<< Предыдущая

стр. 99
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Непосредственной проверкой убеждаемся, что ? ? O(2, 2), ??1 B2 ? = ?B2 ,
??1 (P1 + P2 ? P3 + P4 ) = P1 + P3 , ??1 (P1 + P3 ) = ?(P1 ? P3 ). Значит, P1 +
P3 , P1 ? P3 + P2 + P4 сопряжено с P1 , P3 .
430 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

Если dim W = 3, то V1 ? W или V2 ? W , а потому W = P1 + P3 , P2 , P4 или
W = P1 , P3 , P2 + P4 . Автоморфизм AP (2, 2), соответствующей матрице
? ?
0100
?1 0 0 0?
? ?
? 0 0 0 1 ?,
0010

не изменяет B2 и отображает P1 , P2 + P4 , P3 нa P1 + P3 , P2 , P4 . Лемма дока-
зана.
Лемма 5.4. Пусть F a = B1 ? B3 + (?1)a (C1 ? C3 ) (a = 1, 2). Если [F a , W ] ? W ,
W = 0, W = V , тo W сопряжено с одним из пространств: (2a), (13), (13,2),
(13,4), (13,2w4), (1,6–2a,3), (13,2,4) (w > 0).
Доказательство. Ограничимся случаем a = 2. Пусть ? = B1 ? B3 + C1 ? C3 ,
X = ?(P1 ?P3 )+?(P1 +P3 )+?P2 +?P4 ? W . Из (5.1) получаем, что [?, X] = 2?P2 ?
?(P1 ?P3 ), [?, [?, X]] = ?2?(P1 ?P3 ). Если ? = 0, то P1 ?P3 , P2 , P1 +P3 +?P4 ? W .
Если ? = 0, то W = P1 , P2 , P3 . Допустим, что ? = 0. Тогда P3 + ?P4 ? W , ? = 0.
Легко получить, что exp(2t(B1 ?B3 )(P3 +?P4 )) = P3 +?P4 +t(P2 +P4 +?(P1 ?P3 )).
Отсюда вытекает, что P3 + (? + t)P4 ? W . Полагая t = ??, получаем, что W =
P 1 , P2 , P3 .
Пусть ? = 0 для всех X ? W . Если ? = 0, то W совпадает с одним из
пространств: P1 ? P3 , P4 , P1 ? P3 + ?P4 , P1 ? P3 , P4 . Так как exp(2t(B1 ?
B3 )(P1 ? P3 + ?P4 ) = (1 + ?t)(P1 ? P3 ) + ?P4 , то, полагая 1 + ?t = 0, находим, что
пространство P1 ? P3 + ?P4 сопряжено с P4 . Если ? = 0, то P1 ? P3 , P2 + wP4 ?
W . При dim W = 3 имеем W = P1 ? P3 , P2 , P4 .
Остается показать, чтo алгебры L1 = P1 ? P3 , P2 + F 2 , L2 = P1 ? P3 , P4 +
? ?
F , L3 = P1 ? P3 , P2 + wP4 + F попарно не сопряжены.
?
2 2

Так как при изоморфизме псевдоевклидовых пространств сохраняются длины
векторов, то алгебры L1 и L2 несопряжены.
Допустим, что автоморфизм ? алгебры AP (2, 2), соответствующий матрице
? = (?ij ) ? O(2, 2), отображает L1 на L3 . Пусть ?(?) = µ?, ?(P1 ? P3 ) = ?1 (P1 ?
P3 )+?2 (P2 +wP4 ), ?(P2 ) = ?(P1 ?P3 )+?2 (P2 +wP4 ). Поскольку [?(?), ?(P1 ?P3 )] =
[?, P1 ?P3 ] = 0, то ?2 = 0 Из равенства ?? = µ?? вытекает, что ?42 = 0, вследствие
чего ?2 = 0. Мы получили, что ?( P1 ?P3 , P2 ) = P1 ?P3 . Противоречие. Значит,
алгебра L1 не сопряжена с алгеброй L3 .
Аналогично доказываем несопряженность алгебр L2 и L3 . Лемма доказана.
Лемма 5.5. Если нетривиальное подпространство W ? V инвариантно отно-
сительно F = ?B1 + B3 + C2 , то W сопряжено с одним из пространств: (13),
(13,24), (13,24), (13,2,4).
Доказательство. Пусть X = ?1 P1 +?2 P2 +?3 P3 +?4 P4 ? W , ? = 2(?B1 +B3 +C2 )
Из (5.1) получаем, что
[?, X] = (?2 +?3 ??4 )P1 +(??1 ??3 +?4 )P2 +(?1 ??2 +?4 )P3 +(??1 +?2 ??3 )P4 ,
[?, [?, X]] = X + 2(?4 ? ?2 )(P1 ? P3 ) ? 2(?1 + ?3 )(P2 + P4 ).
Если ?4 ? ?2 = 0, ?1 + ?3 = 0, то P1 ? P3 , P2 + P4 ? W . При dim W = 2
имеем W = P1 ? P3 , P2 + P4 , а при dim W = 3 получаем одно из пространств:
P 1 , P2 + P 4 , P3 , P 1 ? P 3 , P2 , P4 .
Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n) 431

