<< Предыдущая

стр. 90
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

сификация подалгебр таких алгебр: AP (1, 3) [1], ASim(1, 3) [2], ASim(1, 2) [3],
?
AE(3) [4], AO(1, 4) [5], AO(2, 3) [6], AOpt(1, 2) [7], ASch(2), ASch(2) [8], AP (1, 4)
?
[9–13], AE(4) [14], AE(5), AG(3), AG(3) [15]. Несколько ранее подалгебры алге-
бры AP (1, 3) были описаны другим способом в работах [16–18] , а подалгебры
?
алгебр AG(3), AG(3) — в [19].
В силу большой общности метод П.–В.–Ц. требует развития для конкретных
классов алгебр. В данной работе мы даем дальнейшее развитие этого метода для
?
расширенных алгебр Пуанкаре AP (1, n) (n ? 2), обозначаемых также ASim(1, n).
? ?
Необходимость в описании подалгебр алгебры AP (1, n) относительно P (1, n)-
сопряженности вызвана рядом задач теоретической и математической физики. В
?
частности, знание подалгебр алгебры AP (1, n) дает возможность исследовать сим-
метрийную редукцию для релятивистски-инвариантного скалярного дифференци-
ального уравнения

? 2u, (?u)2 , u = 0 [ 20–22 ],

где 2u = ux0 x0 ? ux1 x1 ? · · · ? uxn xn , (?u)2 = (ux0 )2 ? (ux1 )2 ? · · · ? (uxn )2 , а ?
?
— достаточно гладкая функция. Описание подалгебр алгебры AP (1, n) позволяет
?
решать задачу о редукции представлений алгебры AP (1, n) на ее подалгебры.
В работе [23] проведена редукция неприводимых представлений алгебры Пуанкаре
AP (1, n) на подалгебры AP (1, n ? k), а в [24] изучена редукция неприводимых
?
представлений алгебры AP (1, 4) на алгебру Галилея AG(3).
Препринт 85.90, Киев, Институт математики АН УССР, 1985, 52 c.
388 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Дадим краткую характеристику работы. Работа состоит из четырех параграфов.
В § 1 найдены в явном виде максимальные приводимые подалгебры и максималь-
?
ные абелевы подалгебры алгебры AO(1, n) = AO(1, n) ? D , где D — дилатация, а
?
также описаны подалгебры алгебры AO(1, n ? 1) = AO(1, n ? 1) ? D , обладающие
?
только расщепляемыми расширениями в алгебре AE(n ? 1).
?
В § 2 изучаются вполне приводимые подалгебры алгебры AO(1, n). Выделе-
ны те из них, которые обладают только расщепляемыми расширениями в ал-
? ?
гебре AP (1, n). Установлено, что описание расщепляемых подалгебр F алгебры
? ?
AP (1, n), проекции которых F на AO(1, n) не имеют инвариантных изотропных
подпространств в пространстве трансляций U = P0 , P1 , . . . , Pn , сводится к опи-
санию неприводимых частей алгебр F .
?
В § 3 доказан ряд утверждений о подалгебрах алгебры U + F , где F — норма-
? n). Эти утверждения касаются таких вопросов: 1) ра-
лизатор P0 + Pn в AO(1,
?
сщепляемость всех расширений подалгебры L ? F в AP (1, n) или в некоторых
других алгебрах; 2) разложение инвариантных подпространств в прямую сумму
своих проекций на определенные подпространства; 3) явное описание некоторых
?
классов сопряженных подалгебр алгебры AP (1, n).
В § 4 на основании общих результатов, полученных в § 1 – § 3, проводится
? ?
полная классификация подалгебр алгебры AP (1, 4) относительно P (1, 4)-сопря-
женности.

?
§ 1. Максимальные подалгебры алгебры AP (1, n)
Пусть R — поле вещественных чисел; Y1 , . . . , Ys — векторное пространство
или алгебра Ли над R с образующими Y1 , . . . , Ys ; Rm — m-мерное арифметиче-
ское векторное пространство над R; U = U1,n — (1 + n)-мерное псевдоевклидово
пространство со скалярным произведением

(X, Y ) = x0 y0 ? x1 y1 ? · · · ? xn yn ; (1.1)

O(1, n) — группа линейных преобразований U1,n , сохраняющих (X, X) для каждо-
го X ? U1,n . Будем предполагать, что O(1, n) реализирована в виде вещественных
матриц порядка n + 1.
?
Расширенной группой Пуанкаре P (1, n) называется мультипликативная группа
матриц

?? Y
,
0 1

где ? ? O(1, n), ? ? R, ? > 0, Y ? Rn+1 .
Через AG обозначим алгебру Ли группы Ли G. Используя определение алгебры
Ли, легко получить, что AO(1, n) состоит из матриц
? ?
· · · ?0,n?1
0 ?01 ?02 ?0n
? ?01 ?1n ?
· · · ?1,n?1
0 ?12
? ?
? ?02 ?2n ?
??12 · · · ?2,n?1
0
? ?
X=? ?. (1.2)
. . . . .
? ?
. . . . .
. . . . .
? ?
? ?0,n?1 ??1,n?1 ??2,n?1 · · · ?n?1,n ?
0
??1n ??2n · · · ??n?1,n
?0n 0
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 389

Пусть Eik — матрица порядка n + 2, имеющая единицу на пересечении i-ой
строки и k-ого столбца и нули на всех остальных местах (i, k = 0, 1, . . . , n + 1).
?
Легко получить, чтo базис алгебры AP (1, n) образуют матрицы:

D = E00 + E11 + · · · + Enn , J0a = ?E0a ? Ea0 ,
Jab = ?Eab + Eba , P0 = E0,n+1 , Pa = Ea,n+1
(a < b, a, b = 1, 2, . . . , n).

