<< Предыдущая

стр. 92
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

риантных подпространств в пространстве U , сводится к описанию неприводимых
подалгебр алгебр AO(1, k) и AO(k) (k = 2, 3, . . . n). Остальные случаи сводятся к
?
случаю алгебры AG(n ? 1) + J0n , D .
?

?
§ 3. Подалгебры алгебры AG(n ? 1) + J0n , D ?
? ? 1) имеет базис, состоящий из M =
Расширенная алгебра Галилея AG(n
P0 + Pn , P0 , P1 , . . ., Pn?1 , G1 , . . ., Gn?1 , Jab , (a < b, a, b = 1, . . . , n ? 1), где
Ga = J0a ? Jan (a = 1, 2, . . . , n ? 1; n ? 3). Базисные элементы удовлетворяют
таким коммутационным соотношениям:
[Jab , Jcd ] = gad Jbc + gbc Jad ? gac Jbd ? gbd Jac , [Pa , Jbc ] = gab Pc ? gac Pb ,
[Pa , Pb ] = 0, [Ga , Jbc ] = gab Gc ? gac Gb , [Ga , Gb ] = 0, [Pa , Gb ] = ?ab M,
[Pa , M ] = [Ga , M ] = [Jab , M ] = [P0 , Jab ] = [P0 , M ] = [P0 , Pa ] = 0,
(a, b, c, d = 1, 2, . . . , n ? 1).
[P0 , Ga ] = Pa
?
Целью данного параграфа является изучение подалгебр алгебры AG(n ? 1) + ?
? (1, n)-сопряженности.
J0n , D относительно P
Пусть V = G1 , . . . , Gn?1 — евклидово пространство с ортонормированным
базисом G1 , . . . , Gn?1 , V = [P0 , V ], V = P1 , . . . , Pn?1 (n ? 3). Условимся группу
O(n ? 1) отождествлять с группами изометрий O(V ), O(V ).
Леммы 3.1. Пусть W1 = Y1 , . . . , Ym , W2 = Z1 , . . . , Zm — евклидовы про-
странства над полем R, O(Wi ) — группа изометрий Wi (i = 1, 2). Подпро-
странства пространства W1 ? W2 исчерпываются относительно O(W1 ) ?
O(W2 )-сопряженности такими пространствами:
O, Y1 , . . . , Yr , Z1 , . . . , Zs , Y1 , . . . , Yr , Z1 , . . . , Zs (r, s = 1, . . . , m),
Y1 , . . . , Yk , Yk+1 + ?1 Z1 , . . . , Yk+t + ?t Zt ? ?,
где 0 < ?1 ? ?2 ? · · · ? ?t , а ? совпадает с одним из пространств: O,
Zt+1 , Zt+1 , Zt+2 , . . ., Zt+1 , Zt+2 , . . . , Zm (k = 1, . . . , m ? 1; t = 1, . . . , m ? k),
Y1 + ?1 Z1 , . . . , Yt + ?t Zt ? ?, где 0 < ?1 ? ?2 ? · · · ? ?t , а ? совпадает с одним
из пространств: O, Zt+1 , Zt+1 , Zt+2 , . . ., Zt+1 , Zt+2 , . . . , Zm (t = 1, 2, . . . , m).
Доказательство. Пусть N — подпространство W1 ? W1 и N = W1 ? W2 , где
Wi — подпространство Wi (i = 1, 2). Если Si = N ? Wi , Ni — проекция N
на Wi (i = 1, 2), то N1 /S1 ? N2 /S2 . Пусть dim S1 = k. По теореме Витта
=
пространство S1 сопряжено Y1 , . . . , Yk . Если dim (N1 /S1 ) = t, то N содержит
элементы Yk+j + ?1j Z1 + · · · + ?tj Zt (j = 1, . . . , t), причем матрица A = (?ij )
невырождена. Матрица A однозначно представляется в виде CT , где C — орто-
гональная матрица, а T — положительно определенная симметрическая матрица.
Изометрия diag [Em , C ?1 , Em?t ] отображает N на пространство, которому соответ-
ствует матрица C ?1 (CT ) = T . Существует такая ортогональная матрица C1 , чтo
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 397

