<< Предыдущая

стр. 94
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

G1 , G2 , G3 , J12 , D (? ? 0, ? > 0);
G1 , G2 , G3 , J12 + ?D ,
G1 , G2 , G3 , J04 , D (? = 0);
G1 , G2 , G3 , J04 , G1 , G2 , G3 , J04 + ?D ,
G1 , G2 , G3 , J12 + cJ04 , G1 , G2 , G3 , J12 + cJ04 + ?D ,
G1 , G2 , G3 , J12 + cJ04 , D (c > 0, ? = 0);
J12 , J13 , J23 , J04 , D (? > 0);
J12 , J13 , J23 , J04 , J12 , J13 , J23 , J04 + ?D ,
G1 , G2 , G3 , J12 , J04 , G1 , G2 , G3 , J12 + ?D, J04 + ?D ,
G1 , G2 , G3 , J12 , J04 , D (? ? 0, ? ? R, ?2 + ? 2 = 0);
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , D ;
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 ,
J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 , D ;
J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 ,
J01 , J02 , J03 , J12 , J13 , J23 , D, ;
J01 , J02 , J03 , J12 , J13 , J23 ,
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 , G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 + ?D ,
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 , D (? = 0);
J01 , J02 , J03 , J04 , J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 ,
J01 , J02 , J03 , J04 , J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 , D .

Лемма 4.1 доказывается на основании результатов [5] о подалгебрах алгебры
AO(1, 4) и теоремы Ли-Гурса о подалгебрах прямой суммы алгебр.
Теорема 4.1. Расщепляемые подалгебры алгебры AP (1, 4) исчерпываются от-
носительно P (1, 4)-сопряженности такими алгебрами:
O, (0), (4), (04), (0,4), (04,1), (1,4), (0,1,4), (04,1,2), (1,2,4), (0,1,2,4), (04,1,2,3),
(1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 : O, (0), (4), (04), (1,2), (3,4), (0,4), (04,3), (0,1,2), (04,1,2), (1,2,4), (0,3,4),
(0,1,2,4), (04, 1,2,3), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 + J34 : O, (0), (1,2), (0,1,2), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 + cJ34 (0 < c < 1): O, (0), (1,2), (3,4), (0,1,2), (0,3,4), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
J04 : O, (04), (1), (0,4), (04,1), (1,2), (0,1,4), (04,1,2), (1,2,3), (04,1,2,3), (0,1,2,4),
(0,1,2,3,4);
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 405

J12 + cJ04 (c > 0): O, (3), (04), (1,2), (0,4), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (1,2,3),
(0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 : O, (04), (1), (04,1), (1,2), (04,1w3), (04,3), (0,3,4), (04,1w3,2), (04,1,2),
(04,1,3), (0,1,3,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 ? J12 : O, (04), (04,3), (1,2), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
J12 , J34 : O, (0), (1,2), (0,1,2), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
J04 , J12 : O, (3), (04), (0,4), (04,3), (1,2), (0,3,4), (1,2,3), (04,1,2), (0,1,2,4),
(04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 , J12 : O, (04), (1,2), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 : O, (3), (04), (04,1), (04,3), (04,1w3), (04,1,2), (04,1,3), (04,1w3,2),
(0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 , J04 : O, (04), (1), (04,1), (1,2), (04,1w3), (04,3), (0,3,4), (04,1w3,2), (04,1,2),
(04,1,3), (0,1,3,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G3 , J12 + cJ04 (c > 0): O, (04), (1,2), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3),
(0,1,2,3,4);
J12 , J13 , J23 : O, (0), (4), (04), (0,4), (1,2,3), (0,1,2,3), (1,2,3,4), (04,1,2,3),
(0,1,2,3,4);
J03 , J04 , J34 : O, (1), (1,2), (0,3,4), (0,1,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 : O, (0), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
G3 , J04 , J12 : O, (04), (1,2), (04,3), (0,3,4), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , J12 : O, (3), (04), (04,3), (04,1,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , J04 : O, (3), (04), (04,1), (04,3), (04,1w3), (04,1,2), (04,1,3), (04,1w3,2),
(0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , J12 + cJ04 (c > 0): O, (3), (04), (04,3), (04,1,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3),
(0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 : O, (04), (04,1), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 ? J12 : O, (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
J03 , J04 , J34 , J12 : O, (1,2), (0,3,4), (0,1,2,3,4);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J34 : O, (0), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , J04 , J12 : O, (3), (04), (04,3), (04,1,2), (0,1,2,4), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 : O, (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J04 : O, (04), (04,1), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 + cJ04 (c > 0): O, (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
J12 , J13 , J23 , J04 : O, (04), (0,4), (1,2,3), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 , J04 : O, (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 : O, (04), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
AO(4): O, (0), (1,2,3,4), (0,1,2,3,4);
AO(1, 3): O, (4), (0,1,2,3), (0,1,2,3,4);
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 : O, (04), (04,1,2,3), (0,1,2,3,4);
AO(1, 4): O, (0,1,2,3,4).
Доказательство. Подалгебры алгебры AO(1, 4) описаны в работе [5]. Для ка-
ждой из них необходимо найти инвариантные подпространства пространства U =
P0 , P1 , P2 , P3 , P4 .
Рассмотрим случай нулевой подалгебры алгебры AO(1, 4). Если W — подпро-
странство U и dim W = 1, то по теореме Витта W O(1, 4)-сопряжено с одним из
пространств: (0), (04), (4). Если dim W > 1, то W = X1 ? W , где X1 2 = 0.
Если dim W > 1, то W = X2 ? W , где X2 2 = 0. Следовательно, если
406 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

