<< Предыдущая

стр. 93
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

??i [?P0 , Yi ].
В композиционных факторах T -мoдуля Mi можно выбрать базисы так, чтобы
матрицей операторе T в этих базисах была одна из матриц:

??i ?? ??i
?
, .
??
?i ? ?i

Если бы при i = j модули Mi и Mj обладали изоморфными композиционными
факторами, то выполнялось бы одно из условий: ?i = ?j ; 2? = ?2?; ? 2 + ?i =
2 2 2

? 2 + ?j . Так как это невозможно, то в силу леммы 2.1 заключаем, что W =
2

W1 ? · · · ? Wk . Лемма доказана.
Следствие. Пусть L1 — подалгебра AO(n ? 1), L2 = ?J0n + ?D + ?P0 , F —
подпрямая сумма L1 и L2 . Если W — подпространство M и [F, W ] ? W , то
[Lj , W ] ? W (j = 1, 2).
Лемма 3.4. Пусть L — подалгебра AO(n), F — подпрямая сумма L и D .
Алгебра F обладает только расщепляемыми расширениями в U + (AO(n) ?
?
D ).
Лемма 3.4 доказывается на основании предложений 1.1.
Лемма 3.5. Пусть L1 — пoдaлгeбpa AO(n?1), L2 = D, J0n или L2 = D+?J0n ,
где ? = 0, ? 2 = 1, 2? + 1 = 0. Если F — подпрямая сумма алгебр L1 и L2 , то
? ? ?
каждая подалгебра F алгебры AG(n ? 1) + ? J0n , D с условием ? (F ) = F
сопряжена алгебре (W1 + W2 ) + F , где W1 ? U , W2 ? V .
?
Доказательство. Пусть L2 = D, J0n . В силу предложения 1.1 и леммы 3.2 алге-
?
бра F содержит элементы
n n?1
X2 = D +
X1 = J0n = ?i Pi , ?j Gj .
0 1

?
?i Pi ? ?j Gj , то D + ?i Pi ? F . Поэтому можно предпо-
Так как [X1 , X2 ] =
? ? ?
лагать, что D ? F . Отсюда вытекает, что J0n ? F , а значит, F ? F .
Пусть L2 = D + ?J0n . Поскольку [D + ?J0n , Pa ] = Pa , [D + ?J0n , Ga ] = ??Ga
?
(a = 1, . . . , n ? 1), то в силу леммы 3.4 можно допускать, чтo F содержит подпря-
мую сумму F и подалгебры алгебры P0 , Pn . Очевидно,

exp(?0 P0 + ?n Pn )(D + ?J0n + ?0 P0 + ?n Pn ) exp(??0 P0 ? ?n Pn ) =
= D + ?J0n + (?0 ? ?0 + ??n )P0 + (?n + ??0 ? ?n )Pn .
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 401

Так как ? 2 = 1, то коэффициенты при P0 , Pn можно обратить в ноль. Из условий
? ? ?
[D + ?J0n , F ? M] ? F ? M, ? 2 = 1 нетрудно получить, что F ? F .
?
Пусть W = F ? M, Y = ?i Pi ? W . Так как [D + ?J0n , Y ] =
?a Ga +
?? ?a Ga ? ?(?0 Pn + ?n P0 ) + 2
?i Pi и ? = 1, то можно допускать, что Y =
?a Ga + ?0 P0 + ?n Pn . Непосредственными вычислениями находим, что
[D + ?J0n , Y ] = ?? ?a Ga + (?0 ? ??n )P0 + (?n ? ??0 )Pn ,
[D + ?J0n , [D + ?J0n , Y ]] =
= ? 2 ?a Ga + (? 2 ?0 ? 2??n + ?0 )P0 + (? 2 ?n ? 2??0 + ?n )Pn .
Определитель ?, составленный из коэффициентов при ?a Ga , P0 , Pn в Y и
полученных векторах, равен ?(2?+1)(?n ??0 ). Если ? = 0, то ?a Ga , P0 , Pn ? W .
2 2

