2) в неявном
виде.
В зависимости от явного вида инвариантов ?(x), w(x, u) и функций f (x), g(x)
получим различные классы функций, удовлетворяющих уравнению (2). Если
(a? x? )a
f (x) = ?? x? , (8)
?= , g(x) = 0,
?? x?
где a, ?? , ?? — произвольные параметры, удовлетворяющие условиям
?? ?? = ?? ? ? = 0, ?? ? ? = 0, (9)
то уравнение (2) с помощью подстановки (6) редуцируется к уравнению ? (?) = 0.
Отсюда следует, что семейство функций
u = (?? x? )a + ?? x? (10)
при условии (9) является решением уравнения (2).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что функции вида
u = ?(?? x? )?? x? , (11)
где ? — произвольная дважды дифференцируемая функция инварианта ? = ?? x? ,
aµ , ?µ удовлетворяют условиям (9).
Используя подстановку (6) и ? = ?? x? , f (x) = 1, g(x) = ?? x? , непосредствен-
ной проверкой убеждаемся, что решением уравнения (2) являются функции
u = ?(?? x? ) + ?? x? , (12)
где параметры удовлетворяют условиям
(?? ? ? )2 + ?? ?? (1 ? ?? ? ? ) = 0. (13)
Рассмотрим случай
? = x? x? , f (x) = 1, g(x) = 0.
В этом случае уравнение (2) редуцируется к уравнению Бернулли
2?? + n? ? 4(n ? 1)?? 3 = 0.
384 В.И. Фущич, Н.И. Серов

Следовательно, решение уравнения задается выражением
v
x? x?
dt
v (14)
u = c1 ,
1 + c2 t2n?2
0

c1 , c2 — произвольные постоянные. При c1 = 1, c2 = 0
u2 = x? x? .
Воспользуемся теперь инвариантами w0 и w, зависящими не только от x, но и
от независимой функции u. Рассмотрим простейший случай
w0 (x, u) = ?A xA ? ?? x? ? ?n u, ? = 0, 1, . . . , n ? 1,
(15)
w(x, u) = ?A xA ? ?? x? ? ?n u.
Используя подстановку (7) и инварианты (15), получим решение (2) в неявном
виде:
?A xA = ?(?A xA ), (16)

?A ?A ?A ? A ? (?A ?A )2 = 0, (17)

где ? — произвольная дважды дифференцируемая функция относительно w.
В том случае, когда
w0 (x, u) = xA xA ? x? x? ? u2 , w(x, u) = ?A xA , (18)
подстановка (7) редуцирует (2) к нелинейному уравнению
2(w2 ? ? 2 ?)? + n(4? ? 4?? + ? 2 ? 2 ) = 0, (19)
? 2 ? ?A ? A , n — число независимых переменных у функции u(x).
Уравнение (19) заменой
? 2 ?(w) = ?(w) + w2 , ? 2 = 0,
приводится к интегрируемому уравнению
2?? ? n? 2 ? 4(n ? 1)? = 0. (20)
Общее решение уравнения (20) задается формулами
v
?
dt
v ? ? 0. (21)
= w + c2 ,
c1 t2n?2 ? 1
0

Решение уравнения (2) имеет вид
(?A xA )2 ? ?A ? A xB xB + ?(?A xA ) = 0, (22)
где ?A ? A = 0, функция ? задается выражениями (21).
В том случае, когда ?A ? A = 0, подстановка (7) редуцирует уравнение (2) к
линейному уравнению Эйлера
w2 ? ? 2nw? + 2n? = 0, (23)
О точных решениях многомерного уравнения Эйлера–Лагранжа 385