Пусть ?4 ??2 = 0, ?2 = 0, ?1 +?3 = 0. Если ?1 ??3 = 0, то W = P1 , P2 +P4 , P3 .
Если ?1 ? ?3 = 0, то W = P1 + P3 , P2 + P4 .
Пусть ?4 ? ?2 = 0, ?1 + ?3 = 0, ?1 = 0. Такими же рассуждениями как
и в предыдущем случае получаем, что W совпадает с одним из пространств:
P 1 ? P 3 , P2 ? P 4 , P 1 ? P 3 , P2 , P4 .
Если ?4 ? ?2 = 0, ?1 + ?3 = 0 для всех X ? W , то W совпадает с одним из
пространств; (13), (24), (13,24).
Автоморфизм AO(2, 2), соответствующий матрице
? ?
01 0 0
?1 0 0 0?
? ?
? 0 0 0 ?1 ? ,
0 0 ?1 0

не изменяет F и отображает P2 + P4 на P1 ? P3 , P1 + P3 , P2 + P4 на P1 ?
P3 , P2 ? P4 , P1 , P2 + P4 , P3 на P1 ? P3 , P2 , P4 . Лемма доказана.
Лемма 5.6. Если F = ?B1 + B3 ± C3 , [F, W ] ? W , W = 0, W = V , то
W = P 1 ? P 3 , P2 + P 4 .
Доказательство. Ограничимся случаем, когда F = ?B1 + B3 + C3 . Пусть ? =
2(?B1 + B3 + C3 ), X = ?1 P1 + ?2 P2 + ?3 P3 + ?4 P4 . Тогда
[?, X] = (2?2 ? ?4 )P1 + (?2?1 ? ?3 )P2 ? ?2 P3 ? ?1 P4 ,
[?, [?, X]] = ?X ? 2(?1 + ?3 )(P1 ? P3 ) + 2(?4 ? ?2 )(P2 + P4 ).
Отсюда вытекает, что W содержит векторы
Y = (?1 + ?3 )(P1 ? P3 ) + (?2 ? ?4 )(P2 + P4 ),
[?, Y ] = (?2 ? ?4 )(P1 ? P3 ) ? (?1 + ?3 )(P2 + P4 ).
Определитель ? из коэффициентов при P1 ? P3 , P2 + P4 равен ?(?1 + ?3 )2 ?
(?2 ? ?4 )2 . Если ? = 0, то P1 ? P3 , P2 + P4 ? W . Предположив, что W содержит
ненулевой вектор ?P3 +?P4 , получаем, что W = V . Значит, W = P1 ?P3 , P2 +P4 .
Если ? = 0, то ?3 = ??1 , ?4 = ?2 . Отсюда следует, что X = ?1 (P1 ? P3 ) +
?2 (P2 + P4 ), а значит, W = P1 ? P3 , P2 + P4 . Лемма доказана.
Лемма 5.7. Если F = B2 ? eC3 (e > 0), [F, W ] ? W и W = 0, W = V , то
W = P1 + P 3 , P2 ? P 4 .
Доказательство. Пусть ? = 2(B2 ? eC3 ), X = ?i Pi . Тогда
[?, X] = (?e?2 + ?3 )P1 + (e?1 ? ?4 )P2 + (?1 + e?4 )P3 ? (?2 + e?3 )P4 ,
[?, [?, X]] = (1 ? e2 )X + 2e(?4 P1 + ?3 P2 ? ?2 P3 ? ?1 P4 ).
Легко получить, что

exp(2tC3 )(X) = (?1 cos t + ?2 sin t)P1 + (??1 sin t + ?2 cos t)P2 +
+(?3 cos t ? ?4 sin t)P3 + (?3 sin t + ?4 cos t)P4 .

