<< Предыдущая

стр. 91
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
расщепляемыми, расширениями в AE(n ? 1). Допустим, что проекция F на J0n
равна 0. Если F — полупростая алгебра, то по лемме Уайтхеда [25] H 1 (F, W ) = 0,
?
а потому каждое расширение F в AE(n?1) расщепляемо. Пусть F не является по-
лупростой алгеброй. При dim Wi ? 2 имеем [F, Wi ] = 0, и в силу предложения 1.1
?
F обладает только расщепляемыми расширениями в AE(n ? 1). При dim Wi = 1
модуль Wi аннулируется алгеброй F и алгебра F сопряжена подалгебре алгебры
AO(n ? 2). Если Z(F ) — центр F и X — ненулевой элемент Z(F ), то для любо-
? ?
го ненулевого Y ? Wi существует подалгебра F алгебры AE(n ? 1), получаемая
?
из алгебры F в результате замены X на X + Y . Очевидно, F не расщепляется.
Предложение доказано.
Из теоремы 1.1 и свойств разрешимых подалгебр алгебры AO(n) вытекает, что
если n — нечетное число, то AO(1, n) обладает относительно O(1, n)-сопряженности
только одной максимальной разрешимой подалгеброй:
G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , Jn?2,n?1 , J0n .
Если n — четное число, то AO(1, n) обладает двумя максимальными разрешимыми
подалгебрами:
J12 , J34 , . . . , Jn?1,n , G1 , . . . , Gn?1 , J12 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , J0n .
Поскольку расширение абелевой алгебры с помощью разрешимой алгебры яв-
ляется разрешимой алгеброй, то максимальные разрешимые подалгебры алгебры
?
AP (1, n) имеют вид U + F , где F — максимальная разрешимая подалгебра ал-
?
гебры AO(1, n). Максимальные разрешимые подалгебры алгебры AP (1, n) исчер-
пываются алгебрами U + (F ? D ).
?
?
Предложение 1.3. Максимальные абелевы подалгебры алгебры AO(1, n) исчер-
?
пываются относительно O(1, n)-сопряженности такими алгебрами:
n = 2k + 1
J12 , J34 , . . . , Jn?2,n?1 , J0n , D ; G1 , G2 , . . . , Gn?1 , D ;
G1 , G2 , . . . , G2a , J2a+1,2a+2 , J34 , . . . , Jn?2,n?1 , D (a = 1, . . . , k ? 1);
392 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

n = 2k
J12 , J34 , . . . , Jn?1,n , D ; J12 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , J0n , D ;
G1 , G2 , . . . , Gn?1 , D ; J12 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , Gn?1 , D ;
G1 , G2 , . . . , G2a , Gn?1 , J2a+1,2a+2 , J34 , . . . , Jn?3,n?2 , D (a = 1, . . . , k ? 2).

Записанные алгебры попарно не сопряжены.
?
Доказательство. Если F — максимальная абелева подалгебра алгебры AO(1, n),
то в силу предложения 1.2 F = ??L? D , где L — подалгебра алгебры AO(n?1)?
J0n или алгебры AO(n), а ? — подпространство G1 , . . . , Gn?1 . Если проекция
L на J0n отлична от нуля, то ? = 0. Пусть проекция L на J0n является нулевой.
Если L — подалгебра Картана алгебры AO(n), то ? = 0. В остальных случаях при
L = 0 можно предполагать, чтo L = J2t+1,2t+2 |t = a, . . . , l ? 1 (l = [n ? 1/2],
a = 1, . . . , l ? 1), а ? = {Gc |[L, Gc ] = 0}. Предложение доказано.