Базисные элементы удовлетворяют таким коммутационным соотношениям:

[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? ,
[P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? , J?? = ?J?? , (1.3)
[P? , P? ] = 0, [D, J?? ] = 0, [D, P? ] = P? ,

где g00 = ?g11 = · · · = ?gnn = 1, g?? = 1, g?? = 0 при ? = ? (?, ? = 0, 1, . . . , n).
Генераторы поворотов J?? порождают алгебру AO(1, n), а генераторы трансля-
? ?
ций P? порождают коммутативный идеал N , причем AP (1, n) = N + (AO(1, n)
? n) = {?E|? ? R, ? > 0} ? O(1, n), где E — единичная ма-
? D ). Пусть O(1,
?
трица порядка n + 1. Очевидно, AO(1, n) = AO(1, n) ? D . Легко видеть, чтo
?
[X, Y ] = X · Y для любых X ? AO(1, n), Y ? N . Отождествим N и U1,n , сопоста-
вив Pi (n + 1)-мерный столбец с единицей на i-ом месте и с нулями на остальных
местах (i = 0, 1, . . . , n).
Пусть C — такая матрица порядка n + 2 над R, чтo отображение ?C : X >
CXC ?1 является автоморфизмом алгебры AP (1, n). Если C ? G, G — под-
?
?
группа P (1, n), то ?C называется G-автоморфизмом. Подалгебры L и L алге-
? ?
бры AP (1, n) называются P (1, n)-сопряженными, если ?C (L) = L для некоторого
? ?
P (1, n)-автоморфизма ?C алгебры AP (1, n).
Пусть W — невырожденное подпространство пространства U . Это подпро-
странство также считаем псевдоевклидовым относительно скалярного произведе-
?
ния, заданного в U . Пусть O(W ) — группа изометрий пространства W , O(W ) =
?
{?E|? ? R, ? > 0} ? O(W ). Если F — подалгебра AO(W ), то тождественное
?
отображение F является представлением F в AO(W ). Будем называть его триви-
? ?
альным представлением F в AO(W ). Подалгебра F ? AO(W ) называется непри-
водимой, если тривиальное представление F является неприводимым. Подалгебра
?
F ? AO(W ) называется вполне приводимой, если ее тривиальное представление
вполне приводимо.
Теорема 1.1. Максимальные приводимые подалгебры алгебры исчерпываются
?
относительно O(1, n)-сопряженности такими алгебрами: 1) AO(1, n ? 1) ? D ;
2) AO(n) ? D ; 3) AO(1, k) ? AO (n ? k) ? D , где AO (n ? k) = Jab |a, b =
k + 1, . . . , n (k = 2, . . . , n ? 2); 4) G1 , . . . , Gn?1 + (AO(n ? 1) ? J0n , D ), где
?
Ga = J0a ? Jan (a = 1, . . . , n ? 1).
?
Доказательство. Если L — максимальная подалгебра алгебры AO(1, n), то L =
AO(1, n) или L = L1 ? D , где L1 — максимальная подалгебра алгебры AO(1, n).
Пусть F — максимальная приводимая подалгебра алгебры AO(1, n), U — под-
пространство пространства U , инвариантное относительно F . Если U — выро-
жденное пространство, то оно содержит одномерное F -инвариантное изотропное
390 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