Полагаем ?3 sin t + ?4 cos t = 0. Если ?1 = ?2 = 0, то P3 ? W . Отсюда, исполь-
зуя инвариантность W , находим последовательно, что [?, P3 ] = P1 ? eP4 ? W ,
[?, P1 ? eP4 ] = 2eP2 + (1 ? e2 )P3 ? W , P2 ? W , ?eP1 ? P4 ? W . Значит, W = V .
Противоречие. Поэтому можно предположить, что X = P1 + ?2 P2 + ?3 P3 . Пусть
X1 = [?, X] = (?e?2 + ?3 )P1 + eP2 + P3 ? (?2 + e?3 )P4 ,
X2 = ?3 P2 ? ?2 P3 ? P4 , X3 = (?e?3 ? ?2 )P1 + P2 ? eP3 ? (?3 ? e?2 )P4 .
432 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

Пусть ? — определитель, составленный из коэффициентов векторов X, X1 ,
X2 , X3 при P1 , P2 , P3 , P4 . Находим, что

?? = (e(?2 ? ?3 + 1) ? 2?2 ?3 )2 + (?2 ? ?3 + 1 + 2e?2 ?3 )2 .
2 2 2 2


Если ? = 0, то X, X1 , X2 , X3 суть линейно независимы, а потому W = V .
Пусть ? = 0. Тогда e(?2 ? ?3 + 1) ? 2?2 ?3 = 0, (?2 ? ?3 + 1) + e(2?2 ?3 ) = 0.
2 2 2 2

e ?1
= e2 + 1, e2 + 1 = 0, то ?2 ? ?3 + 1 = 0, ?2 ?3 = 0. Отсюда
2
Так как
1e
заключаем, что ?2 = 0, ?3 = ±1.
Автоморфизм, соответствующий diag {1, ?1, ?1, 1}, отображает B2 ? eC3 в
?(B2 ? eC3 ), P1 ? P3 в P1 + P3 . Поэтому можно предполагать, что X = P1 + P3 ,
W = P1 + P3 , P2 ? P4 . Лемма доказана.
Пусть Fi (m) — подалгебра размерности m алгебры AO(2, 2). Если речь идет о
? ?
расщепляемых подалгебрах W1 + Fi (m), . . ., Ws + Fi (m), то будем употреблять
обозначение Fij (m) : W1 , . . . , Ws (j = 1, s).
Теорема 5.1. Расщепляемые подалгебры алгебры AP (2, 2) исчерпываются алге-
брами:
F1j (0): O, (1), (3), (13), (1,2), (1,3), (1,24), (3,4), (24,3), (13,24), (1,2,3), (1,3,4),
(1,24,3), (1,2,3,4) (j = 1, 14);
F2j (1) = B1 ? B3 : O, (13), (13,2), (13,4), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4)
(j = 1, 8);
F3j (1) = B2 : O, (13), (1,3), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4) (j = 1, 7);
F4j (1) = B3 : O, (1,2), (3,4), (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 5);
F5j (1) = B1 ? B3 + C1 ? C3 : O, (4), (13), (13,4), (13,2), (13,2w4), (1,2,3),
(13,2,4), (1,2,3,4) (w > 0, j = 1, 9);
F6j (1) = B1 ? B3 ? C1 + C3 : O, (2), (13), (13,2), (13,4), (13,2w4), (1,3,4),
(13,2,4), (1,2,3,4) (w > 0, j = 1, 9);
F7j (1) = ?B1 + B3 + C2 : O, (13), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4) (j = 1, 6);
F8j (1) = ?B1 + B3 + C3 : O, (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 3);
F9j (1) = ?B1 + B3 ? C3 : O, (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 3);
F10j (1) = B2 + eC2 : O, (13), (24), (1,3), (2,4), (13,24), (13,24), (1,24,3), (13,2,4),
(1,2,3,4) (0 < e < 1, j = 1, 10);
F11j (1) = B2 + C2 : O, (2), (4), (13) ,(24), (1,3), (2,4), (13,2), (13,4), (13,24),
(13,2,4), (1,24,3), (1,2,3), (1,3,4), (1,2,3,4) (j = 1, 15);
F12j (1) = B2 ? eC3 : O, (13,24), (1,2,3,4) (e > 1, j = 1, 3);
F13j (1) = B3 + eC3 : O, (1,2), (3,4), (1,2,3,4) (0 < |e| < 1, j = 1, 4);
F14j (1) = B3 ? C3 : O, (1), (1,2), (3,4), (1,3,4), (1,2,3,4) (j = 1, 6);
F15j (1) = B3 + C3 : O, (3), (1,2), (3,4), (1,2,3), (1,2,3,4) (j = 1, 6);
F16j (2) = B1 ? B3 , B2 : O, (13), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4) (j = 1, 6);
F17j (2) = B1 ? B3 , C1 ? C3 : O, (13), (13,2), (13,4), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4)
(j = 1, 7);
F18j (2) = B1 ? B3 , C2 : O, (13), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4) (j = 1, 6);
F19j (2) = B1 ? B3 , C3 : O, (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 3);
F20j (2) = B2 , C2 : O, (13), (1,3), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4) (j = 1, 6);
F21j (2) = B2 , C3 : O, (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 3);
F22j (2) = B3 , C3 : O, (1,2), (3,4), (1,2,3,4) (j = 1, 4);
Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n) 433

