стр. 1
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

W.I. Fushchych
Scientific Works



Volume 3
1986–1989




Editor
Vyacheslav Boyko




Kyiv 2001
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 1–34.

О непрерывных подгруппах
псевдоортогональных
и псевдоунитарных групп
А.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ
В работе изучаются подалгебры алгебр LO(p, q) и LU (p, q). Найдены все максималь-
ные и максимальные разрешимые подалгебры алгебр LO(p, q) и LU (p, q). Изучена
структура таких подалгебр. Получена формула числа максимально разрешимых по-
далгебр изотропного ранга r и найдены размерности всех подалгебр такого рода.
Полностью изучены максимальные и максимальные разрешимые подалгебры алге-
бры LSU (p, q) с точностью до SU (p, q)-сопряженности. Выделены вполне приводи-
мые подалгебры алгебры LO(V ), обладающие только расщепляемыми расширениями
в алгебре V + LO(V ). Изучена структура одномерных подалгебр алгебры LO(p, q).
?
Для алгебр LO(p, 1) и LO(p, 2) полностью проведена классификация подалгебр та-
кого рода. Рассматривается ряд свойств неприводимых подалгебр алгебры LO(p, q).

Введение
В различных приложениях теории групп в математической и теоретической фи-
зике важное значение приобретает задача описания непрерывных подгрупп данной
группы Ли с точностью до внутренней сопряженности. Эта задача сводится к опи-
санию относительно определенной сопряженности классов подалгебр данной ал-
гебры Ли. Патера, Винтернитц и Цассенхауз [1] предложили метод для изучения
максимальных разрешимых подалгебр полупростых алгебр Ли. С помощью этого
метода они нашли в явном виде все q + 1 максимальных разрешимых подалгебр
Sk , k = 0, . . . , q, алгебры LU (p, q), p ? q > 0. Размерность подалгебры Sk равна
(2k + 1)(p + q ? k) ? 1. Ими же описание максимальных разрешимых подалгебр
алгебры LO(p, q) было сведено к описанию максимальных разрешимых подалгебр
алгебр LO(p ? 1, q ? 1) и LO(p ? 2, q ? 2). Был решен также вопрос о числе макси-
мальных разрешимых подалгебр алгебры LO(p, q). Отметим, что структура таких
подалгебр как в алгебре LSU (p, q), так и в алгебре LO(p, q), в указанных работах
[1–2] не рассматривалась.
Систематическое изучение подалгебр конечномерной алгебры Ли с нетриви-
альным разрешимым идеалом начато в работах [3–5]. Методом, предложенным в
этих работах, была проведена классификация подалгебр таких алгебр: LP (1, 3)
[3], LSim(1, 3) [4], LO(2, 3) [5], LOpt(1, 2) [5].
В настоящей работе предложен метод для изучения подалгебр алгебр LO(p, q)
и LSU (p, q) с точностью до O(p, q)- и SU (p, q)-сопряженности (соответственно).
Работа состоит из 8 параграфов. В § 1 найдено полное описание максимальных
подалгебр алгебры LO(p, q).
В § 2 получено полное описание максимальных разрешимых подалгебр алгебры
LO(p, q) и, в частности, изучена их структура. Если L — максимальная разреши-
мая подалгебра, то важнейшей характеристикой ее является ранг r максимального
Препринт 86.77, Институт математики АН УССР, Киев, 1986, 48 c.
2 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

