<< Предыдущая

стр. 95
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
относительно P (1, 4)-сопряженности нерасщепляемыми подалгебрами алгебры
AP (1, 4) (теорема 4.3) и такими алгебрами:
J04 ? D + P0 : O, (1), (1,2), (1,2,3);
J04 ? D + P0 : (04), (04,1), (04,1,2), (04,1,2,3);
J12 + c(J04 ? D + P0 ) : O, (04), (3), (04,3), (1,2), (1,2,3), (04,1,2), (04,1,2,3)
(c > 0);
J12 ± D + P0 , J12 + ?M : O, (3), (1,2), (1,2,3), (? > 0);
J04 ± D, J12 + M : O, (3), (1,2), (1,2,3);
J04 + D + M, J12 : O, (3), (1,2), (1,2,3);
J04 ? D + P0 , J12 + ?P0 : (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3);
J04 ? D, J12 + P0 : (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3);
J04 ? 2D, G3 + P0 : (04), (04,1), (04,1w3), (04,3), (04,1w3,2), (04,1,2), (04,1,3),
(04,1,2,3);
J04 ? 2D, G3 + P0 ? P4 : O, (1), (1,2);
J04 ? D, G3 + P1 : O, (04), (04,3), (0,3,4);
J04 ? D, G3 + P2 : (1), (04,1), (04,1w3), (04,1,3), (0,1,3,4);
G3 + ?P1 , J04 ? D + P0 , M, P3 , J04 ? D + P0 , G3 + ?P2 , M, P1 , P3 (? > 0);
G3 , J04 ? D + P0 : (04,3), (04,1,3), (04,1,2,3);
G3 , J04 + D + M : O, (1), (1,2);
G3 + P0 , J12 + c(J04 ? 2D) : (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3) (c > 0);
G3 + P0 ? P4 , J12 + c(J04 ? 2D) : O, (1,2) (c > 1);
G3 + P0 ? P4 , J12 + c(J04 ? 2D) : O, (1,2) (0 < c ? 1);
G3 , J12 + c(J04 ? D + P0 ) : (04,3), (04,1,2,3);
G3 , J12 + c(J04 + D + M ) : O, (1,2);
G3 + P0 , J12 , J04 ? 2D : (04), (04,3), (04,1,2), (04,1,2,3);
410 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