F23j (2) = B2 + C2 , B1 ? B3 + C1 ? C3 : O, (13), (4), (13,2), (13,4), (13,2w4),
(13,2,4), (1,2,3), (1,2,3,4) (w > 0, j = 1, 9);
F24j (2) = B2 + C2 , B1 ? B3 ? C1 + C3 : O, (13), (2), (13,2), (13,4), (13,2w4),
(13,2,4), (1,3,4), (1,2,3,4) (w > 0, j = 1, 9);
F25j (2) = B2 +C2 , B1 ?B3 : O, (13), (24), (13,24), (13,24), (13,24), (13,2), (13,4),
(13,2,4), (1,24,3), (1,2,3,4) (j = 1, 11);
F26j (2) = B2 + ?C2 , B1 ? B3 : O, (13), (24), (13,24), (13,24), (13,24), (1,24,3),
(13,2,4), (1,2,3,4) (? > 0, ? = 1, j = 1, 9);
F27j (2) = B2 ? ?C3 , B1 ? B3 : O, (13,24), (1,2,3,4) (? > 0, j = 1, 3);
F28j (2) = B1 ? B3 ? C2 , C1 ? C3 : O, (13), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4)
(j = 1, 6);
F29j (3) = B1 , B2 , B3 : O, (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 3);
F30j (3) = B1 ? B3 , B2 , C1 ? C3 : O, (13), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4)
(j = 1, 6);
F31j (3) = B1 ? B3 , B2 , C2 : O, (13), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4) (j = 1, 6);
F32j (3) = B1 ? B3 , C3 , B2 : O, (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 3);
F33j (3) = B1 ? B3 , B2 + C2 , C1 ? C3 : O, (13), (13,2), (13,4), (13,24), (13,2,4),
(1,2,3,4) (j = 1, 7);
F34j (3) = B1 ?B3 , B2 ?C2 , C1 ?C3 : O, (13), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4) (j = 1, 5);
F35j (3) = B1 ?B3 , B2 +?C2 , C1 ?C3 : O, (13), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4)
(0 < |?| < 1, j = 1, 6);
F36j (3) = B1 ? C1 , B2 + C2 , B3 ? C3 : O, (2), (1,3,4), (1,2,3,4) (j = 1, 4);
F37j (3) = B1 + C1 , B2 + C2 , B3 + C3 : O, (4), (1,2,3), (1,2,3,4) (j = 1, 4);
F38j (4) = B1 , B2 , B3 , C1 ? C3 : O, (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 3);
F39j (4) = B1 , B2 , B3 , C2 : O, (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 3);
F40j (4) = B1 , B2 , B3 , C3 : O, (1,2,3,4) (j = 1, 2);
F41j (4) = B1 ?B3 , B2 , C1 ?C3 , C2 : O, (13), (13,24), (13,2,4), (1,2,3,4) (j = 1, 5);
F42j (5) = B1 , B2 , B3 , C1 ? C3 , C2 : O, (13,24), (1,2,3,4) (j = 1, 3);
F43j (6) = B1 , B2 , B3 , C1 , C2 , C3 : O, (1,2,3,4) (j = 1, 2).
Доказательство. Для каждой из подалгебр алгебры AO(2, 2) необходимо найти
инвариантные подпространства пространства V = P1 , P2 , P3 , P4 и классифициро-
вать их относительно O(2, 2)-сопряженности.
Первым рассмотрим случай нулевой алгебры F1 (0). Превратим V в псевдоев-
клидово пространство, положив (X, Y ) = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?3 ?3 ? ?4 ?4 для X =
?i Pi , Y = ?i Pi (i = 1, 4). Пусть W — подпространство V . Если dim W = 1,
то по теореме Витта пространство W O(2, 2)-сопряжено с одним из пространств:
(1), (13), (3).
Пусть dim W > 1. Если W содержит вектор X ненулевой длины, то W сопря-
жено с X ? W , где X = P1 , W ? P2 , P3 , P4 или X = P3 , W ? P1 , P2 , P4 .
Подпространства пространства P2 , P3 , P4 исчерпываются пространствами: O, (2),
(24), (3), (2,3), (3,4), (24,3), (2,3,4). Подпространства пространства (1,2,4) исчер-
пываются пространствами: O, (1), (24), (4), (1,2), (1,24), (1,4), (1,2,4). Если W
не содержит вектора ненулевой длины, то в силу теоремы о существовании ор-
тогонального базиса и теоремы Витта заключаем, что W = P1 + P3 или W =
P 1 + P 3 , P2 + P 4 .
Большинство случаев одномерных подалгебр алгебры AO(2, 2) рассмотрены в
леммах 5.2–5.7, остальные случаи исследуются аналогично.
434 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

