<< Предыдущая

стр. 97
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Предположим, что F не является абсолютно неприводимой алгеброй. Суще-
ствует такая матрица B с комплексными коэффициентами, что для каждого F

? 0
B ?1 XB = ,
?
0 ?
? ?
где ? — матрица, комплексно-сопряженная к матрице ?. Поскольку ?, ? —
неприводимые комплексные представления алгебры F , то силу леммы Шура и
условия tr X = 0 имеем

i?E 0
B ?1 Z(F )B ? ??R .
?i?E
0

Отсюда вытекает, что dim Z(F ) ? 1 и что квадрат ненулевой матрицы из Z(F )
совпадает с матрицей ??2 E, где ? ? R, ? = 0.
Если X ? AO(p, q) и X 2 = ?E, то X сопряжена матрице diag (J, J, . . . , J), где

01
J= .
?1 0

Отсюда следует, что характеристический многочлен матрицы X совпадает с (x2 +
1)k . С другой стороны, поскольку одно из чисел p, q является нечетным, то ad X
обладает в Up,q одномерным инвариантным изотропным подпространством (ка-
ждое инвариантное пространство типа (+, ?) содержит изотропное инвариантное
подпространство). Но тогда характеристический многочлен матрицы X делится на
x ? ? (? ? R). Противоречие. Следовательно, Z(F ) = 0, т.е. F — полупростая
алгебра.
Допустим, что F — компактная алгебра. Тогда существует такая симметриче-
ская матрица C ? GL(p + q, R), что C ?1 F C ? AO(p + q). Так как exp(C ?1 F C) =
C ?1 exp F · C, то в O(p + q) существует неприводимая группа, сохраняющая однов-
ременно x2 +· · ·+x2 и ?2 x2 +· · ·+?2 x2 ??2 x2 ?· · ·??2 x2 (?1 , . . . , ?p , . . .,
p+q pp p+q p+q
1 11 p+1 p+1
?p+q — ненулевые вещественные числа).
Полученное противоречие заканчивает доказательство теоремы.
Замечание 3.1. При доказательстве теоремы 3.1 мы установили, что если непри-
водимая подалгебра F алгебры AO(p, q), p, q ? 1, p + q ? 3, является полупростая,
то F — некомпактная алгебра.
Предложение 3.1. Если m ? 3, то фактор Лови неприводимой подалгебры F
алгебры AO(2, m) является некомпактной алгеброй и аннулирует в пространс-
тве U2,m только нулевое подпространство.
Доказательство. На основании замечания 3.1 можно предполагать, что F не яв-
ляется полупростой алгеброй. Пусть F = Q ? Z(F ), где Q — фактор Леви, а
Z(F ) — центр. Если X ? Q, J ? Z(F ), Y ? U2,m , то в силу тождества Якоби
[X, [J, Y ]] + [J, [Y, X]] + [Y, [X, J]] = 0. При [X, Y ] = 0 получаем, что [X, [J, Y ]] = 0.
Поэтому пространство W = {Y ? U2,m | [Q, Y ] = 0} инвариантно относительно
Z(F ), а значит, и относительно F . В силу неприводимости алгебры F заключаем,
что W = 0. Это значит, что Q аннулирует в U2,m только нулевое подпространство.
На основании замечания 3.1 будем предполагать, что Q — приводимая алгебра.
Тогда некоторая ее неприводимая часть Q1 является полупростой неприводимой
Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n) 421

подалгеброй алгебры AO(p, q), где 1 ? p ? 2, q ? 1 и q > 1 при p = 1. В силу заме-
чания 3.1 Q1 — некомпактная алгебра. Поскольку подалгебра компактной алгебры
является компактной, то Q — некомпактная алгебра. Предложение доказано.
Теорема 3.2. Пусть K1 , K2 , . . . , Kq — примарные части подалгебры F алгебры
AO(2, n), V — подпространство пространства U2,n , инвариантное относи-
?
тельно F . Тогда V = V1 ? · · · ? Vq ? V , где Vi = [Ki , Vi ] = [Ki , V ], [Kj , Vi ] = 0 при
?
j = i (i, j = 1, 2, . . . , q), V = {X ? V | [F, X] = 0}. Если примарная алгебра
K является подпрямой суммой неприводимых некоммутативных подалгебр
S1 , S2 , . . . , Sr соответственно алгебр AO(W1 ), AO(W2 ), . . . , AO(Wr ), то отно-
сительно O(2, n)-сопряженности ненулевые подпространства W пространс-
тва U2,n с условием [K, W ] = W исчерпываются пространствами: W1 , W1 ?W2 ,
. . ., W1 ? W2 ? · · · ? Wr .
Если K = J12 +J34 +· · ·+J2s?1,2s , то относительно O(2, n)-сопряженности
ненулевые подпространства W пространства U2,n с условием [K, W ] = W
2s?2
2 4 4 6 2s 2s
исчерпываются пространствами: W1 , W3 , W1 , W3 , . . ., W1 , W3 , W1 ,
W1 (?), W1 (?) ? W5 , . . ., W1 (?) ? W5 (?), где Wa = Pa , . . . , Pl , W1 (?) =
4 4 6 4 2s l 4