dim W > 1, то W = X1 ? · · · ? Xs ? Y , где s ? 4, X1 , . . . , Xs — векто-
ры ненулевой длины. В силу закона инерции для квадратичных форм и теоремы
Витта несопряженные относительно группы внутренних автоморфизмов группы
O(1, 4) подпространства пространства U исчерпываются пространствами с базиса-
ми, получаемыми в результате дополнения каждого из векторов P0 , P4 , P0 + P4 до
ортогональной системы частью векторов P4 , P1 , P2 , P3 .
Если W инвариантно относительно J12 , то по лемме 3.3 W = ?1,2 (W ) ? W ,
где W ? P0 , P3 , P4 . Поскольку J12 действует на W как нулевая алгебра, то
получаем предыдущий случай.
Пусть W — подпространство U , инвариантное относительно J04 , W — прое-
кция W на P0 , P4 , W — проекция W на P1 , P2 , P3 . По лемме 3.3 W = W ?W .
Пространство W сопряжено с одним из пространств: O, P0 + P4 , P0 , P4 .
Пространство W сопряжено с одним из таких пространств: O, P1 , P1 , P2 ,
P1 , P 2 , P 3 .
Случай алгебры J12 + cJ04 посредством леммы 3.3 сводится к случаям алгебр
J12 и J04 . Исследование остальных случаев проводится на основании лемм 3.1,
3.3 и предложения 3.1. Teopeмa доказана.
Теорема 4.2. Пусть ?(?) — система представителей классов сопряженных по-
далгебр алгебры AO(1, 4) (соответственно AO(1, 4) ? D ), найденная в лемме
?
4.1. Расщепляемые подалгебры алгебры AP (1, 4) исчерпываются относительно
?
P (1, 4)-сопряженности такими алгебрами:
1) W + F , где F ? ?, W ? U и [F, W ] ? W ;
?
?? ? ?
2) W + F , где F ? ? и проекция F на AO(1, 4) совпадает с F , F ? ?;
3) J12 , J34 + ?D : P1 , P2 , P0 , P1 , P2 ;
4) G1 + ?D, G2 + ?D : M, P1 , M, P1 + wP3 , M, P1 , P3 , M, P1 + wP3 , P2
(w > 0, ? ? 0, ? ? 0, ?2 + ? 2 = 0);
5) G1 + ?D, G2 + ?D, G3 , M, P1 (? ? 0, ? ? 0, ?2 + ? 2 = 0);
6) G1 + ?D, G2 , G3 + ?D, M, P1 , P2 (? ? 0, ? ? 0, ?2 + ? 2 = 0);
?
Доказательство. Пусть F — подпрямая сумма F ? ? и D , W — подпространство
?
U , инвариантное относительно F . Тогда [F, W ] ? W , и наоборот, если [F, W ] ? W ,
?
то [F , W ] ? W . Поэтому можно воспользоваться теоремой 4.1. Дополнительного
?
исследования требуют только случаи тех алгебр F ? ?, которые упрощались
O(1, 4)-автоморфизмами. Такие алгебры соответствуют алгебре F , совпадающей с
?
J12 , J34 , G1 , G2 или G1 , G2 , G3 . Если F = G1 + ?1 D, G2 + ?2 D, G3 + ?3 D ,
то дальнейшее упрощение осуществляем O(1, 4)-автоморфизмами, оставляющими
неизменными M, P1 , M, P1 , P2 . Теорема доказана.
? ? ? ?
Пусть F — такая подалгебра алгебры AP (1, 4), что ?(F ) = F . Запись F + W
?
означает, что W — подпростpанство U , [F, W ] ? W и F ?U ? W . Если речь идет о
? ?
нерасщепляемых алгебрах F + W1 , . . . , F + Ws , то будем употреблять обозначение:
?
F : W1 , . . . , Ws .
Теорема 4.3. Нерасщепляемые подалгебры алгебры AP (1, 4) исчерпываются
?
относительно P (1, 4)-сопряженности алгебрами:
J12 + P0 : O, (04), (4), (04,3), (1,2), (3,4), (04,1,2), (1,2,4), (04,1,2,3), (1,2,3,4);
J12 + P3 : O, (04), (0), (4), (1,2), (0,4), (04,1,2), (0,1,2), (1,2,4), (0,1,2,4);
J12 + P0 + P3 : O, (4), (1,2), (1,2,4);
J12 + J34 + P0 : O, (1,2), (1,2,3,4);
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 407

