<< Предыдущая

стр. 10
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

В нашей работе найдены в явном виде максимальные системы алгебраически
независимых полиномиальных операторов Казимира (основные операторы) обоб-
щенных групп Пуанкаре P (p, q), группы Галилея G(n) и расширенной группы
?
Галилея G(n).

2. Операторы Казимира обобщенных групп Пуанкаре
Алгебра Пуанкаре AP (p, q) определяется такими коммутационными соотноше-
ниями:
[Jab , Jcd ] = gad Jbc + gbc Jad ? gac Jbd ? gbd Jac ,
(1)
[Pa , Jbc ] = gab Pc ? gac Pb , Jba = ?Jab , [Pa , Pb ] = 0,
где

g = diag {1, . . . , 1, ?1, . . . , ?1} (a, b, c, d = 1, 2, . . . , n; n = p + q).
p q

Пусть ?a1 a2 ...an — полностью антисимметрический тензор ранга n с условием
?12...n = 1,

g ab = ? ak ? bl gkl , J ab = ? ak ? bl Jkl , P a = ? ak Pk .

Полагаем
Wa1 ...an?1 = ?a1 ...an P an ,
Wa1 ...ar = Wa1 ...ar ar+1 ar+2 J ar+1 ar+2 (r ? n ? 3),
W = Wa1 a2 J a1 a2 при нечетном n.
Труды третьего международного семинара “Теоретико-групповые методы в физике”, Юрмала, 22–24
мая 1985 г., Москва, Наука, 1986, С. 176–183.
42 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

На основании (1) можно установить справедливость соотношений:
[Jab , Wd1 ...dt ] = gaa gbb (gbd1 Wad2 ...dt + · · · +
+gbdt Wd1 d2 ...a ? gad1 Wbd2 ...dt ? · · · ? gadt Wd1 d2 ...b ), (2)
[Pa , Wd1 ...dt ] = 0.
Теорема 1. Пусть n = p + q, n ? 3, m = n?1
. Элементы
2

T0 = g ab Pa Pb ,
1
g a1 b1 · · · g an?2k?1 bn?2k?1 Wa1 ...an?2k?1 Wb1 ...bn?2k?1
Tk =
(n ? 2k ? 1)!22k (k!)2

при k < m или k = m и четном n,
1
при нечетном n
Tm = W
2m m!
образуют максимальную систему алгебраически независимых операторов Ка-
зимира алгебры AP (p, q).
Инвариантность записанных операторов вытекает из соотношений (2). Их не-
зависимость следует из независимости симметризованных операторов Казимира
группы P (p, q), построенных по аналогичному правилу.
В качестве примера выпишем основные операторы Казимира для группы P (1, 6):
P1 ? P 2 ? · · · ? P 7 ;
2 2 2

1 a1 b1
· · · g a4 b4 ?a1 ...a7 ?b1 ...b7 J a5 a6 P a7 J b5 b6 P b7 ;
g
96
1 a1 b1 a2 b2
?a1 ...a7 ?b1 ...b7 J a3 a4 J a5 a6 P a7 J : b3 b4 J b5 b6 P b7 ;
g g
128
1
?a ...a J a1 a2 J a3 a4 J a5 a6 P a7 .
48 1 7
3. Операторы Казимира расширенной группы Галилея
? ?
Алгебра Ли AG(n) расширенной группы Галилея G(n) n-мерного евклидова
пространства определяется как вещественная алгебра с такими коммутационными
соотношениями:
[Jab , Jcd ] = ?ad Jbc + ?bc Jad ? ?ac Jbd ? ?bd Jac , [Pa , Jbc ] = ?ab Pc ? ?ac Pb ,
[Pa , Pb ] = 0, [Ga , Jbc ] = ?ab Gc ? ?ac Gb , [Ga , Gb ] = 0,
(3)
[P0 , Jbc ] = [P0 , Pa ] = 0, [Ga , P0 ] = Pa , [Ga , Pb ] = ?ab M,
[M, Jab ] = [M, P0 ] = [M, Pa ] = [M, Ga ] = 0 (a, b, c, d = 1, 2, . . . , n; n ? 3).
? ? ?
Пусть U = U (AG(n)) — универсальная обертывающая алгебра алгебры AG(n),
? ?
Z U — центр U .
Теорема 2. Пусть m = [n/2], C1 , C2 , . . . , Cm — система однородных алге-
браически независимых инвариантных операторов алгебры U (AO(n, R)), ?ab =
? ?
M Jab ?(Pa Gb ?Pb Ga ), Cj — элемент U , получаемый из Cj в результате замены
?
Jab на ?ab . Максимальную систему алгебраически независимы элементов Z U
образуют элементы:
? ? ?
M, C0 = 2M P0 ? ? ab Pa Pb , C1 , . . . , Cm .
Операторы Казимира для обобщенных групп Пуанкаре и группы Галилея 43