P1 + ?P3 , P2 + ?P4 (? > 0).
?
Доказательство. Разложение V = V1 ? · · · ? Vq ? V является следствием теоремы
3.1, предложения 3.1 и теоремы Гурса о подалгебрах прямой суммы алгебр Ли.
Пусть [K, W ] = W , где K — некоммутативная примарная подалгебра алгеб-
ры AO(2, n), W — подпространство пространства U2,n . B силу полной приво-
димости алгебры K пространство W является прямой суммой неприводимых K-
подпространств W1 , . . . , Wr , каждое из которых невырождено. Так как разложение
тривиального представления алгебры K в сумму неприводимых представлений
однозначно с точностью до O(2, n)-эквивалентности, то на основании теоремы
Витта можно предполагать, что W1 = W1 , . . ., Wr = Wr . Теорема доказана.
Пусть ? — проектирование алгебры AP (2, n) на AO(2, n), F — подалгебра
? ? ?
AO(2, n), F — такая подалгебра алгебры AP (2, n), что ?(F ) = F . Если алгебра F
?
P (2, n)-сопряжена алгебре W + F , где W есть F -инвариантное подпространство
? будем называть расщепляемой в алгебре AP (2, n). Если
пространства U2,n , то F
? ?
любая подалгебра F ? AP (2, n), удовлетворяющая условию ?(F ) = F , является
расщепляемой, то будем говорить, что подалгебра F обладает только расщепляе-
мыми расширениями в алгебре AP (2, n).
Предложение 3.2. Вполне приводимая подалгебра F алгебры AO(2, n), не име-
ющая в U2,n изотропных инвариантных подпространств, обладает только
расщепляемыми расширениями в алгебре AP (2, n) тогда и только тогда, ко-
гда F полупроста или не сопряжена подалгебре одной из алгебр: AO(1, n),
AO(2, n ? 1).
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Вследствие
полной приводимости алгебры F можно предполагать, что F — неприводимая не-
полупростая подалгебра алгебры AO(W ), где W — невырожденное подпространс-
тво пространства U2,n .
Пусть F = Q ? T , где Q — фактор Леви, а T — центр. Согласно теореме
Витта AO(W ) — сопряжена AO(2, 2k) или AO(2k), а потому можно считать, что
?
T = J , гдe J = J12 + J34 + · · · + J2k+1,2k+2 или J = J34 + · · · + J2k+1,2k+2 . Если F
?
содержит J + Y , где Y ? W , Y = 0, то F содержит [Q, Y ]. В силу предложения 3.1
422 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

? ?
W ? F , т.е. F — расщепляемая алгебра. Предложение доказано.