J12 + cJ34 + P0 : O, (1,2), (3,4), (1,2,3,4) (0 < c < 1);
J04 + P1 : O, (04), (0,4);
J04 + P2 : (1), (04,1), (0,1,4);
J04 + P3 : (1,2), (04,1,2), (0,1,2,4);
J12 + cJ04 + P3 : O, (04), (1,2), (0,4), (04,1,2), (0,1,2,4) (c > 0);
G3 + P1 : O, (04), (04,3), (0,3,4);
G3 + P2 : (1), (04,1), (04,1w3), (04,1,3), (0,1,3,4);
G3 + P0 : O, (04), (1), (04,1), (1,2), (04,1w3), (04,3), (04,1w3,2), (04,1,2),
(04,1,3), (04,1,2,3);
G3 ? J12 + P0 : O, (04), (04,3), (1,2), (04,1,2), (04,1,2,3);
J12 + P0 , J34 + ?P0 : O, (1,2), (1,2,3,4) (? ? 0);
J12 , J34 + P0 , P1 , P2 ;
J04 + P3 , J12 + ?P3 : O, (04), (1,2), (04,1,2), (0,1,2,4), (? ? 0);
J04 , J12 + P3 : O, (04), (1,2), (0,4), (04,1,2), (0,1,2,4);
J12 + M, G3 + ?P0 (? ? 0); J12 , G3 + P0 ; J12 + ?P3 , G3 + P0 , M (? ? 0);
J12 + P3 , G3 , M ; J12 + M, G3 + ?P0 , P1 , P2 (? ? 0); J12 , G3 + P0 , P1 , P2 ;
J12 + ?P0 , G3 + P0 , M, P3 ; J12 + P0 , G3 , M, P3 ;
J12 + ?P3 , G3 + P0 , M, P1 , P2 ; J12 + P3 , G3 , M, P1 , P2 ;
J12 + ?P0 , G3 + P0 , M, P1 , P2 , P3 ; J12 + P0 , G3 , M, P1 , P2 , P3 ;
G1 + P3 , G2 + µP2 + ?P3 (µ > 0, ? ? 0); G1 + P3 , G2 ;
G1 , G2 + P2 + ?P3 (? ? 0); G1 , G2 + P2 , P3 ;
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 + µP2 + ?P3 , M (µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 , M (? ? 0);
G1 + ?P3 , G2 + P2 + ?P3 , M (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0); G1 + P3 , G2 , M ;
G1 + P2 , G2 ? P1 + µP2 , M, P3 (µ ? 0); G1 , G2 + P2 , M, P3 ;
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , M, P1 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 , M, P1 (? ? 0); G1 + P3 , G2 , M, P1 ;
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P0 , M, P1 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , M, P1 + wP3 (w > 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 , M, P1 + wP3 (w > 0);
G1 + P3 , G2 , M, P1 + wP3 (w > 0);
G1 + P3 , G2 , M, P1 , P2 ; G1 + P0 , G2 + ?P3 , M, P1 , P2 (? ? 0);
G1 + P2 , G2 , M, P1 , P3 ; G1 + P2 , G2 + ?P0 , M, P1 , P3 (? > 0);
G1 , G2 + P0 , M, P1 , P3 ; G1 , G2 + P3 , M, P1 + wP3 , P2 (w > 0);
G1 + P0 , G2 + ?P3 , M, P1 + wP3 , P2 (? ? 0, w > 0);
G1 + P3 , G2 , P0 , P1 , P2 , P4 ; G1 + P0 , G2 , M, P1 , P2 , P3 ;
G3 , J04 + P1 : O, (04), (04,1w3), (04,3), (0,3,4), (04,1w3,2);
G3 , J04 + P2 : (1), (04,1), (04,1w3), (04,1,3), (0,1,3,4);
G3 , J04 + P3 : (04), (04,1), (04,1,2);
G3 , J04 + P1 + ?P2 , M, P1 + wP3 (? > 0, w > 0);
G3 , J04 + P1 + ?P3 , M (? > 0); G3 , J04 + P2 + ?P3 , M, P1 (? > 0);
G3 , J12 + cJ04 + P3 : (04), (04,1,2) (c > 0);
G3 , J04 + P3 , J12 + ?P3 : (04), (04,1,2) (? ? 0); G3 , J04 , J12 + P3 : (04), (04,1,2);
G1 , G2 , J12 + M ; G1 , G2 , J12 + P3 ; G1 , G2 , J12 + M, P3 ;
G1 , G2 , J12 + P3 , M ; G1 + P2 , G2 ? P1 , J12 + ?P3 , M (? ? 0);
G1 + P2 , G2 ? P1 , J12 , M, P3 ; G1 , G2 , J12 + P3 , M, P1 , P2 ;
G1 , G2 , J12 + P0 , M, P1 , P2 ; G1 , G2 , J12 + P3 , P0 , P1 , P2 , P4 ;
408 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