Доказательство. Из коммутационных соотношений (3) вытекает, что

[P0 , ?bc ] = [Pa , ?bc ] = [Ga , ?bc ] = 0, ?ba = ??ab ,
[Jab , ?cd ] = ?ad ?bc + ?bc ?ad ? ?ac ?bd ? ?bd ?ac , (4)
[?ab , ?cd ] = M (?ad ?bc + ?bc ?ad ? ?ac ?bd ? ?bd ?ac ).

Пусть

Pa = M ?1 Pa , Jab = M ?1 ?ab = Jab ? (Pa Gb ? Pb Ga ),
? ? ? ?

? ?
Q — R-подалгебра обертывающего тела алгебры AG(n), порожденная 1, P0 , Pa ,
? ?
Gb , M , Jab (R — поле вещественных чисел). Так как в силу (4) элементы Jab
(a, b = 1, . . . , n) порождают AO(n, R) и
? ?? ? ?
[Ga , Pb ] = ?ab , [Pa , Jcd ] = 0, [Ga , Jcd ] = 0, [Ga , P0 ] = M Pa ,

то

Q ? Q1 ?R Q2 ?R Q3 ?R U (AO(n, R)), (5)
=

где Q1 — R-алгебра, порожденная 1 и M , Q2 — R-алгебра, порожденная 1 и
?? ?
2P0 ? M Pa P a , a Q3 есть R-алгебра, порожденная 1, Pa , Gb (a, b = 1, . . . , n). Q3
является алгеброй Вейля, поэтому ее центр совпадает с полем R. На основании (5)
и результатов о центре U (AO(n, R)) заключаем, что степень трансцендентности
??
центра алгебры Q равна m+2 и что элементы M , 2P0 ?M Pa P a , Cj (j = 1, 2, . . . , m)
являются алгебраически независимыми.
? ?
Поскольку U ? Q и M ? ZQ, то Z U ? ZQ (ZQ — центр Q). Отсюда вытекает,
?
что в Z U существует не более m + 2 алгебраически независимых элементов. В то
же время
??
M, M (2P0 ? M Pa P a ), M tj Cj ,
?
где tj — степень однородности Cj (j = 1, 2, . . . , m), принадлежит Z U и алгебраи-
чески независимы. Теорема доказана.

4. Операторы Казимира группы Галилея
Коммутационные соотношения для базисных элементов алгебры Галилея
AG(n) получаем из (3), полагая M = 0. Сохраним те же обозначения для ба-
зисных элементов.
Пусть {Cij | i, j, k = 1, . . . , s} — структурные константы алгебры Ли L,
k