§ 4. Подалгебры алгебры AP (2, 3)
На основании теоремы 1.1 максимальные приводимые подалгебры алгебры
AO(2, 3) исчерпываются относительно O(2, 3)-сопряженности такими алгебрами:
AO(1, 3) = Jab | a, b = 2, 3, 4, 5 ;
AO(2) ? AO(3) = J12 ? Jab | a, b = 3, 4, 5 ;
AO(2, 2) = Jab | a, b = 1, 2, 3, 4 ;
AO(2, 1) ? AO(2) = Jab | a, b = 1, 2, 3 ? J45 ;
ASim(1, 2) = H2 , H3 , H4 + ( Jab | a, b = 2, 3, 4 ? J15 ), где Ha = J1a ? Ja5
?
(a = 2, 3, 4);
AOpt(1, 2) = M, G3 , H3 + C, D, T, J15 , где G3 = J13 ? J35 , H3 = J23 ? J34 ,
?
M = J21 ? J14 + J25 ? J54 , C = ?J15 + J24 , D = 1 (J12 + J25 + J14 + J45 ), T =
2
? 1 (J12 ? J25 ) + 1 (J14 ? J45 ).
v v
2 2
Пусть K1 = J25 +J14 + 3J13 , K2 = ?J15 +J24 ? 3J23 , K3 = ?2J45 +J12 . Тогда
[K1 , K2 ] = ?K3 , [K1 , K3 ] = ?K2 , [K2 , K3 ] = K1 . Следовательно K1 , K2 , K3 =
AO(1, 2). Как показано в [10], неприводимые подалгебры алгебры AO(2, 3) исчер-
пываются K1 , K2 , K3 и AO(2, 3).
Таким образом, описание подалгебр алгебр AP (2, 3) сводится к описанию отно-
сительно P (2, 3)-сопряженности подалгебр таких алгебр:
1) AP (1, 3) ? P1 , где AP (1, 3) = P2 , P3 , P4 , P5 + Jab | a, b = 2, 3, 4, 5 ;
?
2) AE(2) ? AE(3);
3) AP (2, 2) ? P5 ;
4) AP (2, 1)?AE(2), где AP (2, 1) = P1 , P2 , P3 + Jab | a, b = 1, 2, 3 , а AE(2) =
?
?
P4 , P5 + J45 ;
? ?
5) AG(1, 2) + J15 , где AG(1, 2) = M, P1 , P2 , P3 , P4 , H2 , H3 , H4 + ( Jab | a, b
? ?
= 2, 3, 4 ? J15 ), M = P1 + P5 ;
6) P1 , P2 , P3 , P4 , P5 + AOpt(1, 2), где AOpt(1, 2) = M, G3 , H3 , C, D, T, J15 .
?
Подалгебры алгебры AP (1, 3) классифицированы в [8, 14–16], подалгебры
AE(3) — в [17]. В этом параграфе мы описываем подалгебры алгебр AE(2) ?
?
AE(3), AP (2, 1) ? AE(2), AP (1, 3) ? P1 , AG(1, 2) + ? J15 . Подалгебры алге-
бры AP (2, 2) будут классифицированы в § 5, § 6. Описание подалгебр алгебры
AP (2, 3) опирается на результаты § 3. Поскольку AO(2, 2) = AO(2, 1) ? AO(1, 2),
то в случае алгебры AP (2, 2) кроме результатов § 3 будут использованы дополни-
тельные вспомогательные утверждения, упрощающие процедуру нахождения ин-
вариантных подпространств.
В дальнейшем пространство, порожденное Pa1 , . . . , Pas будем обозначать
(a1 , . . . , as ). Если среди базисных векторов имеется вектор Pa + wPb , то вместо
него будем употреблять символ awb (w = 0); при w = 1 будем писать ab, а при
w = ?1 — ab. Если речь идет об алгебрах W1 + F , . . ., Ws + F , то будем
? ?
употреблять обозначение F : W1 , . . . , Ws . Наличие m в символе F (m) указыва-
ет, что алгебра F имеет размерность m. Нижние индексы служат для нумерации
факторалгебр и инвариантных пространств.
Предложение 4.1. Расщепляемые подалгебры алгебры AE(2) ? AE(3) исчер-
пываются относительно P (2, 3)-сопряженности такими алгебрами:
O, (15), (1), (5), (1,2), (1,5), (3,5), (15,2), (15,3), (15,24), (1,2,5), (1,3,5), (15,2,3),
(15,3,4), (15,24,3), (3,4,5), (15,2,3,4), (1,2,3,5), (1,3,4,5), (1,2,3,4,5);
Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n) 423