?
§ 2. Вполне приводимые подалгебры алгебры AO(1, n)
В этом параграфе мы докажем ряд общих результатов о вполне приводимых
?
подалгебрах алгебры AO(1, n) и покажем, как для этих подалгебр находить инва-
риантные подпространства пространства U .
Предложение 2.1. Пусть W — евклидово пространство над полем R, F —
неприводимая подалгебра алгебры AO(W ). Если dim W = 2n + 1, то F — по-
лупростая алгебра. Если dim W = 2n, n ? 2, и F — неполупростая алгебра,
то F = Q ? J , где Q — фактор Леви, а J 2 = ?E (E — единичная матрица
порядка 2n). Каждая простая компонента и центр алгебры F аннулируют в
W только нулевое пространство.
Доказательство. Пусть F — неприводимая подалгебра алгебры AO(W ). Тогда [25]
F = Z(F ) ? Q, где Z(F ) — центр, a Q — фактор Леви. Если F — абсолютно не-
приводимая алгебра, то в силу леммы Шура каждая матрица из Z(F ) является
скалярной. Поскольку след любой матрицы из AO(W ) равен 0, то Z(F ) = 0.
Допустим, что F не является абсолютно неприводимой. Если dim W = k, то
k ? 0 (mod 2) и с точностью до O(k, C)-сопpяжeннocти каждый элемент алгебры
F можно представить в виде
?0
,
?
0?
? ?
где ? — матрица, сопряженная ?. Так как ?, ? — абсолютно неприводимые
представления алгебры F , то в силу леммы Шура элементы Z(F ) можно запи-
сать в виде diag [i?E, ?i?E] (? ? R). Следовательно, dim Z(F ) ? 1, Очевидно,
(diag [iE, ?iE])2 = diag [?E, ?E].
Пусть L — простая компонента алгебры Q, F = L ? N , W — такое подпро-
странство W , что [L, W ] = 0. Если X ? L, X1 ? N , Y ? W , то на основании
тождества Якоби [X, [Y, X1 ]] = 0, а поэтому W — F -модуль. В силу неприводи-
мости W получаем, что W = 0. Предложение доказано.
Предложение 2.2. Если n ? 2, то неприводимая подалгебра алгебры AO(1, n)
является полупростой и некомпактной.
Доказательство. Пусть F — неприводимая подалгебра алгебры AO(1, n),
Z(F ) — центр F . Если Z(F ) = 0, то как и в доказательстве предложения 2.1
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 393

получаем, чтo Z(F ) = J , где J 2 = ?E. Пусть X — произвольный элемент вида
(1.2) алгебры AO(1, n). Если X 2 = ?E, то ?01 + ?02 + · · · + ?0n = ?1. Полученное
2 2 2

противоречие доказывает, чтo Z(F ) = 0, Значит, F — полупростая алгебра.
Если F — компактная алгебра, то существует такая симметрическая матрица
C ? GL(n+1, R), что C ?1 F C ? AO(n+1) [26]. Так как exp(C ?1 F C) = C ?1 ·exp F ·
C, то в O(n + 1) существует неприводимая группа, сохраняющая одновременно
x2 +x2 +· · ·+x2 и ?2 x2 ??2 x2 ?· · ·??2 x2 (?0 , ?1 , . . . , ?n — ненулевые вещественные
n nn
0 1 00 11
числа). Полученное противоречие и доказывает вторую часть предложения.
?
Предложение 2.3. Приводимая подалгебра алгебры AO(1, n) является вполне
приводимой тогда и только тогда, когда она сопряжена подалгебре алгебры
L ? D или одной из алгебр: L1 ? L2 , L1 ? L2 ? D , где L = AO(n) или L =
AO(n ? 1) ? J0n , L1 — неприводимая подалгебра алгебры AO(1, k) (k > 1), а
L2 — подалгебра алгебры AO (n ? k) = Jab | a, b = k + 1, . . . , n .
Предложение 2.3 является следствием предложений 1.2, 2.2 и того факта, что
Ga действует не вполне приводимо на пространстве P0 + Pn , Pa .
?
Предложение 2.4. Вполне приводимая подалгебра F алгебры AO(1, n) облада-
?
ет только расщепляемыми расширениями в алгебре AP (1, n) тогда и только
тогда, когда F полупроста или F не сопряжена подалгебре одной из алгебр:
AO(n), AO(1, n ? 1).
Доказательство предложения 2.4 аналогично доказательству предложения 1.2.
Предложение 2.5. Пусть L — алгебра Ли над полем R, ? и ? — представления
алгебры L кососимметрическими матрицами. Для того чтобы ? и ? были
эквивалентными над R, необходимо и достаточно, чтобы C?C ?1 = ? для
некоторой ортогональной матрицы C.
Доказательство. Представления ? и ? являются вполне приводимыми:

B?(X)B ?1 = diag [?1 (X), . . . , ?m (X)], ?1
= diag [?1 (X), . . . , ?m (X)],
B ? (X)B

где X ? L, а B, B — ортогональные матрицы. Если ? эквивалентно ? над R, то
m=m и
?1
(2.1)
Ci ?i (X)Ci = ?ki (X)
для вещественной матрицы Ci и произвольного X ? L (i = 1, . . . , m). Покажем,
что в качестве Ci можно взять ортогональную матрицу.
Матрицу Ci , удовлетворяющую соотношению (2.1), можно записать в виде
Ti Oi , где Ti — положительно определенная симметрическая матрица, а Oi — ор-
тогональная матрица. Равенство (2.1) запишем в таком виде:
Ti (Oi ?i (X)Oi )Ti?1 = ?ki (X).
?1


Если в последнем равенстве перейти к транспонированным матрицам, то получим,
что
Ti?1 (Oi ?i (X)Oi )Ti = ?ki (X).
?1