решение которого имеет вид
? = c1 w + c2 w2n . (24)
Решение уравнения (2) находится из алгебраического уравнения
xA xA = c1 ?A xa + c2 (?A xA )2n , ?A ? A = 0. (25)
Таким образом, формулы (10)–(14), (16), (22), (25) задают класс функций —
семейство частных решений нелинейного уравнения Эйлера–Лагранжа.
2. В этом пункте приведем решение следующей задачи: описать все ДУЧП
первого и второго порядков
x ? Rn ,
u0 = F (x, u, u), u = (u1 , u2 , . . . , un?1 ), (26)
1 1

x ? R2 , (27)
u00 = G(x, u, u0 , u1 , u01 , u11 ),
? ?
инвариантные соответственно относительно алгебры P (1, n) и P (1, 2). Решение
этой задачи дается следующими теоремами.
Теорема 2. Для того чтобы уравнение (26) было инвариантно относительно
?
алгебры P (1, n), необходимо и достаточно, чтобы
F = ±(ua ua + 1)1/2 , a = 1, 2, . . . , n ? 1. (28)
?
Теорема 3. Уравнение (27) инвариантно относительно алгебры P (1, 2) тогда
и только тогда, когда оно локально эквивалентно уравнению
1/2
?1 [2u(1 ? u? u? ) + uµ? uµ u? ] + ?2 [(1 ? u? u? )|uµ? |] = 0,
µ, ? = 0, 1, u = u(x0 , x1 ).
Доказательство обеих теорем сводится к решению сильно переопределенных
систем ДУЧП на функции F и G, полученных из условия инвариантности (26)
? ?
и (27) относительно алгебр P (1, n) и P (1, 2). Общее решение этих систем и дает
явный вид функций F и G.
Вопрос о линеаризации двумерных уравнений Эйлера–Лагранжа и Монжа–
Ампера, с помощью нелокальных преобразований, рассмотрен в [2]. Применение
?
алгебры P (1, 4) к описанию частиц с переменной массой обсужден в [6].
В заключение сформулируем следующее утверждение.
Теорема 4. а) Для того чтобы уравнение
|uµ? | = F (x, u, u), (29)
1

где x ? Rn , было инвариантно относительно алгебры Пуанкаре P (1, n) (5),
необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид
|uµ? | = ?(1 ? u? u? )(n+2)/2 , ? = const. (30)
б) Для того чтобы уравнение (29) было инвариантно относительно алгебры
Галилея G(2, n ? 1) с операторами вида
? ? ?
pa = ?i Jab = xa pb ? xb pa ,
pt1 = i , pt2 = i , ,
?x0 ?u ?xa (31)
G1a = t1 pa ? mxa pt2 , G2a = t2 pa ? mxa pt1 , t1 ? x0 , t2 ? u,
386 В.И. Фущич, Н.И. Серов

необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид
(n+1)/2
1
|uµ? | = ? u0 + ? = const. (32)
ua ua ,
2m


1. Фущич В.И., Серов Н.И., ДАН, 1982, 263, № 3, 582–586.
2. Фущич В.И., Тычинин В.А., О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982, 48 c.
3. Розенгауз К.М., Препринт, Ленинград, Ин-т ядер. физ., 1982, № 815, 22 c.
4. Фущич В.И., Серов Н.И., ДАН, 1983, 273, № 3, 543–546.
5. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978.
6. Фущич В.И., В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике, Киев,
1981, 5–28.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 387–412.


Подалгебры алгебры Ли расширенной
?
группы Пуанкаре P (1, n)
Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ

?
В работе исследуются относительно P (1, n)-сопряженности подалгебры алгебры Ли
? ?
AP (1, n) расширенной группы Пуанкаре P (1, n). Найдены максимальные приводи-
?
мые и максимальные абелевы подалгебры алгебры AO(1, n) = AO(1, n) ? D (D
?
—дилатация). Выделены вполне приводимые подалгебры алгебры AO(1, n), облада-
?
ющие только расщепляемыми расширениями в алгебре AP (1, n). Доказана теорема
о подпространствах пространства трансляций U , инвариантных относительно приво-
?
димой подалгебры алгебры AO(1, n). Получен ряд общих результатов о подалгебрах
алгебры U? L, где L — нормализатор изотропного подпространства пространства U
+
? ?
в алгебре AO(1, n). Проведена классификация всех подалгебр алгебры AP (1, 4).


Введение
Систематическое изучение подалгебр алгебр преобразований квантовой меха-
ники начато в работе Патеры–Винтернитца–Цассенхауза [1] , в которой предложен
общий метод для описания относительно определенной сопряженности классов по-
далгебр конечномерной алгебры Ли с нетривиальным разрешимым идеалом и, в
частности, с нетривиальным абелевым идеалом. Этим методом проведена клас-

<< Предыдущая

стр. 89
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>