Если ? = 0, то ?n = ±?0 . При ?n = ?0 получаем, что [D + ?J0n , Y ] ? (1 ? ?)Y =
? ?a Ga . Если ?n = ??0 , то [D + ?J0n , Y ] ? (1 + ?)Y = (?2? ? 1) ?a Ga . Лемма
доказана.
Предложение 3.3. Подалгебры алгебры M + J0n , D , содержащие J0n или об-
?
ладающие тем свойством, что их проекция F на J0n , D совпадает с D +
?
?J0n , где ? = 0, ? 2 ? 1 = 0, 2? + 1 = 0, исчерпываются относительно P (1, n)-
сопряженности такими алгебрами:
F : 0, M , M, P0 , ?a , ?a , ?a (a = 1, . . . , n ? 1);
1 0n 0,n
G1 , . . . , Gk + F : 0, ?i , ?k , ?t , ?t ? ?t ,
? 0n 0,n 0n
k+1 k+1
?k ? ?t , ?r ? ?j , ?r ? ?j ? ?s
0,n 0n 0n
r+1 r+1
k+1 k+1+j?r
(i = 0, 1, . . . , k; t = k + 1, . . . , n ? 1; r = 0, 1, . . . , k ? 1; j = r + 1, . . . , k;
s = k + 1 + j ? r, . . . , n ? 1; k = 1, . . . , n ? 1)
(см. обозначения (3.2)).
Доказательство предложения 3.3 опирается на лемму 3.5.
Лемма 3.6. Пусть L1 — подалгебра AO(n ? 1), L2 = 2D ? J0n , F — подпрямая
? ? ?
сумма L1 и L2 , F — такая подалгебра AG(n ? 1) + J0n , D , чтo ? (F ) = F .
?
?
Алгебра F сопряжена алгебре W + F , где W ? M и удовлетворяет условию:
?
если Y ? W и проекция Y на G1 , . . . , Gn?1 равна ?a Ga , то W содержит
?a Ga + ?(P0 ? Pn ).
?a Ga + ?P0 , ?M или
Лемма 3.7. Пусть L1 — подпрямая сумма AO(n ? 1), L2 = D + J0n + ?M (? ?
{0, 1}), F — подпрямая сума L1 и L2 . Если подпространство W пространства
M инвариантно относительно F , то W = W1 + W2 , где W1 ? U , W2 ? V .
Доказательство леммы 3.6 , 3.7 аналогично доказательству леммы 3.5.
Пусть ? = (?0 ? ?n )/2. Так как
?0 + ?n
exp(?P0 ) · (D + J0n + ?0 P0 + ?n Pn ) · exp(??P0 ) = D + J0n + M,
2
? ?
то в дальнейшем будем предполагать что проекция алгебры F ? AP (1, n) на
D + J0n , P0 , Pn содержит D + J0n + ?M , где ? ? {0, 1}. Лемма 3.7 дает довольно
полную информацию о структуре таких алгебр.
Лемма 3.8. Пусть L1 — подалгебра AO(n ? 1), L2 = D ? J0n , F — подпрямая
сумма L1 и L2 . Если W — подпространство M и [F, W ] ? W , то W содержит
свою проекцию на P0 , Pn и [Li , W ] ? W (i = 1, 2).
402 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