J12 : O, (3), (1,2), (3,4), (3,4,5), (1,2,3), (1,2,3,4), (1,2,3,4,5);
J45 : O, (1), (3), (13), (1,2), (1,3), (13,2), (4,5), (1,2,3), (1,4,5), (3,4,5), (13,4,5),
(1,2,4,5), (1,3,4,5), (13,2,4,5), (1,2,3,4,5);
J12 + ?J45 : O, (3), (1,2), (4,5), (1,2,3), (3,4,5), (1,2,4,5), (1,2,3,4,5) (? > 0,
? = 1);
J12 + J45 : O, (3), (1,2), (4,5), (1?4,2?5), (1,2,3), (3,4,5), (3,1?4,2?5), (1,2,4,5),
(1,2,3,4,5) (? > 0);
J12 , J45 : O, (3), (1,2), (4,5), (1,2,3), (3,4,5), (1,2,4,5), (1,2,3,4,5);
J34 , J35 , J45 : O, (1), (1,2), (3,4,5), (1,3,4,5), (1,2,3,4,5);
J12 , J34 , J35 , J45 : O, (1,2), (3,4,5), (1,2,3,4,5).
Предложение 4.2. Нерасщепляемые подалгебры алгебры AE(2) ? AE(3) исчер-
пываются относительно P (2, 3)-сопряженности такими алгебрами:
J12 + aP5 : O, (3), (1,2), (3,4), (1,2,3), (1,2,3,4) (a > 0);
J45 + aP3 : O, (1), (1,2), (4,5), (1,4,5) (1,2,4,5) (a > 0);
J45 + P3 : (13), (13,2), (13,4,5), (13,2,4,5);
J45 + aP1 : O, (3), (4,5), (3,4,5) (a > 0);
J45 + P2 + P3 : O, (1), (4,5), (1,4,5);
J45 + aP2 + P3 : (13), (13,4,5) (a > 0);
J45 + aP2 : (1), (13), (1,3), (1,4,5), (13,4,5), (1,3,4,5) (a > 0);
J12 + J45 + aP3 : O, (1,2), (4,5), (1?4,2?5), (1,2,4,5) (a > 0, ? = 0);
J12 + ?J45 + aP3 : O, (1,2), (4,5), (1,2,4,5) (? > 0, ? = 1, a > 0);
J12 + aP3 , J45 + bP3 : O, (1,2), (4,5), (1,2,4,5) (a ? 0, b ? 0, a2 + b2 = 0).
Предложение 4.3. Расщепляемые подалгебры алгебры AP (2, 1) ? AE(2), не со-
пряженные подалгебрам алгебры AE(2)?AE(3), исчерпываются относительно
P (2, 3)-сопряженности такими алгебрами:
J13 : O, (13), (2), (4), (24), (2,4), (1,3), (4,5), (24,5), (13,2), (13,4), (13,24),
(13,2,4), (13,4,5), (13,24,5), (2,4,5), (1,2,3), (1,3,4), (24,1,3), (1,2,3,4), (1,3,4,5),
(1,24,3,5), (13,2,4,5), (1,2,3,4,5);
J12 ?J23 : O, (13), (4), (13,2), (13,4), (13,2w4), (4,5), (1,2,3), (13,2w4,5), (13,2,4),
(13,4,5), (1,2,3,4), (13,2,4,5), (1.2,3,4,5) (w > 0);
J13 + aJ45 : O, (2), (13), (1,3), (4,5), (13,2), (1,2,3), (2,4,5), (13,4,5), (1,3,4,5),
(13,2,4,5), (1,2,3,4,5) (a > 0);
J12 ? J23 + J45 : O, (13), (13,2), (4,5), (1,2,3), (13,4,5), (13,2,4,5), (1,2,3,4,5)
(a > 0);
J12 ? J23 , J13 : O, (13), (4), (13,2), (13,4), (13,2w4), (4,5), (1,2,3), (13,2w4,5),
(13,2,4), (13,4,5), (1,2,3,4), (13,2,4,5), (1,2,3,4,5) (w > 0);
J12 ? J23 , J45 : O, (13), (13,2), (4,5), (1,2,3), (13,4,5), (13,2,4,5), (1,2,3,4,5);
J12 ? J23 , J13 + aJ45 : O, (13), (13,2), (4,5), (1,2,3), (13,4,5), (13,2,4,5), (1,2,3,4,5)
(a > 0);
J13 , J45 : O, (13), (2), (1,3), (13,2), (4,5), (1,2,3), (2,4,5), (13,4,5), (1,3,4,5),
(13,2,4,5), (1,2,3,4,5);
J12 , J13 , J23 : O, (4), (4,5), (1,2,3), (1,2,3,4), (1,2,3,4,5);
J12 ? J23 , J13 , J45 : O, (13), (13,2), (4,5), (1,2,3), (13,4,5), (13,2,4,5), (1,2,3,4,5);
J12 , J13 , J23 , J45 : O, (4,5), (1,2,3), (1,2.3,4,5).
Предложение 4.4. Нерасщепляемые подалгебры алгебры AP (2, 1) ? AE(2), не
сопряженные подалгебрам алгебры AE(2)?AE(3), исчерпываются относитель-
но P (2, 3)-сопряженности алгебрами:
424 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