вполне изотропного подпространства N0 , инвариантного относительно подалгебры
L. Число r мы называем изотропным рангом подалгебры L. Максимальная разре-
шимая подалгебра изотропного ранга r алгебры LO(p, q) обладает таким комму-
тативным идеалом S, фактор-алгебра L/S по которому разлагается в полупрямую
(p+q?2r) (p+q?2r)
+ (?1 ? ?2 ) коммутативной подалгебры Vr
?
сумму Vr размерности
r(p + q ? 2r) и алгебры ?1 ? ?2 , являющейся прямой суммой максимальной разре-
шимой вполне приводимой подалгебры алгебры LO(p ? r, q ? r) и максимальной
разрешимой подалгебры алгебры gl(r, R).В предлагаемой работе дано полное опи-
(p+q?2r)
сание подалгебр S, Vr , ?1 , ?2 . Исходя из этого, получаем разложение
алгебры L, рассматриваемой как множество, в декартовое произведение хорошо
известных множеств. Получена также формула числа максимальных разрешимых
подалгебр изотропного ранга и найдены размерности всех подалгебр такого рода.
В § 3 получено полное описание максимальных и максимальных разрешимых
подалгебр алгебры LSU (p, q). Эти результаты формулируются аналогично резуль-
татам § 2.
В § 4 изучаются вполне приводимые подалгебры конечномерной алгебры
JO(V ), являющейся полупрямой суммой нетривиального коммутативного идеала
V и алгебры LO(V ) линейных преобразований пространства V . Выделены те из
них, которые обладает только расщепляемыми в алгебре JO(V ). Доказана следу-
ющая теорема: вполне приводимая подалгебра L алгебры LO(V ) обладает только
расщепляемыми расширениями в алгебре JO(V ) в том и только в том случае,
когда выполняется одно из следующих условий: 1) L полупроста; 2) L аннулирует
только нулевое подпространство пространства V .
В § 5 рассматривается задача описания одномерных подалгебр алгебры
LO(p, q) с точностью до O(p, q)-сопряженности. С этой целью определяется есте-
ственное разложение L = L1 ? L2 ? L3 ? L4 подалгебры L изотропного ранга r > 0
в подпрямое произведение проекций L1 , L2 , L3 и L4 подалгебры L соответственно
(p+q?2r)
на LO(r), Vr , LO(p ? r, q ? r) и gl(r, R). Доказано предложение, утвержда-
ющее, что если подалгебры L и L изотропного ранга r алгебры LO(p, q) O(p, q)-
сопряжены, то подалгебры L3 и L3 O(p?r, q ?r)-сопряжены, а подалгебры L4 и L4
GL(r, R)-сопряжены. Это предложение сводит классификацию одномерных подал-
гебр изотропного ранга r > 0 алгебры LO(p, q) к описанию одномерных подалгебр
алгебры gl(r, R) с точностью до GL(r, R)-сопряженности и одномерных вполне
приводимых подалгебр алгебры LO(p ? r, q ? r) с точностью до O(p ? r, q ? r)-
сопряженности. Эти результаты и результаты § 4 позволили изучить структуру
одномерных подалгебр алгебры LO(p, q) в общем случае. Для алгебр LO(p, 1) и
LO(p, 2) полностью проведена классификация подалгебр такого рода.
В § 6 определяется разложение вполне приводимой подалгебры L ? LO(p, q) в
подпрямое произведение L = L1 ? · · · ? Ls неприводимых подалгебр Li ? LO(pi , qi ),
pi ? p, qi ? q. Указанное разложение существенно используется для изучения
свойств вполне приводимых подалгебр.
Свойства неприводимых подалгебр алгебры LO(p, q) изучаются в § 7. Эти ре-
зультаты позволили в § 8 изучить структуру подпространства V1 ? V , инвари-
антного относительно вполне приводимой подалгебры алгебры LO(p, q). Отметим,
что полученные результаты относительно непрерывных подгрупп группы O(p, q)
без существенных изменений переносятся на случай группы SU (p, q).
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 3

§ 1. Максимальные подалгебры алгебры LO(p, q)
Пусть V — векторное пространство над полем вещественных чисел R, ? —
невырожденная квадратичная форма на пространстве V . Для квадратичной формы
? существует такой базис {T1 , . . . , Tp+q } пространства V , что
p p+q
?
x2 x2 .
?= i i
i=1 i=p+1