G1 , G2 , J12 + P0 , M, P1 , P1 , P2 , P3 ;
G1 , G2 , J04 + P1 : (04), (04,3), (04,1w3), (04,1w3,2);
G1 , G2 , J04 + P2 : (04,1), (04,1w3), (04,1,3);
G1 , G2 , J04 + P3 : O, (04), (04,1), (04,1,2), (0,1,2,4);
G1 , G2 , J04 + P1 + ?P2 , M, P1 + wP3 (? > 0, w > 0);
G1 , G2 , J04 + P1 + ?P3 , M ; G1 , G2 , J04 + P2 + ?P3 , M, P1 (? > 0);
G1 , G2 , J12 + cJ04 + P3 : O, (04), (04,1,2), (0,1,2,4) (c > 0);
G1 , G2 + P2 , G3 + ?P3 ; G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 , G3 + ?P1 + ?P3 , M (? ? 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 + µP2 + ?P3 , G3 + ?P1 + ?P2 + ?P3 , M
(µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 , G2 + P2 , G3 + ?P3 , M ; G1 + ?P2 , G2 + P3 , G3 ? P2 , M, P1 (? ? 0);
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , G3 ? P2 + µP3 , M, P1 (µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 , G3 + P3 , M, P1 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 , G2 , G3 , M, P1 ; G1 + P3 , G2 , G3 , M, P1 , P2 ;
G1 + ?P3 , G2 , G3 + P0 , M, P1 , P2 (? ? 0);
G1 + P0 , G2 , G3 , M, P1 , P2 , P3 ; G1 + P1 , G2 + P2 , J12 ? G3 ;
G1 + P1 + ?P2 , G2 ? ?P1 + P2 , J12 ? G3 , M (? ? 0);
G1 + P2 , G2 ? P1 , J12 ? G3 , M ; G1 + P2 , G2 ? P1 , J12 ? G3 , M, P3 ;
G1 , G2 , J12 ? G3 + P0 , M, P1 , P2 , sP3 (s = 0, 1);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J34 + P0 : O, P1 , P2 , P3 , P4 ;
G1 , G2 , J04 + P3 , J12 + ?P3 : O, (04), (04,1,2), (0,1,2,4), (? ? 0);
G1 , G2 , J04 , J12 + P3 : O, (04), (04,1,2), (0,1,2,4);
G1 , G2 , G3 + P3 , J12 ; G1 , G2 , G3 + ?P3 , J12 + M (? ? 0);
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 + ?P3 , J12 + ?P3 , M (? = 0, 1);
G1 , G2 , G3 + P3 , J12 + ?P3 , M (? = 0, 1); G1 , G2 , G3 , J12 + P3 , M ;
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 , J12 , M, P3 ; G1 , G2 , G3 , J12 + P3 , M, P1 , P2 ;
G1 , G2 , G3 + P0 , J12 + ?P3 , M, P1 , P2 (? = 0, 1);
G1 , G2 , G3 + P0 , J12 + ?P0 , M, P1 , P2 , P3 (? = 0, 1);
G1 , G2 , G3 , J12 + P0 , M, P1 , P2 , P3 ; G1 , G2 , G3 , J04 + P1 , M ;
G1 , G2 , G3 , J04 + P2 , M, P1 ; G1 , G2 , G3 , J04 + P3 , M, P1 , P2 ;
G1 , G2 , G3 , J12 + cJ04 + P3 : M , M, P1 , P2 (c > 0);
G1 , G2 , G3 , J04 + P3 , J12 + ?P3 : M , M, P1 , P2 (? ? 0);
G1 , G2 , G3 , J04 , J12 + P3 : M , M, P1 , P2 .
Доказательство. Пусть L — такая подалгебра AP (1, 4), что ?(L) = G1 , G2 , G3 .
Через ? = (?ab ) обозначим матрицу порядка 3, в j-ом столбце которой записа-
ны коэффициенты базисного элемента Gj + ?1j P1 + ?2j P2 + ?3j P3 + µj P0 + ?j M
(j = 1, 2, 3). Матрица ? однозначно представляется в виде суммы симметрической
и кососимметрической матриц. Кососимметрическая матрица порядка 3 ортого-
нальным преобразованием подобия приводится к виду
? ?
0 ?0
? ?? 0 0 ? .
0 00