?1
C1 T C1 = diag [?1 , ?1 , . . . , ?t ]. Изометрия diag [Ek , C1 , Em?k?t , C1 , Em?t ] отобра-
?1
жает N на пространство, которому соответствует матрица C1 T C1 . Следователь-
но, N сопряжено пространству S1 ? Yk+1 + ?1 Z1 , . . . , Yk+t + ?t Zt ? S2 , где ?j > 0
(j = 1, . . . , t). Лемма доказана.
Лемма 3.2. Пусть L = G1 , . . . , Gk (1 ? k ? n ? 1), F — подпрямая сумма L и
?
D . Алгебра F обладает только расщепляемыми расширениями в AP (1, n).
? ? ?
Доказательство. Пусть F — такая подалгебра AP (1, n), что ?(F ) = F . С точно-
?
стью до O(n ? 1)-сопряженности можно предполагать , что F содержит генератор
n
X1 = G1 + ?? P? + ?D (? = 0).
?=0

Очевидно,
bµ Pµ · X1 · exp ? bµ Pµ = G1 + ?D + (?0 ? ?b0 + b1 )P0 +
exp
n?1
+(?1 + b0 ? bn ? ?b1 )P1 + (?n + b1 ? ?bn )Pn + (?1 ? ?bi )Pi .
2

Полагаем
?0 ? ?b0 + b1 = 0, ?1 + b0 ? bn ? ?b1 = 0,
(3.1)
?n + b1 ? ?bn = 0, ?i ? ?bi = 0 (i = 2, . . . , n ? 1).
Определитель из коэффициентов при b0 , b1 , bn равен ?? 3 . Поскольку ? = 0,
то система (3.1) имеет решение. Следовательно, можно предполагать, чтo X1 =
G1 + ?D. Пусть a = 1, Xa = Ga + ?µ Pµ + ?D (µ = 0, 1, . . . , n). Так как
[X1 , Xa ] = ?(?0 ? ?n )P1 ? ?1 M + ? ?µ Pµ ,
[X1 , Xa ] ? ?Xa = ??Ga ? ??D ? (?0 ? ?n )P1 ? ?1 M,
то будем допускать, чтo Xa = Ga + ?M + ?P1 + ?D. Тогда [X1 , Xa ] = (?? ? ?)M +
??P1 (a = 2, . . . , k).
Если ?? ? ? = 0, то будем считать, что ? = 0, ? = 0. Поскольку
[X1 , [X1 , Xa ]] = ?2??M + ? 2 ?P1 ,
? ? ?
то F содержит M ? ?P1 , ?2m + ?P1 , а потому M, P1 ? F . Значит, Ga + ?D ? F .
?
Пусть ?? ? ? = 0. Если ? = 0, то P1 ? F . Поскольку [X1 , P1 ] = [G1 + ?D, P1 ] =
? ?
?M + ?P1 , то M ? F , а следовательно Ga + ?D ? F . Если ? = 0, то ? = 0. Это
?
доказывает, чтo F — расщепляемая алгебра. Лемма доказана.
Пусть
?0 = M , ?i = M, P1 , . . . , Pi , ?k = P0 , Pn , P1 , . . . , Pk ,
0n 0n 0n
(3.2)
?j = Pr+d + ?d Pk+d | d = 1, 2, . . . , j ? r ,
?t = Ps , . . . , Pt ,
s r+1

где 0 < ?1 ? ?2 ? · · · ? ?j?r (r + 1 ? j ? k).
Предложение 3.1. Пусть L = G1 , . . . , Gk . Подпространства пространства
U = P0 , P1 , . . . , Pn , инвариантные относительно L, исчерпываются относи-
тельно O(1, n)-сопряженности такими пространствами:
?i ? ?t , ?k ? ?t ,
?i , ?k , ?t ,
0, 0n 0n 0n 0n
k+1 k+1 k+1
?r ? ?j , ?r ? ?j ? ?s
k+1+j?r ,
0n 0n
r+1 r+1
398 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

где i = 0, 1, . . . , k; t = k + 1, . . . , n ? 1; r = 0, 1, . . . , k ? 1; j = r + 1, . . . , k, s =
k + 1 + j ? r, . . . , n ? 1.
Доказательство. Пусть W — подпространство пространства ?k , инвариантное 0n
относительно L. Поскольку [Pa , Ga ] = M , то при W = 0 имеем M ? W . Нормали-
затор алгебры L в O(n) содержит O(k). Отсюда и из теоремы Витта следует, что
если W = M и P0 ? W , то W = ?i (1 ? i ? k). Если P0 ? W , то W = ?k .
0n 0n
Для описания подпространств пространства U , инвариантных относительно L,
воспользуемся подходом Ли–Гурса. Так как вследствие теоремы Витта ненуле-
вые подпространства пространства ?n?1 исчерпываются относительно O(n ? 1)-
k+1
k+1 (t = k + 1, . . . , n ? 1), то нам необходимо
сопряженности проcтранcтвами ?t
классифицировать подпрямые суммы таких пар пространств:
?j , (j = 0, 1, . . . , k; t = k + 1, . . . , n ? 1).
?k , ?t , ?t
0n k+1 k+1
0n