Известно, что пара чисел (p, q) не зависит от выбора базиса, а зависит лишь от ?,
и называется сигнатурой формы ?.
Вектор T ? V называется изотропным, если ?(T ) = 0. Пространство V1 ? V
называется:
1) изотропным, если существует ненулевой вектор T ? V1 , ортогональный к V1 ;
2) вполне изотропным, если ?(T ) = 0 для любого вектора T ? V1 .
Группой O(p, q) называется группа {f ? GL(V ) | ?(T ) = ?(f (T ))}, составлен-
ная из изометрий пространства (V, ?). Если в базисе {Ti } пространства V матрица
f равна S, то f ? O(p, q) тогда и только тогда, когда S T Jp,q S = Jp,q , где
Ep 0
Jp,q = ,
?Eq
0

Ep — единичная матрица порядка p, S T — матрица, транспонированная к матрице
S. Таким образом, группу O(p, q), где p и q — целые числа, можно определить как
группу всех квадратных матриц A порядка p + q над полем вещественных чисел
R, удовлетворяющих матричному уравнению
AT Jp,q A = Jp,q .
Отсюда вытекает, что алгебра LO(p, q) группы O(p, q) состоит из всех веществен-
ных матриц X, удовлетворяющих соотношению
X · Jp,q + Jp,q · X T = 0.
Пространство V будем предполагать реализованным как пространство (p + q)-
мерных вектор-столбцов над R. Тогда действие элемента J алгебры LO(p, q) на
вектор-столбец T пространства V сводится к обычному умножению T слева на
матрицу J, т.e. [J, T ] = J · T . Тем самым определена алгебра JO(p, q), являющаяся
полупрямой суммой пространства V размерности p + q и алгебры LO(p, q). В даль-
нейшем алгебру LO(p, q), действующую на пространстве (V, ?), будем обозначать
через LO(V ).
К алгебре LO(p, q) близко примыкает алгебра LSU (p, q). По определению она
состоит из всех комплексных матриц X ? sl(p + q, C), удовлетворяющих соотно-
шению
X ? Jp,q + Jp,q · X = 0,
где X ? — матрица, эрмитово-сопряженная X. Алгебра LSU (p, q) является ал-
геброй Ли группы SU (p + q, C), которая состоит из всех комплексных матриц
X ? SL(p + q, C), удовлетворяющих соотношению
X ? Jp,q X = Jp,q .
4 А.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Рассматривая подалгебру L(p, q), мы в настоящем параграфе будем предпола-
гать, что p ? q > 0.
Определение. Подалгебра L ? LO(V ) называется вполне приводимой подалге-
брой класса 0, если каждое L-инвариантное подпространство пространства V
обладает L-инвариантным прямым ортогональным дополнением.
Из данного определения вытекает, что подалгебра L ? LO(V ) вполне приво-
дима класса 0, если V не содержит L-инвариантного вполне изотропного подпро-
странства.
В данной работе, за исключением § 4, вполне приводимые подалгебры класса 0,
будем называть вполне приводимыми подалгебрами.
Будем говорить, что подалгебра L ? LO(V ) относится к классу r или имеет
изотропный ранг r, если ранг максимального вполне изотропного подпространс-
тва, инвариантного относительно подалгебры L, равен r. Для вполне приводимой
подалгебры изотропный ранг полагаем равным нулю.
Изотропный ранг r, очевидно, удовлетворяет соотношению 0 ? r ? q.
Пусть L — максимальная подалгебра алгебры LO(V ), не являющаяся вполне
приводимой. Если r — изотропный ранг подалгебры L, то L оставляет инвари-
антным вполне изотропное подпространство N0 ранга r. В силу теоремы Витта
можно допускать, что N0 = T1 + Tp+q?r+1 , . . . , Tr + Tp+q . Для изучения структу-
ры подалгебры L воспользуемся следующей конструкцией.
Пусть p и q — целые числа, p ? q > 0. Для натурального числа r, 0 <
r ? q, рассмотрим алгебру LO(p ? r, q ? r) и алгебру gl(r, R) всех вещественных
(n?2r)
квадратных матриц порядка r. Пусть далее Vr , n = p + q, — множество
всех вещественных r ? (n ? r)-матриц. Это множество превращается в алгебру
(n?2k)
Ли, если положить [X, Y ] = 0 для любых двух элементов X, Y ? Vr . Если
LO(p ? r, q ? r) ? gl(r, R) — прямая сумма подалгебр LO(p ? r, q ? r) и gl(r, R),
(n?2r)
B ? LO(p ? r, q ? r), C ? gl(r, R) и X ? Vr , то положим [B + C, X] = ?X ·
B + C · X. Нетрудно убедиться, что относительно этого умножения мы получаем
(n?2r)
алгебру Ли, являющуюся полупрямой суммой пространства Vr и алгебры
(n?2r)
LO(p ? r, q ? r) ? gl(r, R). Полученную алгебру обозначим через JO(Vr ).
Пусть L — максимальная подалгебра класса r > 0 алгебры LO(V ) и N0 =
T1 +Tp+q?r+1 , . . . , Tr +Tp+q — максимальное вполне изотропное подпространство,
инвариантное относительно L. Ортогональное дополнение к N0 совпадает с N =
N0 +N1 , где N1 = Tr+1 , . . . , Tp+q?r . Следовательно, N инвариантно относительно
L. Пусть L0 = {J0 ? L | [J, N1 ] ? N0 , L1 = {J ? L | [J, N1 ] ? N1 }. Докажем, что
L = L0 + L1 . Действительно, каждый элемент J подалгебры L имеет следующий
вид:
? ?
A1 B1 A2
J = ? B2 B3 ? , (1.1)
C
AT B4 D
2