Если ? = 0, то для упрощения симметрической части можно применять любую
матрицу из O(3). Если ? = 0, то для упрощения симметрической матрицы можно
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 409

использовать только матрицы вида
? ?
cos ? sin ? 0
? ? sin ? cos ? 0 ? .
±1
0 0
Поскольку симметрическая матрица ортогональным преобразованием подобия при-
водится к диагональному виду, то для некоторой матрицы C ? O(3) имеет место
равенство
? ?
µ1 ? ?
C?C ?1 = ? ?? µ2 ? ? ,
? ??
где µ1 ? µ2 . Если µ1 = µ2 , то можно положить ? = 0. Если ? = 0, то ? = ? = 0.
Допустим, что проекция L на P1 , P2 , P3 совпадает с P1 , P2 , P3 и что пере-
сечения L с ?(L) и P1 , P2 , P3 суть нулевые. В этом случае алгебра L сопряжена
одной из алгебр:
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 + µP2 + ?P3 , G3 + ?P1 + ?P2 + ?P3 , M
(µ > 0, ? ? ? 2 µ = 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 , G3 + ?P1 + ?P3 , M (? ? 0, ? = 0).
При рассмотрении других случаев на матрицу C необходимо налагать допол-
нительные ограничения. Теорема доказана.
?
Теорема 4.4. Нерасщепляемые подалгебры алгебры AP (1, 4) исчерпываются

<< Предыдущая

стр. 94
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>