Пусть N — подпрямая сумма ?k и ?t . Если P0 + ?Pk+1 ? N (? = 0), то
0n k+1
N содержит P1 , P1 = ?[G1 , P0 + ?Pk+1 ], а значит, и M . Пусть N = exp(?Gk+1 ) ·
N · exp(??Gk+1 ). Пространство N содержит P0 + (? ? ?)Pk+1 + (?2 /2 ? ??)M . Так
как M ? N , то P0 + (? ? ?)Pk+1 ? N . Полагая ? = ?, получаем, что P0 ? N , а
потому ?k ? N . Следовательно, N = ?k ? ?t .
0n 0n k+1
j
Пусть N — подпрямая сумма ?0n и ?k+1 . Если j = 0, M + ?Pk+1 ? N (? = 0),
t

то N содержит (1 ? ??)M + ?Pk+1 . Полагая 1 ? ?? = 0, получаем, что N = ?t .k+1
? ?t /S2 ,
j j
Если j = 0, то M ? N . Допустим, что N = ?0n ? ?k+1 . Тогда ?0n /S1 = k+1
t

где S1 = N ? ?j , S2 = N ? ?t .
0n k+1
j
Пусть dim(?0n /S1 ) = j ? r. С точностью до сопряженности можно допустить,
что S1 = ?r , а S2 = 0 или S2 = ?s k+1+j?r , а потому в силу леммы 3.1 N
0n
сопряжено одному из пространств:
?r ? ?j , ?r ? ?j ? ?s
k+1+j?r .
0n 0n
r+1 r+1

Предложение доказано.
На основании леммы 3.2 и предложения 3.1 заключаем , что подалгебры ал-
гебры P0 , M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , D , обладающие ненулевой проекцией на
?
D , исчерпываются относительно P (1, n)-сопряженности такими алгебрами:
D : 0, P0 , M , P0 ? M , P0 , M , M, P1 , P0 ? M, P1 , P0 , M, P1 ,
M, P1 , P2 , P0 ? M, P1 , P2 , P0 , M, P1 , P2 , M, P1 , P2 , P3 ,
P0 ? M, P1 , P2 , P3 , . . . , P0 , M, P1 , P2 , . . . , Pn?2 , M, P1 , P2 , . . . , Pn?1 ,
P0 ? M, P1 , P2 , . . . , Pn?1 , P0 , M, P1 , . . . , Pn?1 ;
G1 + ?1 D, . . . , Gk + ?k D, ?D : 0, ?i , ?k , ?t , ?i ? ?t ,
0n 0n 0n
k+1 k+1
?k ? ?t , ?r ? ?j , ?r ? ?j ? ?s
k+1+j?r ,
0n 0n 0n
r+1 r+1
k+1

где k = 1, . . . , n ? 1; i = 0, 1, . . . , k; t = k + 1, . . . , n ? 1; r = 0, 1, . . . , k ? 1; j =
r + 1, . . . , k; s = k + 1 + j ? r, . . . , n ? 1.
?
Запись F : W1 , . . . , Ws означает, что речь идет о подалгебрах W1 + F , . . .,
?
Ws + F .
Дальнейшее упрощение алгебры W + G1 +?1 D, . . . , Gk +?k D, ?D производим
?
O(1, n)-автоморфизмами, принадлежащими нормализатору W в группе O(1, n)-
автоморфизмов. Если, например, exp(?J12 ) содержится в нормализаторе, то вместо
G1 + ?1 D, G2 + ?2 D можно взять G1 + ?1 D, G2 .
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 399

Предложение 3.2. Подалгебры алгебры P0 , M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , со-
?
держащие P0 , исчерпываются относительно P (1, n)-сопряженности такими
алгебрами:
P0 , P0 , M , P0 , M, P1 , . . . , P0 , M, P1 , . . . , Pn?1 ,
P0 , M, P1 , . . . , Pa , G1 , . . . , Ga ? L,
где L совпадает с одной из алгебр:
0, Pa+1 , Pa+1 , . . . , Pn?1 (a = 1, . . . , n ? 1),
P0 , M, P1 , . . . , Pa , G1 + Pa+1 , G2 + ?2 Pa+2 , . . . , Ga + ?a P2a ? L,
где 0 < ?2 ? · · · ? ?a при a = 1, a L совпадает с одной из алгебр:
0, P2a+1 , . . . , P2a+1 , . . . , Pn?1 , (a = 1, . . . , [n ? 1/2]),
P0 , M, P1 , . . . , Pa , . . . , Pa+b , G1 , . . . , Ga ,
Ga+1 + Pa+b+1 , . . . , Ga+b + ?b Pa+2b ? L,
где 0 < ?2 ? · · · ? ?b при b = 1, a L совпадает с одной из алгебр:
0, Pa+2b+1 , . . . , Pa+2b+1 , . . . , Pn?1
(a = 1, . . . , n ? 2; b = 1, . . . , [n ? 1 ? a/2]).
Подалгебры алгебры P0 , M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 , не содержащие P0 ,
но обладающие ненулевой проекцией на P0 , сопряжены алгебрам, получае-
мым из подалгебр алгебры P0 , M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?2 , содержащих P0 ,
в результате замены P0 на P0 + ?i Gi (i = 1, . . . , n ? 1; ?1 + · · · + ?n?1 = 0).
2 2