где A1 , C, D — квадратные матрицы порядка r, p + q ? 2r соответственно и
AT = ?A1 , DT = ?D. Учитывая принадлежность элемента J алгебре LO(p, q), из
1
соотношения J · Jp,q + Jp,q · J T = 0 получаем, что
О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп 5
? ?
00 0
K=? 0 C 0 ? ? LO(p, q).
00 0

Рассмотрим произвольный элемент X ? N1 . Имеем [J, X] = X + X0 , где X ? N1 ,
X0 ? N0 . Так как [K, X] = X , [K, N0 ] = 0, то K ? L1 . Следовательно, B1 =
B4 = 0 и ввиду соотношения [J ? K, X] = 0, которое выполняется для любого
X ? N1 , получаем, что J ? K ? L0 . Поэтому J ? L0 + L1 и тем самым равенство
L = L0 + L1 доказано.
Очевидно, S = {J ? L | [J, N ] = 0} является идеалом алгебры L. Имеет место
следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть L — максимальная подалгебра класса r > 0 алгебры LO(V ).
(n?2r)
Тогда фактор-алгебра L/S изоморфна алгебре JO(Vr ).
Доказательство. Каждый элемент подалгебры L имеет вид (1.1), где A1 , C, D —
квадратные матрицы порядка r, n ? 2r, r соответственно и AT = ?A1 , DT = ?D.
1
Матрицу B1 разобьем на блоки B1 = (B11 , B12 ), где B11 — r ? (p ? r)-матрица,
B12 — r ? (q ? r)-матрица. Тогда

?B11
T
(1.2)
B2 = .
T
B12

Изучим строение подалгебры L0 . Поскольку N1 и N0 состоят соответственно из
векторов
? ? ? ?
0 Y
? X ?, ? 0 ?,
0 Y

и L0 N1 ? N0 , то B1 X = B4 X и CX = 0. Ввиду произвольности X отсюда вытека-
ет, что B1 = B4 , C = 0. Кроме того, L0 оставляет инвариантным подпространство
N0 и потому A1 + A2 = AT + D, B3 = ?B2 . Следовательно, произвольная матрица
2
подалгебры L0 представляется в виде суммы
? ?? ?? ?
A1 0 ?A1 00 B
0 B1 0
? B2 0 ?B2 ? + ? 0 0 0 ?+? 0 0 ?,
0
A1 0 ?A1 BT 0 B ? BT

стр. 1
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>