Рассмотрим случай алгебры F16 (2) = B1 ? B3 , B2 . При описании инвариан-
тных относительно F2 = B1 ? B3 подпространств пространства V , мы исполь-
зовали только автоморфизмы exp(tCi ) (i = 2, 3). Поскольку эти автоморфизмы
алгебру F16 отображают в себя, то среди инвариантных пространств F2 следует
отобрать те, которые выдерживают действие B2 , а затем полученные пространс-
тва исследовать на сопряженность. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
инвариантные подпространства для F16 исчерпываются пространствами: O, (13),
(13,24), (13,2,4), (1,2,3,4).
Пусть W — подпространство V , инвариантное относительно F25 = B2 +
C2 , B1 ? B3 . Легко получить, что W = W1 ? W2 , где W1 ? P2 , P4 , а W2 совпада-
ет с одним из пространств: O, (13), (13), (1,3). Автоморфизм exp(tC2 ) отображает
P2 + ?P4 (? = 0) на одно из пространств: (2), (4), (24), (24). Используя комму-
тационные соотношения, находим, что W является одним из пространств: O, (13),
(24), (13,2), (13,4), (13,24), (13,24), (13,24), (13,2,4), (1,24,3),(1,2,3,4).
Аналогично исследуются случаи остальных подалгебр алгебры AO(2, 2). Тео-
рема доказана.