подпространство W , сопряженное относительно O(1, n) пространству P0 + Pn . В
этом случае
F = {X ? AO(1, n)|(? Y ? W ) (X · Y ? W )}.
Нетрудно получить, что
F = G1 , . . . , Gn?1 + (AO(n ? 1) ? J0n ).
?
Если U — невырожденное пространство размерности r, то в нем существу-
ет ортогональный базис, состоящий из векторов ненулевой длины. Пусть r? , r+
— соответственно числа векторов отрицательной и положительной длины в дан-
ном базисе пространства U . Эти числа не зависят от выбора базиса. Согласно
1 1
теореме Витта два пространства U и U1 , для которых r? = r? , r+ = r+ , являю-
тся сопряженными относительно группы O(1, n). Очевидно, r+ ? {0, 1}. Так как
U = U ? U 1 и U 1 инвариантно относительно F , то алгебра F O(1, n)-сопряжена
одной из алгебр: AO(n), AO(1, k) ? AO (n ? k). Теорема доказана.
?
Пусть AE(n) = P1 , . . . , Pn + (AO(n) ? D ), AE (n ? k) = Pk+1 , . . . , Pn
?
? ? 1) — расширенная алгебра Галилея с базисом: M = P0 + Pn ,
+ AO (n ? k), AG(n
?
P0 , P1 , . . ., Pn?1 , G1 , . . ., Gn?1 , Jab (a, b = 1, . . . , n ? 1). Согласно теореме 1.1
? ?
описание подалгебр алгебры AP (1, n) сводится к описанию относительно P (1, n)-
сопряженности неприводимых подалгебр алгебры AO(1, n) и подалгебр таких ал-
? ?
гебр: AE(n), (AP (1, k) ? AE (n ? k)+ D , AG(n ? 1)+ J0n , D , (k = 2, . . . , n ? 1).
? ?
? ?
Пусть ? — проектирование алгебры AP (1, n) на AO(1, n), F — подалгебра
? ? ? ?
AO(1, n), F — такая подалгебра алгебры AP (1, n), что ?(F ) = F . Если алгебра
?? ?
F P (1, n)-сопряжена алгебре W + F , где W есть F -инвариантное подпространс-
? будем называть расщепляемой в алгебре AP (1, n). Если
?
тво пространства U , то F
? ? ?
любая подалгебра F ? AP (1, n), удовлетворяющая условию ?(F ) = F , является
расщепляемой, то будем говорить, что подалгебра F обладает только расщепля-
?
емыми расширениями в алгебре AP (1, n). Аналогично определяется расщепляе-
мость подалгебр и для других алгебр неоднородных преобразований. Если ничего
не оговорено, то исследование подалгебр данной алгебры на сопряженность про-
водится относительно группы внутренних автоморфизмов.
Предложение 1.1. Пусть F — вполне приводимая алгебра Ли линейных пре-
образований векторного пространства V над полем R, W — неприводимый
F -подмодуль модуля V . Если F W = 0, то алгебра F обладает только расще-
?
пляемыми расширениями в алгебре W + F .
Доказательство. Поскольку F — вполне приводимая подалгебра алгебры g v (V ),
то F = Q ? Z(F ), где Q — фактор Леви, а Z(F ) — центр F [25]. Используя
тождество Якоби, нетрудно получить, чтo каждое прямое слагаемое алгебры F
аннулирует в W только нулевое подпространство.
? ?
Пусть Q = 0, F — такая подалгебра алгебры W + F , что ее проекция на F
1
совпадает с F . По лемме Уайтхеда [25] H (Q, W ) = 0, откуда вытекает что с
точностью до сопряженности относительно группы автоморфизмов exp(?Y ) (? ? R,
? ?
Y ? W ) алгебра F содержит Q. Пусть J ? Z(F ), Y ? W , Y = 0 и J + Y ? F .
Так как [Q, Y ] = 0, то существует такой элемент X ? Q, что [X, Y ] = 0. Пусть
Y1 = [X, Y ], W1 — F -подмодуль модуля W , порожденный Y1 . Вследствие того, что
W1 = Q и W — неприводимый F -модуль, имеем W1 = W . Отсюда вытекает, что
? ? ?
J ? F . Следовательно, если Q = 0, то F ? F , т.е. F — расщепляемая алгебра.
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 391

Пусть Q = 0, J ? Z(F ). Поскольку J аннулирует в W только нулевое подпро-
странство, то [J, W ] = W . Отсюда следует, что для любого Y ? W существует
?
такой элемент Y ? W , что [J, Y ] = Y . Поэтому можно предполагать, чтo J ? F .
? ?
Если F содержит J1 + Y1 , где Y1 ? W и Y1 = 0, то [J, Y1 ] ? F и [J, Y1 ] = 0. Как и в
? ?
случае Q = 0 получаем, что Y1 ? F , т.е. F — расщепляемая алгебра. Предложение
доказано.
?
Предложение 1.2. Пусть AE(n ? 1) = G1 , . . . , Gn?1 + (AO(n ? 1) ? J0n ), где
?
Ga = J0a ? Jan (a = 1, . . . , n ? 1). Подалгебра F ? AO(n ? 1) ? J0n обладает
?
только расщепляемыми расширениями в AE(n?1) тогда и только тогда, когда
F — полупростая алгебра или F не сопряжена подалгебре алгебры AO(n ? 2).
Доказательство. Пусть W = G1 , . . . , Gn?1 . Поскольку каждая подалгебра алге-
бры AO(n ? 1) является вполне приводимой и [J0n , Ga ] = ?Ga , то каждая подал-
гебра F алгебры AO(n ? 1) ? J0n также является вполне приводимой алгеброй
линейных преобразований пространства W .
Пусть W = W1 ? · · · ? Ws — разложение W в прямую сумму неприводимых
F -модулей. Если проекция F на J0n не является нулевой, то [F, Wi ] = Wi для
всех i = 1, . . . , s. Отсюда в силу предложения 1.1 вытекает, что F обладает только

<< Предыдущая

стр. 90
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>