?
Отметим, что лемма 3.8 позволяет свести задачу классификации алгебр W +
F , где F — подпрямая сумма L1 , L1 ? AO(n ? 1), и D ? J0n , к аналогичной
?
задаче для алгебр W + L1 .
Лемма 3.9. Пусть L1 — подалгебра AO(n ? 1), L2 = D ? J0n + P0 , F —
подпрямая сумма алгебр L1 , L2 . Если подпространство W пространства M
инвариантно относительно F , то W содержит свою проекцию на P0 , Pn и
[P0 , W ] ? W .
? ?
?
Доказательство. Пусть M = {Y ? M | [L1 , Y ] = 0}, W — проекция W на M.
Легко видеть, что матрицей оператора D ? J0n в базисе P0 + Pn , P0 ? Pn про-
странства P0 , Pn является матрица diag [2, 0], а матрицей этого же оператора в
базисе пространства M/ P0 , Pn является единичная матрица. Отсюда на основа-
?
нии леммы 2.1 заключаем, что W содержит свою проекцию на P0 , Pn . Так как
?
в силу леммы 3.3 W ? W , то W содержит свою проекцию на P0 , Pn . Остается
?i Pi + ?i Gi (i = 1, . . . , n ? 1) имеем
заметить, что для произвольного Y =
[D ? J0n + P0 , Y ] = Y + [P0 , Y ]. Лемма доказана.
Лемма 3.10. Пусть W — подпространство U , инвариантное относительно
Ga . Если ?0,n (W ) ? M , то M, Pa ? W . Если ?a (W ) = 0, то M ? W .
Лемма 3.11. Пусть F — подалгебра алгебры AO(1, n), порожденная J0n и Ga ,
?
где a пробегает подмножество I множества {1, 2, . . . , n ? 1}. Если F — подал-
?
гебра AP (1, n) и ?(F ) = F , то с точностью до сопряженности относительно
?
группы трансляций алгебра F содержит элементы Ga (a ? I) и J0n + ?i Pi
(i = 1, . . . , n ? 1).
Лемма 3.12. Пусть L — подалгебра алгебры AP (1, n), X = Jab + ?J0n + ?Pc ,
Y = Gc + ?i Pi (i = 1, . . . , n), где ? = 0, ? = 0, a, b, c — различные числа из
{1, . . . , n ? 1}. Если X, Y ? L, то L содержит Gc .
Теорема 3.1. Пусть V = G1 , . . . , Gn?1 , V = [P0 , V ] = P1 , . . . , Pn?1 (n ? 3),
Vab — подпространство V , Vab = [P0 , Vab ]; K1 , K2 , . . . , Kq — примарные части
ненулевой подалгебры L1 алгебры AO(n ? 1); N — максимальная подалгебра
алгебры M, аннулируемая L1 ; L2 — подалгебра алгебры N + ? J0n , D . Если
F — подпрямая сумма L1 и L2 , а W — подпространство M, инвариантное
?
относительно F , то W = W1 ? · · · ? Wq ? W , где Wi = [Ki , W ] = [Ki , Wi ],
? ? ?
[L2 , Wi ] ? Wi , [Kj , Wi ] = 0 при j = i, [Ki , W ] = 0, [L2 , W ] ? W .
Если примарная алгебра Ki является подпрямой суммой неприводимых по-
далгебр Ki1 , . . . , Kiri соответственно алгебр AO(Vi1 ), . . . , AO(Viri ), то ненуле-
вые подпространства Wi пространства M со свойством [Ki , Wi ] = Wi сопря-
жены Vi1 ? · · · ? Via , Vi1 ? · · · ? Via (a = 1, . . . , ri ) или подпрямым суммам таких
пространств:
Vi1 ? · · · ? Via , Vi1 ? · · · ? Vib (a = 1, . . . , ri ; b = 1, . . . , a);
Vi1 ? · · · ? Via , Vi,a+1 ? · · · ? Vic (a = 1, . . . , ri ? 1; c = a + 1, . . . , ri );

Vi1 ? · · · ? Via , Vi1 ? · · · ? Vib , Vi,a+1 ? · · · ? Vic
(a = 1, . . . , ri ? 1; b = 1, . . . , a; c = a + 1, . . . , ri ).

Если Ni — подпрямая сумма неприводимых Ki -модулей Ni , Ni , каждый из
которых содержится в V или V , и Ni = Ni ?Ni , то Ni = {Y +??(Y ) | Y ? Ni },
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 403

где ? ? R, ? = 0, а ? является Ki -изоморфизмом, сохраняющим скалярное
произведение.
Если [Ki , Wi ] = Wi и [P0 , Wi ] ? Wi , то Wi сопряжено Vi1 ?· · ·?Via (1 ? a ? ri )
или одной из выписанных подпрямых сумм, где b = a. Пусть T — одна из
алгебр: D , J0n , D + ?J0n , D, J0n , где ? = 0, ? = ?1. Если [Ki , Wi ] = Wi и
[T, Wi ] ? Wi , то W = Vi1 ? · · · ? Via или W = Vi1 ? · · · ? Via ? W , где при W = 0
имеем W = Vi1 ? · · · ? Vib или W = Vi,a+1 ? · · · ? Vic , или W — подпрямая
сyмма этих пространств (b ? a; 1 ? a ? ri ; a + 1 ? c ? ri ).

Доказательство. Пусть Q = [L1 , W ], S — проекция W на N. Легко видеть, что
W — подпрямая сумма Q и S. Так как композиционные факторы L2 -модуля N
одномерны, а композиционные факторы L1 -модуля [L1 , M] имеют размерность не
меньше двух, то в силу леммы 2.1 W = Q?S. На основании леммы 3.3 [L2 , Q] ? Q,
[L1 , Q] = Q. Согласно лемме 2.1 Q = W1 ? · · · ? Wq , где Wi = [Ki , Q], Wi = [Ki , Wi ]
(i = 1, . . . , q).
Пусть ?, ? — проектирование V ?V соответственно на V и V . Если ?(Wi ) =
0, то по теореме 2.1 ?(Wi ) сопряжено Vi1 ? · · · ? Via (1 ? a ? ri ). Для дальней-
шего преобразования пространства Wi можно применять только те автоморфизмы,
которые не изменяют ?(Wi ). Используя снова теорему 2.1, получаем, что ? (Wi )
сопряжено Vi1 ? · · · ? Vib или Vi,a+1 ? · · · ? Vic , или подпрямой сумме этих про-
странств (1 ? b ? a; a + 1 ? c ? ri ).
Следующее утверждение теоремы вытекает из предложения 2.6. Далее приме-
няем рассуждения, проведенные в доказательстве леммы 3.5. Теорема доказана.