G3 + P0 ? P4 , J12 , J04 ? 2D : O, (1,2);
G3 , J12 + ?P0 , J04 ? D + P0 : (04,3), (04,1,2,3) (? > 0);
G3 , J12 + P0 , J04 ? D : (04,3), (04,1,2,3);
G3 , J12 + ?M, J04 + D + M : O, (1,2), (? ? 0;
G3 , J12 + M, J04 + D : O, (1,2);
G1 , G2 + P0 , J04 ? 2D : (04,1), (04,1,2), (04,1,2w3), (04,1,3), (04,1,2,3);
G1 + P3 , G2 + µP2 + ?P3 , J04 ? D (µ > 0, ? ? 0); G1 + P3 , G2 , J04 ? D ;
G1 , G2 + P2 + ?P3 , J04 ? D (? ? 0); G1 , G2 + P2 , J04 ? D, P3 ;
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 + µP2 + ?P3 , J04 ? D, M (µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 , J04 ? D, M (? ? 0); G1 + P3 , G2 , J04 ? D, M ;
G1 + ?P3 , G2 + P2 + ?P3 , J04 ? D, M (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 , G2 ? P1 + µP2 , J04 ? D, M, P3 (µ ? 0); G1 , G2 + P2 , J04 ? D, M, P3 ;
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , J04 ? D, M, P1 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 , J04 ? D, M, P1 (? ? 0); G1 + P3 , G2 , J04 ? D, M, P1 ;
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , J04 ? D, M, P1 + wP3 (w > 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 , J04 ? D, M, P1 + wP3 (w > 0);
G1 + P3 , G2 , J04 ? D, M, P1 + wP3 (w > 0); G1 + P3 , G2 , J04 ? D, M, P1 , P2 ;
G1 + P2 , G2 , J04 ? D, M, P1 , P3 ; G1 , G2 + P3 , J04 ? D, M, P1 wP3 , P2 (w > 0);
G1 +P3 , G2 , J04 ?D, P0 , P1 , P2 , P4 ; G1 +?P3 , G2 , J04 ?D+P0 , M, P1 , P2 (? ? 0);
G1 , G2 , J04 ? D + P0 , M, P1 , P2 , P3 ; G1 , G2 , J04 + D + M ;
G1 , G2 , J04 +D+M, P3 ; G1 +P2 , G2 ?P1 , J12 +c(J04 ?D) : (04), (04,3) (c > 0);
G1 , G2 , J12 + c(J04 ? D + P0 ), M, P1 , P2 , sP ? 3 (c > 0, s = 0, 1);
G1 , G2 , J12 + c(J04 + D + M ) : O, (3), (c > 0);
G1 , G2 , J12 + P0 , J04 ? D, M, P1 , P2 , sP3 (s = 0, 1);
G1 , G2 , J12 + M, J04 + D : O, (3);
G1 , G2 , J12 + ?P0 , J04 ? D + P0 , M, P1 , P2 , sP3 (? ? 0, s = 0, 1);
G1 + P2 , G2 ? P1 , J12 , J04 ? D, M, sP3 (s = 0, 1);
G1 , G2 , J12 + ?M, J04 + D + M : O, (3) (? ? 0);
G1 , G2 , G3 + P0 , J04 ? 2D, M, P1 , P2 , sP3 (s = 0, 1);
G1 , G2 + P2 , G3 + ?P3 , J04 ? D ; G1 , G2 + P2 , G3 + ?P3 , J04 ? D, M ;
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 + µP2 + ?P3 , G3 + ?P1 + ?P2 + ?P3 , J04 ? D, M
(µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 + ?P3 , G2 ? P1 , G3 + ?P1 + ?P3 , J04 ? D, M (? ? 0);
G1 + ?P2 , G2 + P3 , G3 ? P2 , J04 ? D, M, P1 (? ? 0);
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 + P3 , G3 ? P2 + µP3 , J04 ? D, M, P1
(µ > 0, ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + ?P2 + ?P3 , G2 , G3 + P3 , J04 ? D, M, P1 (? > 0 ? ? = 0, ? ? 0);
G1 + P2 , G2 , G3 , J04 ? D, M, P1 ; G1 + P3 , G2 , G3 , J04 ? D, M, P1 , P2 ;
G1 , G2 , G3 , J04 ? D + P0 , M, P1 , P2 , P3 ; G1 , G2 , G3 , J04 + D + M ;
G1 , G2 , G3 + P0 , J12 + c(J04 ? 2D), M, P1 , P2 , sP3 (c > 0, s = 0, 1);
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 + ?P3 , J12 + c(J04 ? D), M (c > 0);
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 , J12 + c(J04 ? D), M, P3 (c > 0);
G1 , G2 , G3 + P3 , J12 + c(J04 ? D) : O, (04);
G1 , G2 , G3 , J12 + c(J04 ? D + P0 ), M, P1 , P2 , P3 (c > 0);
G1 , G2 , G3 , J12 + c(J04 + D + M ) (c > 0);
J12 , J13 , J23 , J04 ? D + P0 : O, (04), (1,2,3), (04,1,2,3);
G1 , G2 , G3 + P0 , J12 , J04 ? 2D, M, P1 , P2 , sP3 (s = 0, 1);
?
Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n) 411

G1 , G2 , G3 , J12 + P0 , J04 ? D, M, P1 , P2 , P3 ;
G1 , G2 , G3 , J12 + ?P0 , J04 ? D + P0 , M, P1 , P2 , P3 (? ? 0);
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 + ?P3 , J12 , J04 ? D, M ;
G1 + P2 , G2 ? P1 , G3 , J12 , J04 ? D, M, P3 ;
G1 , G2 , G3 + P3 , J12 , J04 ? D : O, (04);
G1 , G2 , G3 , J12 + M, J04 + D ; G1 , G2 , G3 , J12 + ?M, J04 + D + M (? ? 0);
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 ? D + P0 , M, P1 , P2 , P3 ;
G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 + D + M .
Доказательство теоремы 4.4 проводится на основании теоремы 3.1, лемм 3.3–
3.9.

1. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
I. General method and the Poincar? group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1597–1614.
e
2. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
II. The similitude group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1615–1624.
3. Patera J., Winternitz P., Sharp R.T., Zassenhaus H., Subgroups of the similitude group of three-
dimensional Minkowsky space, Can. J. Phys., 1976, 54, № 9, 950–961.
4. Весkеrs J., Patera J. Perroud M., Winternitz P., Subgroups of the Euclidean group and symmetry
breaking in nonrelativistic quantum mechanics, J. Math. Phys., 1977, 18, № 1, 72–83.
5. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Quantum numbers for particles in de Sitter space, J. Math.
Phys., 1976, 17, № 5, 717–728.
6. Patera J., Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental
groups of physics. III. The de Sitter groups, J. Math. Phys., 1977, 18, № 12, 2259–2288.
7. Burdet G., Patera J., Perrin M., Winternitz P., The optical group and its subgroups, J. Math. Phys.,
1978, 19, № 8, 1758–1780.
8. Burdet G., Patera J., Perrin M., Winternitz P., Sous-algebres de Lie de l’algebre de Schr?dinger,
o
Ann. Sc. Mart. Quebec, 1978, 2, № 1, 81–108.
9. Федорчук В.М., Непрерывные подгруппы неоднородной группы де Ситтера P (1, 4), Препринт
78.18., Киев, Ин-т математики АН УССР, 1978, 36 с.
10. Федорчук В.М., Разщепляющиеся подалгебры алгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре, Укр.
мат. журн., 1979, 31, № 6, 717–722.
11. Федорчук B.М., Фущич В.И., О подгруппах обобщенной группы Пуанкаре, в кн.: Теоретико-
групповые методы в физике, Т.1, Тр. Междунар. семинара, Звенигород, 1979, М., 1980, 61–66.
12. Федорчук B.М., Нерасщепляющиеся подалгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре, Укр. мат.
журн., 1981, 33, № 5, 696–700.
13. Fushchych W.I., Barannik A.F., Barannik L.F., Fedorchuck V.M., Continuous subgroups of the
Poincar? group P (1, 4), J. Phys. A: Math. Gen., 1985, 18, № 14, 2893–2899.
e
14. Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Москаленко Ю.Д., Непрерывные подгруппы группы Евклида
четырехмерного пространства, в кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математиче-
ской физики, Киев, Ин-т математики AН УССР, 1983, 119–123.
15. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Непрерывные подгруппы обобщенной группы
Галилея. I, Препринт 85.19, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 46 с.
16. Lаssner W., Realizations of the Poincar? group on homogeneous spaces, Acta Phys. Slov., 1973,
e
23, № 4, 193–202.
17. Вaсrу H., Combe Ph., Sorba P., Connected subgroups of the Poincar? group. I, Repts. Math. Phys.,
e
1974, 5, № 2, 145–186.
18. Вaсrу H., Combe Ph., Sorba P., Connected subgroups of the Poincar? group. II, Repts. Math. Phys.,
e
1974, 5, № 3, 361–392.
19. Sorba P., The Galilei group and its connected subgroups, J. Math. Phys., 1976, 17, № 6, 941–953.
412 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

20. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
21. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, в кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
22. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, № 4, 791–806.
23. Никитин А.Г., Фущич В.И., Юрик И.И., Редукция неприводимых унитарных представлений
обобщенных групп Пуанкаре по их подгруппам, Теор. и мат. физика, 1976, 26, № 2, 206–220.
24. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Reduction of the representations of the generalised Poincar? algebra
e
by the Galilei algebra, J. Phys. A: Math. Gen., 1980, 13, 2319–2330.
25. Джекобсон H., Алгебры Ли, М., Мир, 1964, 355 с.
26. Гото М., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли, М., Мир, 1981, 336 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 2, 413–438.

Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре
AP (2, n)
Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ЛАГНО, В.И. ФУЩИЧ

В работе изучаются для произвольного n ? 2 подалгебры алгебры Ли AP (2, n)
обобщенной группы Пуанкаре P (2, n) относительно P (2, n)-сопряженности. Найде-
ны в явном виде максимальные подалгебры и максимальные разрешимые подалге-
бры алгебры AP (2, n). Выделены вполне приводимые подалгебры алгебры AO(2, n),
обладающие только расщепляемыми расширениями в AP (2, n).
Проведена частичная классификация относительно P (2, 3)-сопряженности подалгебр
алгебры AP (2, 3). Полностью описаны относительно P (2, 2)-сопряженности подал-
гебры алгебры AP (2, 2).


Введение
Обобщенные группы Пуанкаре используются при решении ряда задач теоре-
тической и математической физики. Примером может служить группа P (2, 3), ко-
торая имеет прямое отношение к задаче о расширении S-матрицы за массовую
оболочку [1, 3] и к задаче описания частиц с внутренней структурой [4, 5]. В [4,
6] предложено использовать обобщенные группы Пуанкаре для описания физиче-
ских систем с переменной массой и спином. Для решения многих задач важно
знать подгрупповую структуру группы симметрии, допускаемой физической систе-
мой.
Описание подгрупповой структуры группы P (2, n) необходимо для исследова-
ния инвариантных решений уравнения