Доказательство предложения 3.2 проводим на основании леммы 3.1 методом
Ли–Гурса.
В дальнейшем будем использовать такие обозначения: M = P0 , M, P1 , . . .,
Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 ; m = [n ? 1/2]; ?(n ? 1) = J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m — подалге-
?
бра Картана алгебры AO(n ? 1); ?0,n — проектирование AP (1, n) на P0 , Pn ; ?a
? ?
— проектирование AP (1, n) на Pa ; ? — проектирование AG(n ? 1) + J0n , D на ?
m
AO(n ? 1) + J0n , D ; ?(n ? 1) =
? ?i J2i?1,2i | ?i = 0, 1 .
1
Если Xa , Xb ? ?(n ? 1), то Xa ? Xb — сумма общих слагаемых элементов Xa ,
Xb ; Xa ? Xb = 0, если Xa и Xb не имеют общих слагаемых.
Лемма 3.3. Пусть T = ?1 X1 +· · ·+?k Xk +?J0n +?D+?P0 , где Xi ? ?(n?1), ?i =
0, ?i = ?j , Xi ? Xj = 0 при i = j. Если W — подпространство пространства M
2 2

?
и [T, W ] ? W , то W = W1 ? · · · ? Wk ? W , где Wi = [Xi , W ] = [Xi , Wi ], [?J0n +
? ? ?
?D + ?P0 , Wi ] ? Wi , [Xj , Wi ] = 0 при j = i, [Xi , W ] = 0, [?J0n + ?D + ?P0 , W ] ? W .
Доказательство. Пусть X = ?1 X1 +· · ·+?k Xk , Z = ?J0n +?D+?P0 , M = [X, M],
? ?
M = {Y ? M | [X, Y ] = 0}, W — проекция W на M , а W — проекция W на
? ?
M. 0чевидно M = M ? M. Поскольку композиционные факторы Z -модуля M
?
одномерны, то композиционные факторы Z -модуля W также одномерны. Пусть
M(P ) = {Pa ? M | [X, Pa ] = 0}. Легко видеть, чтo M(P ) и M /M(P ) можно пред-
ставить в виде прямых сумм двумерных неприводимых T -подмодулей. Отсюда
вытекает, чтo paзмeрности композиционных факторов T -модуля W также рав-
?
ны 2. Применяя теперь лемму 2.1, заключаем, что W = W ? W .
400 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Пусть Mi = [Xi , M], Wi — проекция W на Mi . Очевидно, M = M1 ?· · · ?Mk .
Вначале установим, что [Z, Wi ] ? Wi . Так как для произвольного Yi ? Wi [J0n ?
D, Yi ] = ?Yi , том можно предполагать, что ? = 0. Очевидно,

[T, [T, Yi ]] = ??i Yi + 2?i [Xi , [?D + ?P0 , Yi ]] + ?[?D + ?P0 , Yi ].
2


Пусть Yi = 2?i [Xi , [?D + ?P0 , Yi ]] + ?[?D + ?P0 , Yi ], Yi = 2?i [Xi , [?D + ?P0 , Yi ]] +
?[?D + ?P0 , Yi ]. Пространство Wi содержит Yi , Yi . Нетрудно получить, что Yi =
4?i ? 2 [Xi , [?D+?P0 , Yi ]]+?(? 2 ?4?i )[?D+?P0 , Yi ]. Определитель из коэффициентов
2

Yi , Yi при [Xi , [?D + ?P0 , Yi ]], [?D + ?P0 , Yi ] равен ?2?i ?(? 2 + 4?i ). Если ? = 0,
2

то [Z, Yi ] ? Wi . Если ? = 0, то Wi содержит Yi = [Xi , [?P0 , Yi ]] и Yi = [T, Yi ] =

<< Предыдущая

стр. 92
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>