?
§ 4. Подалгебры алгебры AP (1, 4)
В этом параграфе на основании результатов предыдущих параграфов мы про-
? ?
ведем классификацию всех подалгебр алгебры AP (1, 4) относительно P (1, 4)-со-
пряженности.
? ?
Если речь идет о подалгебрах W1 + F , . . ., Ws + F , то будем употреблять
обозначение F : W1 , . . . , Ws . Пусть (i1 , . . . , iq ) = Pi1 , . . . , Piq ; (awb) = Pa + wPb ,
w > 0; (04) = M , M = P0 + P4 .

Лемма 4.1. Ненулевые подалгебры алгебры AO(1, 4)? D исчерпываются отно-
сительно O(1, 4)-сопряженности такими алгебрами:

J12 , D (? > 0);
J12 , J12 + ?D ,
J12 + J34 , D (? > 0);
J12 + J34 , J12 + J34 + ?D ,
J12 + cJ34 , D (0 < c < 1, ? > 0);
J12 + cJ34 , J12 + cJ34 + ?D ,
J04 , D (? > 0);
J04 , J04 + ?D ,
J12 + cJ04 , D (c > 0, ? > 0);
J12 + cJ04 , J12 + cJ04 + ?D ,
G3 + D , G3 , D ;
G3 ,
G3 ? J12 , G3 ? J12 + ?D , G3 ? J12 , D (? > 0);
J12 , J34 , D (? > 0, ? ? 0);
J12 , J34 , J12 + ?D, J34 + ?D
J04 , J12 , D (? ? 0, ? ? 0, ?2 + ? 2 = 0);
J04 , J12 , J04 + ?D, J12 + ?D ,
G3 + D, J12 + ?D , G3 , J12 , D (? ? 0, ? ? 0);
G3 , J12 , G3 , J12 + ?D ,
404 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

G1 + D, G2 , G1 , G2 , D ;
G1 , G2 ,
G3 , J04 , D (? = 0);
G3 , J04 , G3 , J04 + ?D ,
G3 , J12 + cJ04 , D (c > 0, ? = 0);
G3 , J12 + cJ04 , G3 , J12 + cJ04 + ?D ,
J12 , J13 , J23 , D ;
J12 , J13 , J23 ,
J03 , J04 , J34 , D ;
J03 , J04 , J34 ,
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , D ;
G3 , J04 , J12 , G3 , J04 + ?D, J12 + ?D , G3 , J04 , J12 + ?D ,
G3 , J04 , J12 , D (? = 0, ? ? 0, ? > 0);
G1 , G2 , J12 , D (? > 0);
G1 , G2 , J12 , G1 , G2 , J12 + ?D ,
G1 , G2 , J04 , D (? = 0);
G1 , G2 , J04 , G1 , G2 , J04 + ?D ,
G1 , G2 , J12 + cJ04 , G1 , G2 , J12 + cJ04 ?D ,
G1 , G2 , J12 + cJ04 , D (c > 0, ? = 0);
G1 + D, G2 , G3 , G1 , G2 , G3 , D ;
G1 , G2 , G3 ,
G1 , G2 , G3 ? J12 , G1 , G2 , G3 ? J12 + ?D , G1 , G2 , G3 ? J12 , D (? > 0);
J03 , J04 , J34 , J12 , D (? > 0);
J03 , J04 , J34 , J12 , J03 , J04 , J34 , J12 + ?D ,
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J34 , J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J34 + ?D ,
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J34 , D (? = 0);
G1 , G2 , J12 , J04 , G1 , G2 , J12 + ?D, J04 + ?D ,
G1 , G2 , J12 , J04 , D (? ? 0, ?2 + ? 2 = 0);
G1 , G2 , G3 + D, J12 + ?D ,
G1 , G2 , G3 , J12 ,

<< Предыдущая

стр. 93
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>