<< Предыдущая

стр. 96
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Генераторы поворотов J?? порождают алгебру AO(2, n), а генераторы трансля-
?
ций P? — коммутативный идеал N , причем AP (2, n) = N + AO(2, n). Легко
видеть, что [X, Y ] = X · Y для любых X ? AO(2, n), Y ? N . Отождествим N и
U2,n , сопоставив Pi n + 2-мерный столбец с единицей на i-ом месте и с нулями на
остальных местах (i = 1, 2, . . . , n + 2).
Пусть C — такая матрица порядка n + 3 над R, что отображение ?C : X >
CXC ?1 является автоморфизмом AP (2, n). Если C ? G, где G — подгруппа груп-
пы P (2, n), то ?c называется G-автоморфизмом. Подалгебра L1 и подалгебра L2
алгебры AP (2, n) будут называться P (2, n)-сопряженными, если ?C (L1 ) = L2 для
некоторого P (2, n)-автоморфизма ?C алгебры AP (2, n).
Пусть W — невырожденное подпространство пространства U . Если F — по-
далгебра AO(W ), то тождественное отображение F является представлением F в
AO(W ), (O(W ) — группа изометрий пространства W ). Это представление будем
называть тривиальным. Подалгебра F ? AO(W ) называется неприводимой, если
тривиальное представление F является неприводимым. Подалгебра F ? AO(W )
называется вполне приводимой, если ее тривиальное представление вполне приво-
димо.
Определение. Пусть W — подпространство пространства U . Нормализато-
ром W в AO(2, n) называется множество

Nor W = {X ? AO(2, n) | (? Y ? W ) (X · Y ? W )}.

Лемма 1.1. Нормализатор P1 + Pn+2 в AO(2, n) совпадает с алгеброй
?
AP (1, n ? 1) = G2 , . . . , Gn+1 + (AO(1, n ? 1) ? J1,n+2 ),
?

где Ga = J1a ? Ja,n+2 (a = 2, . . . , n + 1), AO(1, n ? 1) = Jab | a, b = 2, . . . , n + 1 .
?
Базисные элементы алгебры AP (1, n ? 1) связаны такими коммутационными
соотношениями:
[Ga , J1,n+1 ] = Ga , [Jab , J1,n+2 ] = [Ga , Gb ] = 0, [Ga , Jbc ] = gab Gc ? gac Gb ,
[Jab , Jcd ] = gad Jbc + gbc Jad ? gac Jbd ? gbd Jac (a, b, c, d = 2, . . . , n + 1).

Доказательство. Необходимо найти все матрицы X вида (1.2), для которых

X · (P1 + Pn+2 ) = ?(P1 + Pn+2 ). (1.4)

Непосредственными вычислениями получаем, что ? = ?n , ?i = ??in (i = 1, 2, . . .,
?
n ? 1). Значит, Nor P1 + Pn+2 = AP (1, n ? 1). Лемма доказана.
Лемма 1.2. Если W = P1 + Pn+2 , P2 + Pn+1 , то Nor W совпадает с алгеброй
AOpt(1, n ? 1) = M, G3 , . . . , Gn , H3 , . . . , Hn + (AO(n ? 2) ? C, D, T, J1,n+2 ), где
?

Ga = J1a ? Ja,n+2 , Ha = J2a ? Ja,n+1 (a = 3, . . . , n),
M = (J21 ? J1,n+1 ) + (J2,n+2 ? Jn+2,n+1 ),
AO(n ? 2) = Jab | a, b = 3, . . . , n ,
C = ?J1,n+2 + J2,n+1 , D = 1 (J12 + Jn+1,n+2 + J1,n+1 + J2,n+2 ),
2
T = 1 (J1,n+1 + J2,n+2 ? J12 ? Jn+1,n+2 ).
2
416 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

Базисные элементы связаны следующими коммутационными соотношениями:
[Ha , Ga ] = M, [Ha , M ] = [Ga , M ] = [Ha , Hb ] = [Ga , Gb ] = [M, Jab ] = 0,
[M, J1,n+2 ] = M, [Ga , J1,n+2 ] = Ga , [Ha , J1,n+2 ] = [Jab , J1,n+2 ] = 0,
[M, C] = [M, D] = [M, T ] = 0, [C, Ga ] = Ga , [C, Ha ] = ?Ha , (1.5)
[D, Ga ] = ?Ha , [D, Ha ] = [T, Ga ] = 0, [T, Ha ] = ?Ga , [C, D] = ?2D,
[C, T ] = 2T, [T, D] = C, [C, J1,n+2 ] = 0, [D, J1,n+2 ] = ?D, [T, J1,n+2 ] = T.
Доказательство. Найдем все такие матрицы X вида (1.2), для которых [X, W ] ?
W . Пусть X · (µ(P1 + Pn+2 ) + ?(P2 + Pn+1 )) ? W . Тогда
? ? ? ???
?1 + ?1n ?1 + ?1,n?1 0
? ? ? ? ?0?
?2 + ?2n ?2 + ?2,n?1
? ? ? ???
µ? ? + ?? ? = ? . ?, (1.6)
. .
? ? ? ? ?.?
. .
. . .
?n?2 + ?n?2,n ?n?2 + ?n?2,n?1 0

?? + ?n?1 ? + ?n µ = ?n µ + ?n ? ? ?n?1,n ?,
(1.7)
??µ + ?n?1 ? + ?n µ = ?n?1 µ + ?n?1 ? + ?n?1,n µ.