§ 6 Нерасщепляемые подалгебры алгебры AP (2, 2)
Пусть Fi — такая подалгебра алгебры AP (2, 2), что ?(Fi ) = Fi = Fi (m). Запись
Fi +W означает, что [Fi , W ] ? W и Fi ?V ? W . Если речь идет о нерасщепляемых
алгебрах Fi + W1 , . . . , Fi + Ws , то будем употреблять обозначение Fij : W1 , . . . , Ws
(j = 1, s).
Лемма 6.1 Нерасщепляемые подалгебры F алгебры AP (2, 2) с условием ?(F ) =
B1 ? B3 исчерпываются алгебрами:
F2j = B1 ? B3 + P1 : O, (13), (13,2), (13,4), (13,24), (13,24), (13,2,4) (j = 1, 7);
F2j = B1 ? B3 + P2 : (13), (13,4), (13,24) (j = 8, 10).
Доказательство. Пусть X = B1 ? B3 + ?i Pi , Y = ti Pi . Тогда exp(2Y )(X) =
B1 ? B3 (?1 + t2 ? t4 )P1 + (?2 ? t1 ? t3 )P2 + (?3 ? t2 + t4 )P3 + (?4 ? t1 ? t3 )P4 ,
Полагая ?3 ? t2 + t4 = 0, ?4 ? t1 ? t3 = 0, можно предположить, что алгебра F
содержит X = B1 ? B3 + ?P1 + ?P2 . Если F ? V = 0, то, применяя автоморфизм
exp(2tC3 ), получаем, что F сопряжена с алгеброй B1 ? B3 + ?P1 . Автоморфизм
AO(2, 2), соответствующий матрице diag {1, ?1, ?1, 1}, отображает B1 ?B3 +?P1
на B1 ? B3 ? ?P1 . Поэтому будем предполагать, что ? > 0. Так как exp(t(B2 ?
C2 ))(B1 ? B3 + ?P1 ) = e?t (B1 ? B3 + ?et P1 ), то можно считать, что ? = 1. В итоге
получаем алгебру F21 = B1 ? B3 + P1 .
Пусть W = P1 ? P3 , P2 или W = P1 ? P3 , P2 , P4 . Тогда ? = 0. Автоморфизм
exp(t(B2 +C2 )) не изменяет W . Так как exp(t(B2 +C2 ))(B1 ?B3 +?P1 ) = e?t (B1 ?
B3 ) + ?(ch tP1 + sh tP3 ) и ?(ch tP1 + sh tP3 ) + ? sh t(P1 ? P3 ) = ?et P1 , то, полагая
|?|e2t = 1, можно допускать, что ? = 1.
Аналогично исследуются остальные случаи. Лемма доказана.
Лемма 6.2. Если F — нерасщепляемая подалгебра AP (2, 2) и ?(F ) = B1 ? B3 +
(?1)a (C1 ? C3 ) (a = 1, 2), то F сопряжена одной из алгебр:
B1 ?B3 +(?1)a (C1 ?C3 )+P2a?1 : O, (2a), (13), (13,2), (13,4), (13,2w4), (13,2,4);
B1 ? B3 + (?1)a (C1 ? C3 ) + P2a : O, (13), (13,6 ? 2a), (1,3,6 ? 2a).
Доказательство. Так как случаи a = 1 и a = 2 аналогичны, то ограничимся
рассмотрением случая a = 2. Пусть X = B1 ? B3 + C1 ? C3 + ?i Pi , Y = t i Pi .
Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n) 435

Тогда exp(2Y )(X) = B1 ? B3 + C1 ? C3 + (?1 + 2t2 )P1 + (?2 ? 2t1 ? 2t3 )P2 + (?3 ?
2t2 )P3 + ?4 P4 . Полагаем ?1 + 2t2 = 0, ?2 ? 2t1 ? 2t2 = 0. Отсюда вытекает, что с
точностью до внутренних автоморфизмов X = B1 ? B3 + C1 ? C3 + ?P3 + ?P4 .
Пусть W = F ? V и пусть W = P4 , W = P1 , P2 , P3 . В этом случае автомор-
физм exp(t(B1 ? B3 ? C1 + C3 )) не изменяет W и отображает X в B1 ? B3 + C1 ?
2
C3 + ?P3 + (? + t?)P4 + (t? + t2 )(P1 ? P3 ), Так как exp(?P2 )(B1 ? B3 + C1 ? C3 ) =
B1 ? B3 + C1 ? C3 + ?(P1 ? P3 ), то можно допустить, что при ? = 0 F содержит
X1 = B1 ? B3 + C1 ? C3 + ?P3 . Автоморфизм, соответствующий diag {1, ?1, 1, 1},

<< Предыдущая

стр. 99
(из 131 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>