J13 + aP2 : O, (13), (4), (4,5), (13,4), (1,3), (13,4,5), (1,3,4), (1,3,4,5) (a > 0);
J13 + P2 : (24), (24,5), (13,24), (13,24,5), (1,24,3), (1,24,3,5);
J13 + aP4 : O, (13), (2), (13,2), (1,3), (1,2,3) (a > 0);
J13 + aP5 : (4), (24), (2,4), (13,4), (13,24), (13,2,4), (1,3,4), (1,24,3), (1,2,3,4)
(a > 0);
J13 + P2 + P4 : O, (13), (1,3);
J13 + P2 + aP5 : (24), (13,24), (1,24,3) (a > 0);
J13 + P2 + P5 : (4), (13,4), (1,3,4);
J12 ? J23 + P3 : O, (13), (4), (13,4), (4,5), (13,2), (13,2w4), (13,2w4,5), (13,2,4),
(13,4,5), (13,2,4,5) (w > 0);
J12 ? J23 + P4 : O, (13), (13,2), (1,2,3);
J12 ? J23 + P5 : (4), (13,4), (13,2w4), (13,2,4), (1,2,3,4) (w > 0);
J12 ? J23 + P3 + aP4 : O, (13), (13,2) (a > 0, w = 0);
J12 ? J23 + P3 + aP5 : (4), (13,4), (13,2w4), (13,2,4) (a > 0, w > 0);
J12 ? J23 , J13 + aP2 : (13), (13,4), (13,2w4), (13,2w4,5), (13,4,5) (a > 0, w > 0,
w = 1);
J12 ? J23 , J13 + aP4 : O, (13), (13,2), (1,2,3) (a > 0);
J12 ? J23 , J13 + aP5 : (4), (13,4), (13,2w4), (13,2,4), (1,2,3,4) (a > 0, w > 0);
J12 ? J23 , J13 + aP2 + bP4 , P1 + P3 (a > 0, b > 0);
J12 ? J23 , J13 + aP2 + bP5 , P1 + P3 , P4 (a > 0, b > 0);
J12 ? J23 , J13 + aP2 + bP5 , P1 + P3 , P2 + wP4 : (a, b > 0, w > 0);
J13 + aJ45 + bP2 : O, (13), (1,3), (4,5), (13,4,5), (1,3,4,5) (a > 0, b > 0);
J12 ? J23 + J45 + aP3 : O, (13), (13,2), (4,5), (13,4,5), (13,2,4,5) (a > 0);
J12 ? J23 , J13 + aJ45 + bP2 : (13), (13,4,5) (a > 0, b > 0);
J13 + aP2 , J45 + bP2 : O, (13), (1,3), (4,5), (13,4,5), (1,3,4,5) (a ? 0, b ? 0,
a + b2 = 0);
2

J45 + P1 + P3 , J12 ? J23 + aP3 (a ? 0);
J45 , J12 ? J23 + P3 ;
J45 + aP2 , J12 ? J23 + P3 , P1 + P3 (a ? 0);
J45 + aP2 , J12 ? J23 , P1 + P3 (a > 0);
J45 + aP3 , J12 ? J23 + P3 , P1 + P3 , P2 (a ? 0);
J45 + P3 , J12 ? J23 , P1 + P3 , P2 ;
J45 + P1 + P3 , J12 ? J23 + aP3 , P4 , P5 (a ? 0);
J45 , J12 ? J23 + P3 , P4 , P5 ;
J45 + aP2 , J12 ? J23 + P3 , P1 + P3 , P4 , P5 (a ? 0);
J45 + aP2 , J12 ? J23 , P1 + P3 , P4 , P5 (a > 0);
J45 + aP3 , J12 ? J23 + P3 , P1 + P3 , P2 , P4 , P5 (a ? 0);
J45 + P3 , J12 ? J23 , P1 + P3 , P2 , P4 , P5 ;

<< Предыдущая

стр. 97
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>