Решаем систему уравнений (1.6). Пусть µ = 0, ? = 1. Тогда ?i,n?1 = ??i
(i = 1, 2, . . . , n ? 2). Если µ = 1, ? = 0, то ?in = ??i (i = 1, 2, . . . , n ? 2). Отсюда
вытекает, что Ga , Ha ? Nor W (a = 3, . . . , n). Систему (1.7) можно записать в
виде:
?? + ?n?1 ? = ?n ? ? ?n?1,n ?,
??µ + ?n µ = ?n?1 µ + ?n?1,n µ.
Поскольку µ и ? могут быть ненулевыми, то
? + ?n?1 = ?n ? ?n?1,n ,
?? + ?n = ?n?1 + ?n?1,n .
Отсюда находим, что ?n?1,n = ?n ? ?n?1 ? ?. Но тогда Nor W содержит
?J12 ? ?n?1 J1,n+1 ? ?n J2,n+2 + (? + ?n?1 ? ?n )Jn+1,n+2 =
= ?(J12 + Jn+1,n+2 ) ? ?n?1 (J1,n+1 ? Jn+1,n+2 ) ? ?n (J2,n+2 ? Jn+2,n+1 ),
для произвольных ?, ?n?1 , ?n . Это значит, что Nor W содержит генераторы Y1 =
J12 +Jn+1,n+2 , Y2 = J1,n+1 ?Jn+1,n+2 , Y3 = J2,n+2 ?Jn+2,n+1 . На элементы ?n , ?n?1
матрицы X не налагается никаких ограничений. Следовательно, Nor W содержит
также генераторы Y4 = J1,n+2 , Y5 = J2,n+1 . По той же причине Jab ? Nor W для
a, b = 3, . . . , n. Очевидно, C = ?Y4 + Y5 , D = 1 (Y1 + Y2 + Y3 ), T = 1 (Y2 + Y3 ? Y1 ),
2 2
M = ?Y1 ? Y2 + Y3 , J2,n+1 = C + Y4 .
Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости коммутационных
соотношений (1.5). Лемма доказана.
Теорема 1.1. Максимальные приводимые подалгебры алгебры AO(2, n) исчер-
пываются относительно O(2, n) сопряженности такими алгебрами:
?
1) AP (1, n ? 1);
2) AOpt(1, n ? 1);
Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n) 417

3) AO1 (1, k) ? AO2 (1, n ? k), где AO1 (1, k) = Jab | a, b = 1, 3, . . . , k + 2 ,
AO2 (1, n ? k) = Jab | a, b = 2, k + 3, . . . , n + 2 (k = 2, . . . , [n/2]; n ? 4);
4) AO1 (1, n);
5) AO(2, k) ? AO3 (n ? k), где AO3 (n ? k) = Jab | a, b = k + 3, . . . , n + 2
(k = 0, 1, . . . , n ? 1).
Доказательство. Пусть F — подалгебра алгебры AO(2, n), U1 — ненулевое под-
пространство пространства U , инвариантное относительно F . Если U1 — выро-
жденное пространство, то оно содержит F -инвариантное изотропное подпрос-
транство, сопряженное P1 + Pn+2 или P1 + Pn+2 , P2 + Pn+1 . На основании
лемм 1.1, 1.2 заключаем, что алгебра F O(2, n)-сопряжена подалгебре алгебры
?
AP (1, n ? 1) или алгебры AOpt(1, n ? 1).
?
Если U1 — невырожденное пространство, то U = U1 ? U1 , а потому в силу
теоремы Витта нормализатор U1 в AO(2, n) сопряжен одной из алгебр: AO1 (1, n);
AO1 (1, k) ? AO2 (1, n ? k), k = 2, . . . , n (n ? 4); AO(2, k) ? AO3 (n ? k), k =
2
0, 1, . . . , n ? 1. Теорема доказана.
?
Отметим, что подалгебры алгебры AP (1, 3) классифицированы в [9], подалге-
бры алгебры AO(2, 3) в [10], а подалгебры алгебры AOpt(1, 3) в [11]. Содержание
работ [9–11] дает почти полное решение задачи об описании относительно O(2, 4)-
сопряженности подалгебр алгебры AO(2, 4).
На основании теоремы 1.1 максимальные подалгебры алгебры AP (2, n) исчер-
пываются относительно P (2, n)-сопряженности такими алгебрами:
?
1) U + F , где F — неприводимая максимальная подалгебра алгебры AO(2, n);
? ?
2) AG(1, n ? 1) + J1,n+2 , где AG(1, n ? 1) — расширенная алгебра Галилея
?
с базисом P1 , P1 + Pn+2 , G2 , . . . , Gn+1 , Jab (a, b = 2, . . . , n + 1);
3) U + AOpt(1, n ? 1);
?
4) AP1 (1, k) ? AP2 (1, n ? k), где AP1 (1, k) = P1 , P3 , . . . , Pk+2 + AO1 (1, k),
?
AP2 (1, n ? k) = P2 , Pk+3 , . . . , Pn+2 + AO2 (1, n ? k) (k = 2, . . . , 2 , n ? 4);
? n