s
k
rank B.
Bij = Cij Zk , B = (Bij ), r(L) = sup
(Z1 ,...,Zs )
k=1

На основании [1] и результатов о числе фундаментальных решений однородной
системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка в частных прои-
зводных получаем, что степень трансцендентности центра обертывающей алгебры
алгебры L не превышает dim L ? r(L).
12
Лемма. r(AG(n)) ? n + 3n ? [n/2].
2
44 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Доказательство. Базисные элементы алгебры AG(n) расположим в такой после-
довательности:
P0 , P1 , . . . , Pn?1 ; G1 , . . . , Gn?1 ; J12 , . . . , J1,n?1 ; J23 , . . . , J2,n?1 ; . . . , Jn?2,n?1 ; Pn ,
Gn , J1n , J2n , . . . , Jn?1,n .
Базисным элементам сопоставим вещественные переменные:
x0 , x1 , . . . , xn?1 ; y1 , . . . , yn?1 ; z12 , . . . , z1,n?1 ; z23 , . . . , z2,n?1 ; . . . , zn?2,n?1 ; xn , yn ,
z1n , z2n , . . . , zn?1,n .
Положим x1 = x2 = · · · = xn?1 = 0, xn = 1, yn = 0, zin = 0 (i = 1, . . . , n ? 1).
Матрица B имеет вид
??
?
0 ?1 0? ?
??
?
? 1
? n?
? ?
0 0 . .. ??
? . ??
.
. ?
? ??
? 00 1
? ?
? ?
0 B 0
? ?,
? ?
··· 0 ···
0 0 0
?? ?
? ?1 ?
0
?? ?
?? ?
? ?1 .
? ?
.
0 . D
?n ?
..
?? ?
? .
?
?
?1
0 0
где B — матрица, соответствующая алгебре AE(n ? 1), порожденной G1 , . . .,
Gn?1 , J12 , . . . , Jn?2,n?1 . Известно, что
1 n
r(AE(n ? 1)) = n(n ? 1) ? .
2 2
Поэтому
1 n 1 n
r(AG(n)) ? n(n ? 1) ? + 2n = n(n + 3) ? .
2 2 2 2
Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть m = n , Kab = Pa Gb ? Pb Ga ,
2
Wa1 ...an?2 = ?a1 ...an K an?1 an ,
Wa1 ...ar = Wa1 ...ar ar+1 ar+2 K ar+1 ar+2 (r ? n ? 4),
Wa1 = Wa1 a2 a3 K a2 a3 при нечетном n,
W = Wa1 a2 K a1 a2 при четном n.
Элементы
T0 = Pa P a , T1 = Wa1 ...an?2 W a1 ...an?2 , . . . , Tm = Wa1 W a1 (или W )
составляют максимальную систему алгебраически независимых инвариант-
ных операторов алгебры Галилея AG(n).
Теорема доказывается на основании леммы такими же рассуждениями как и
теорема 2.
Предложение 1. Пусть m = [n/2], n ? 3, C1 , . . . , Cm — однородные образующие
? ?
центра U (AO(n, R)), Cj — элемент U (AG(n)), получаемый из Cj в результате
замены Jab на ?ab . Элементы
? ? ?
M, C0 = 2M P0 ? ? ab Pa Pb , C1 , . . . , Cm (6)
Операторы Казимира для обобщенных групп Пуанкаре и группы Галилея 45

?
составляют систему образующих ZU (AG(n)).
Доказательство. Обозначим через M двусторонний идеал алгебры, порожден-
ный M . Известно, что

U (AG(n))/ M ? U (AG(n)).
? =

Отождествляя соответствующие элементы, можно считать, что базис AG(n) со-
? ? ?
стоит из таких элементов: Pa = Pa + M , Gb = Gb + M , P0 = P0 + M ,
? ?
Jab = Jab + M . Пусть Cj — элемент U (AG(n)), получаемый из Cj при замене
?? ?? ? ?
Jab на Kab = Pa Gb ? Pb Ga . Тогда Cj = Cj + M , а значит,
?? ? ?
? ab Pa Pb , Ca , . . . , Cm (7)

принадлежат центру алгебры U (AG(n)). Так как построенные в теореме 3 опе-
раторы T1 , T2 , . . . , Tm можно получить из операторов Казимира алгебры AO(n, R)
? ?
при замене Jab на Kab , то Tj = fj (C1 , . . . , Cm ) (j = 1, . . . , m). Отсюда в силу ал-
гебраической независимости T0 , T1 , . . . , Tm вытекает, что операторы (7) являются
алгебраически независимыми.
На основании рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 2, ка-
ждый элемент центра алгебры U (AG(n)) можно записать в виде M ?k f (M, C0 , C1 ,
? ??
? ?
. . . , Cm ). Если бы элементы (6) не порождали ZU (AG(n)), то для некоторого не-
нулевого многочлена ?(x0 , x1 , . . . , xm ) с вещественными коэффициентами

M ?1 · ?(C0 , C1 , . . . , Cm ) ? ZU (AG(n)).

<< Предыдущая

стр. 10
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>