?2u
+ 2u = 0,
?x2
1

а также уравнения [7]
??(t, x) 1
= 2?(t, x),
i
?t l
2
где 2 = ?x2 ? ?2 — оператор Даламбера, x = (x2 , . . . , xn+2 ) — точка в пространс-
?
2
тве Минковского M (1, n), l — постоянная величина.
В данной работе для произвольного n ? 2 изучается подгрупповая структура
группы P (2, n) относительно P (2, n)-сопряженности. Поскольку классификация
непрерывных подгрупп группы P (2, n) сводится к классификации подалгебр алге-
бры Ли AP (2, n) группы P (2, n), то мы исследуем подалгебры алгебры AP (2, n)
относительно P (2, n)-сопряженности. Полученные результаты являются дальней-
шим развитием на случай алгебры AP (2, n) идей работы [8], в которой предложен
общий метод классификации относительно определенной сопряженности подал-
гебр конечно мерных алгебр Ли с нетривиальным абелевым идеалом.
Препринт 85.89, Киев, Институт математики АН УССР, 1985, 50 c.
414 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

Дадим кратную характеристику работы. В § 1 описаны максимальные подалге-
бры алгебры AP (2, n), а в § 2 найдены в явном виде максимальные разрешимые
подалгебры алгебры AP (2, n). Число этих подалгебр равно 3 при четном n и 4 при
нечетном n.
§ 3 посвящен изучению вполне приводимых подалгебр алгебры AO(2, n). На
основании полученных результатов проблема классификации подалгебр алгебры
AP (2, n) с вполне приводимыми проекциями на AO(2, n) сводится к классифика-
ции относительно O(q, k)-сопряженности неприводимых подалгебр алгебры
AO(q, k) (q = 0, 1, 2; k = 2, . . . , n).
В § 4 — § 6 проведена частичная классификация подалгебр алгебры AP (2, 3).
Отметим как законченное исследование классификацию относительно P (2, 2)-со-
пряженности подалгебр алгебры AP (2, 2), содержащуюся в § 5, § 6.

§ 1. Максимальные подалгебры алгебры AP (2, n)
Пусть R — поле вещественных чисел; Y1 , . . . , Ys — векторное пространство
или алгебра Ли над R с образующими Y1 , . . . , Ys ; Rm — m-мерное арифметиче-
ское векторное пространство над R; U = U2,n — 2 + n-мерное псевдоевклидово
пространство со скалярным произведением
(X, Y ) = x1 y1 + x2 y2 ? x3 y3 ? · · · ? xn+2 yn+2 ; (1.1)
O(2, n) — группа линейных преобразований U , сохраняющих (X, X) для каждого
X ? U . Будем предполагать, что O(2, n) реализована в виде вещественных матриц
порядка 2 + n.
Группой Пуанкаре P (2, n) называется мультипликативная группа матриц
?Y
,
01
где ? ? O(2, n), Y ? Rn+2 .
Через AG обозначим алгебру Ли группы Ли G. Используя определение алгебры
Ли, легко получить, что AO(2, n) состоит из матриц
? ?
···
0 ? ?1 ?2 ?n?1 ?n
? ?? ?n ?
···
0 ?1 ?2 ?n?1
? ?
? ?1 ?1n ?
· · · ?1,n?1
?1 0 ?12
? ?
? ?2 ?2n ? .
??12 · · · ?2,n?1
?2 0
? ? (1.2)
?. ?
. . . . .
?. ?
. . . . .
···
?. . . . . . ?
? ?n?1 ?n?1 ??1,n?1 ??2,n?1 · · · ?n?1,n ?
0
??1n ??2n · · · ??n?1,n
?n ?n 0
Пусть Eik — матрица порядка n+3, имеющая единицу на пересечении i-ой строки
и k-го столбца, и нули на всех остальных местах (i, k = 1, 2, . . . , n + 3). Нетрудно
получить, что базис алгебры AP (2, n) образуют матрицы: J12 = E12 ? E21 ; Jab =
?Eab + Eba (a < b; a, b = 3, . . . , n + 2); Jia = ?Eia ? Eai (i = 1, 2; a = 3, . . . , n +
2); Pj = Ej,n+3 (j = 1, 2, . . . , n + 2). Базисные элементы удовлетворяют таким
коммутационным соотношениям:
[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? ,
(1.3)
[P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? , J?? = ?J?? , [P? , P? ] = 0,
Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n) 415

где g11 = g22 = ?g33 = · · · = ?gn+2,n+2 = 1, g?? = 0 при ? = ? (?, ? = 1, 2, . . .,
n + 2).

<< Предыдущая

стр. 95
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>