5) AP (2, k) ? AP3 (n ? k), где AP3 (n ? k) = Pk+3 , . . . , Pn+2 + AO3 (n ? k)
?
(k = 0, 1, . . . , n ? 1).

§ 2. Максимальные разрешимые подалгебры алгебры AP (2, n)
Пусть B — максимальная разрешимая подалгебра алгебры AO(2, n). Так как
неприводимые комплексные представления алгебры B одномерны, то степени не-
приводимых вещественных представлений алгебры B не превышают 2. Алгебра B
— это алгебра некоторых линейных преобразований пространства U = P1 , P2 , . . .,
Pn+1 , Pn+2 . Если все неприводимые 6-инвариантные подпространства пространс-
тва U невырождены, то

(2.1)
B = J12 , J34 , . . . , J2k?1,2k ,

где k = n+2 . Если существует изотропное B-инвариантное подпространство
2
?
пространства U , то B сопряжена подалгебре алгебры AP (1, n ? 1) или алгебры
AOpt(1, n ? 1).
?
Пусть B — подалгебра алгебры AP (1, n ? 1). Если n ? 1 — нечетное число, то
AO(1, n ? 1) обладает только одной максимальной разрешимой подалгеброй:

J2,n+1 , J34 , J56 , . . . , Jn?1,n .
418 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

Следовательно, если n — четное число, то B сопряжена алгебре
(2.2)
G2 , . . . , Gn+1 , J34 , J56 , . . . , Jn?1,n , J1,n+2 , J2,n+1 ,
где Ga = J1a ? Ja,n+2 (a = 2, 3, . . . , n + 1).
Если n ? 1 — четное число, то AO(1, n ? 1) обладает двумя максимальными
разрешимыми подалгебрами:
J34 , J56 , . . . , Jn,n+1 , H3 , . . . , Hn , J34 , J56 , . . . , Jn?2,n?1 , J2,n+1 ,
где Ha = J2a ? Ja,n+1 (a = 3, . . . , n). Следовательно, если n — нечетное число, то
B сопряжена одной из алгебр:
G2 , . . . , Gn+1 , H3 , . . . , Hn , J34 , J56 , . . . , Jn?2,n?1 , J2,n+1 , J1,n+2 ,
(2.3)
G2 , . . . , Gn+1 , J34 , J56 , . . . , Jn,n+1 , J1,n+2 .
Теперь рассмотрим случай, когда B — подалгебра алгебры AOpt(1, n ? 1) =
M, G3 , . . . , Gn , H3 , . . . , Hn + (AO(n ? 2) ? C, D, T, J1,n+2 ), где AO(n ? 2) =
?
Jab | a, b = 3, . . . , n . Алгебра AO(n ? 2) обладает только одной максимальной
разрешимой подалгеброй:
n
J34 , J56 , . . . , J2m?1,2m , m= .
2
Алгебра C, D, T обладает двумя максимальными разрешимыми подалгебрами:
C, D , D ? T . Отсюда вытекает, что AOpt(1, n ? 1) обладает двумя максималь-
ными разрешимыми подалгебрами:
M, G3 , . . . , Gn , H3 , . . . , Hn , J34 , J56 , . . . , J2m?1,2m , C, D, J1,n+2 ,
(2.4)
M, G3 , . . . , Gn , H3 , . . . , Hn , J34 , J56 , . . . , J2m?1,2m , D ? T, J1,n+2 .
Теорема 2.1. Если n — четное число, то алгебра AO(2, n) обладает относи-
тельно O(2, n)-сопряженности тремя максимальными разрешимыми подалге-
брами:
J12 , J34 , . . . , Jn+1,n+2 ;
M, G3 , . . . , Gn , H3 , . . . , Hn , J34 , J56 , . . . , Jn?1,n , C, D, J1,n+2 ;
M, G3 , . . . , Gn , H3 , . . . , Hn , J34 , J56 , . . . , Jn?1,n , D ? T, J1,n+2 .