Отсюда и из предыдущего равенства вытекает, что
Ti?1 ?ki (X)Ti = Ti ?ki (X)Ti?1
394 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

или
Ti2 ?ki (X)Ti?2 = ?ki (X).
Так как Ti — положительная матрица, то Ti = f (Ti2 ), где f (x) — многочлен над P .
Следовательно,
Ti ?ki (X)Ti?1 = ?ki (X),
а потому
?1
Oi ?i (X)Oi = ?ki (X).
Пусть C = diag [O1 , . . . , Om ]. Очевидно, C — ортогональная матрица и с точно-
стью до нумерации подпредставлений C?(X)C ?1 = ? (X) (X ? L). Предложение
доказано.
?
Предложение 2.6. Пусть F — неприводимая подалгебра алгебры AO(n), W =
?
?
P1 , . . . , Pn . Каждый автоморфизм алгебры W + F является E(n)-автомор-
физмом.
Доказательство. Пусть F = L ? Q, где L — центр, а Q — фактор Леви. Если
? ? ?
? — автоморфизм алгебры W + F , то ?(W + L) = W + L и с точностью до
?
E(n)-автоморфизма ?(Q) = Q. Вследствие неприводимости F имеем ?(W ) = W .
Поскольку F не сопряжена подалгебре алгебры AO(n ? 1), то на основании пре-
дложения 1.1 ?(L) = L. Так как [?(X), ?)Pi )] = ?([X, Pi ]) (i = 1, . . . , n), то для
каждого X ? F матрица оператора ?(X) в базисе ?(P1 ), ?(P2 ), . . . , ?(Pn ) совпа-
дает с матрицей оператора X в базисе P1 , P2 , . . . , Pn . Отсюда вытекает, что если
B — матрица перехода от базиса P1 , P2 , . . . , Pn до базиса ?(P1 ), ?(P2 ), . . . , ?(Pn ),
то BXB ?1 = ?(X). Пусть B = T O, где T — положительно определенная симме-
трическая матрица, а O — ортогональная матрица. Тогда T ·?(X) = ?(X)·T . Пусть
? — собственное значение матрицы T . Так как (T ? ?E) · ?(X) = ?(X) · (T ? ?E),
то по лемме Шура T ? ?E = 0, а значит, B = ?O. Прeдложение доказано.
Пусть Ai — алгебра Ли над R (i = 1, 2), f : A1 > A2 — изоморфизм, B =
{X, F (X) | X ? Ai }. Полагая
[(X1 , f (X1 )), (X1 , f (X1 ))] = ([X1 , X1 ], f ([X1 , X1 ]))
и определяя сложение и умножение на скаляры покомпонентно, превращаем B
в алгебру Ли над R. Обозначим ее через (A1 , A2 , f ). Очевидно, (A1 , A2 , f ) —
подпрямая сумма алгебр A1 и A2 .
Пусть Wi — левый Ai -модуль (i = 1, 2). Легко видеть, что Wi является B-
модулем, если положить (X, f (X)) · Y1 = X · Y1 , (X, f (X)) · Y2 = f (X) · Y2 для
любых X ? A1 , Y ? Wi (i = 1, 2). Пусть W — B-подмодуль модуля W1 ? W2 . Если
W = W1 ? W2 , где Wi ? Wi (i = 1, 2), то W называется расслоенным B-модулем.
В противном случае модуль W называется нерасслоенным B-модулем.
Лемма 2.1. Пусть B = (A1 , A2 , f ), Vi — левый Ai -модуль (i = 1, 2). Для того
чтобы в B-модуле V1 ? V2 существовал нерасслоенный B-подмодуль, необходи-
мо и достаточно, чтобы B-модули V1 и V2 обладали изоморфными композици-
онными факторами.
Доказательство. Пусть W — нерасслоенный B-подмодуль модуля V1 ? V2 . Тогда
W — подпрямая сумма модулей W1 и W2 , где Wi ? Vi (i = 1, 2). Пусть Si =
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 395