Их размерности равны соответственно n+2 , 5n?2 , 5n?4 .
2 2 2
Если n — нечетное число, то алгебра AO(2, n) обладает относительно
O(2, n)-сопряженности четырьмя максимальными разрешимыми подалгебрами:
J12 , J34 , . . . , Jn,n+1 ; G2 , . . . , Gn+1 , J34 , J56 , . . . , Jn,n+1 , J1,n+2 ;
M, G3 , . . . , Gn , H3 , . . . , Hn , J34 , J56 , . . . , Jn?2,n?1 , C, D, J1,n+2 ;
M, G3 , . . . , Gn , H3 , . . . , Hn , J34 , J56 , . . . , Jn?2,n?1 , D ? T, J1,n+2 .

Их размерности равны соответственно n+1 , 3n+1 , 5n?3 , 5n?5 .
2 2 2 2
Доказательство. Пусть n — четное число. В результате проведенных ранее рас-
суждений, мы получили четыре разрешимые подалгебры (2.1), (2.2), (2.4) алге-
бры AO(2, n), среди которых находятся все максимальные разрешимые подалге-
бры. Первая из полученных алгебр не сохраняет изотропное пространство, две
Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n) 419

последние являются подалгебрами оптической алгебры AOpt(1, n ? 1), а пото-
му эти алгебры попарно не сопряжены. Так как [G2 , P2 + Pn+1 ] = P1 + Pn+2 ,
[Gn+1 , P2 + Pn+1 ] = ?(P1 + Pn+2 ), то алгебра (2.2) принадлежит AOpt(1, n ? 1), и,
следовательно, не является максимальной разрешимой подалгеброй.
Аналогично рассуждаем и в случае нечетного n. Теорема доказана.
Отметим, что в [12] предложен алгоритм, сводящий проблему классификации
максимальных разрешимых подалгебр алгебры AO(p, q) к аналогичной проблеме
для алгебр AO(p ? 1, q ? 1), AO(p ? 2, q ? 2). Используемая в [12] матричная
реализация алгебры AO(p, q) отличается от реализации, принятой в нашей работе.
На основании свойств разрешимых алгебр получаем, что максимальные разре-
шимые подалгебры алгебры AP (2, n) исчерпываются относительно P (2, n)-сопря-
?
женности алгебрами U + B, где B — максимальная разрешимая подалгебра
алгебры AO(2, n).


§ 3. Вполне приводимые подалгебры алгебры AO(2, n)
Пусть F — ненулевая вполне приводимая подалгебра алгебры AO(2, n), облада-
ющая тем свойством, что из GL(2+n, R)-эквивалентности неприводимых подпред-
ставлений тривиального представления F вытекает их O(2, n)-эквивалентность.
Будем также предполагать, что если существуют F -инвариантные изотропные под-
пространства пространства U , то они необходимо аннулируются алгеброй F .
Пусть ? — тривиальное представление алгебры F . Тогда

? = ?1 + ?2 + · · · + ?m ,

где ?i — неприводимое представление F в AO(Wi ) (i = 1, . . . , m). Положим Fi =
{?i (X) | X ? F }.
Тогда Fi — неприводимая подалгебра алгебры AO(Wi ). Если Fi = 0, то алгебру
Fi будем называть неприводимой частью алгебры F . Очевидно, алгебра F является
подпрямой суммой своих неприводимых частей. Объединив эквивалентные нену-
левые неприводимые подпредставления представления ?, мы получим ненулевые
дизъюнктные примарные подпредставления представления ?. Соответствующие им
подалгебры алгебры F , построенные по тому же правилу, что и неприводимые ча-
сти Fi , будем называть примарными частями алгебры F . Если F совпадает со
своей примарной частью, то F называется примарной алгеброй.
Отметим , что все подалгебры алгебры AO(n) являются вполне приводимыми и
удовлетворяют сформулированным выше ограничениям. Введенные понятия можно
распространить и на алгебры AO(p, q) для произвольных p, q.
Теорема 3.1. Если p + q ? 3 и одно из чисел p, q является нечетным, то непри-
водимая подалгебра алгебры AO(p, q) является полупростой и некомпактной.
Доказательство. Пусть F — неприводимая подалгебра алгебры AO(p, q). Тогда
F = Z(F ) ? Q, где Z(F ) — центр, a Q — фактор Леви [13]. Если F — абсолютно
неприводимая алгебра, то по лемме Шура существует такая невырожденная ма-
трица B порядка p+q комплексными коэффициентами, что для каждого X ? Z(F )
имеет место равенство B ?1 XB = ?E (? ? C). Так как след матрицы X равен 0,
то ? = 0. Значит, Z(F ) = 0.
420 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

<< Предыдущая

стр. 96
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>