W ? Vi (i = 1, 2). Очевидно Si — B-подмодуль модуля W . Модуль W/(S1 ? S2 )
является нерасслоенным B-подмодулем модуля V1 /S1 ? V2 /S2 . Вследствие этого
будем предполагать, что W ? Vi = 0 (i = 1, 2).
Для каждого элемента Y1 ? W1 существует единственный элемент Y2 ? W2 ,
такой, что (Y1 , Y2 ) ? W . Полагаем, что ?(Y1 ) = Y2 . Отображение ? является
изоморфизмом B-модулей W1 и W2 . Но в таком случае модули W1 и W2 обладают
изоморфными композиционными факторами. Необходимость леммы доказана.
Пусть Wi — левый B-подмодуль модуля Vi (i = 1, 2) и пусть композиционный
фактор W1 /N1 модуля W1 изоморфен композиционному фактору W2 /N2 модуля
W2 . Через W обозначим векторное пространство над полем R, порожденное пара-
ми (Z1 , 0), (0, Z2 ), (Y1 , Y2 ), где Zi ? Ni , Yi ? Wi (i = 1, 2) и ?(Y1 + N1 ) = Y2 + N2
для изоморфизма ? : W1 /N1 > W2 /N2 . Легко видеть, чтo W — нерасслоенный
B-модуль. Достаточность леммы доказана.
Пусть ? — тривиальное представление вполне приводимой алгебры F ?
? n), не имеющей инвариантных изотропных подпространств в пространс-
AO(1,
тве U . Тогда ? O(1, n)-эквивалентно ?1 +· · ·+?m , где Fi = {diag [0, . . . , ?i (X), . . . , 0]
?
| X ? F } является неприводимой подалгеброй алгебры AO(W1 ). Если Fi = 0, то
алгебру Fi будем называть неприводимой частью алгебры F . Если ?i и ?j суть
эквивалентные представления , то в силу предложений 2.2, 2.5 можно предпола-
гать, что для любого X ? F имеет место равенство ?i (X) = ?j (X). Объединив
эквивалентные ненулевые неприводимые подпредставления, мы получим ненуле-
вые дизъюнктные примарные подпредставления представления ?. Соответствую-
?
щие им подалгебры алгебры AO(1, n), построенные по тoму же правилу, что и
неприводимые части Fi , будем называть примарными частями алгебры F .
Теорема 2.1. Пусть K1 , K2 , . . . , Kq — примарные части подалгебры F алгебры
?
AO(1, n), V — подпространство пространства U = P0 , P1 , . . . , Pn , инвариан-
?
тное относительно F . Тогда V = V1 ? · · · ? Vq ? V , где Vi = [Ki , V ] = [Ki , Vi ],
?
[Kj , Vi ] = 0 при j = i (i, j = 1, . . . , q), V = {X ? V | [F, X] = 0}. Если примар-
ная алгебра K является подпрямой суммой неприводимых подалгебр соответ-
ственно алгебр AO(W1 ), AO(W2 ), . . . , AO(Wr ), то относительно O(1, n) сопря-
женности ненулевые подпространства W пространства U с условием [K, W ] =
W исчерпываются пространствами: W1 , W1 ? W2 , . . . , W1 , ?W2 ? · · · ? Wr .
Доказательство. Из полной приводимости алгебры F вытекает, что V = V ?
? ?
V , где V — максимальное подпространство пространства V , аннулируемое F .
Далее будем предполагать, что V = V . На основании предложения 2.2 можно
допускать, что F ? AO(m), m ? n. Пусть Ki — подпрямая cyммa неприводимых
частей Ki1 , . . . , Kisi , Vij = [Kij , V ], ?ij — проектирование V на Vij (i = 1, . . . , q;
j = 1, . . . , si ). Допустим, что ?ab (V ) = 0. На основании леммы 2.1 для каждой
пары (c, d), где 1 ? c ? q, c = a, 1 ? d ? sc , в пространстве V существует
такое F -инвариантное подпространство ?, чтo ?ab (?) = 0 и ?cd (?) = 0. Отсюда
следует, что в V существует максимальное F -инвариантное подпространство Uab
со свойством: ?ab (Uab ) = 0, ?cd (Uab ) = 0 для всех c = a, d = 1, 2, . . . , sc . Очевидно,
Va = Uab .
Пусть примарная алгебра K является подпрямой суммой неприводимых под-
алгебр соответственно алгебр AO(W1 ), AO(W2 ), . . . , AO(Wr ). Допустим, что W —
ненулевое подпространство пространства W1 ? W2 ? · · · ? Wr и [K, W ] = W . На
основании теоремы Витта существует такая изометрия B ? O(W ), чтo B(W ) =
396 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

W1 ? · · · ? Ws (1 ? s ? r) и пространство Wi инвариантно относительно BKB ?1
(i = 1, . . . , s). Отсюда получаем, чтo BKB ?1 является подпрямой суммой неприво-
димых подалгебр соответственно алгебр AO(W1 ), AO(W2 ), . . . , AO(Wr ). Посколь-
ку в силу предложения 2.5 неприводимые части алгебры определяются однозначно
с точностью до сопряженности, то можно считать, что BKB ?1 . Теорема доказана.
? ?
На основании теоремы 2.1 описание расщепляемых подалгебр F ? AP (1, n),
?
для которых ?(F ) — вполне приводимая алгебра и не имеет изотропных инва-

<< Предыдущая

стр. 91
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>