<< Предыдущая

стр. 100
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

мой J12 , J13 , J23 ? J45 , J46 , J56 , либо разлагается в подпрямую сумму L1 + L2
?
двух неприводимых подалгебр L1 и L2 . Следовательно, L1 = J12 , J13 , J23 , L2 =
J45 , J46 , J56 . Нетрудно убедиться, что с точностью до O(3, 3)-сопряженности по-
далгебра L1 + L2 сопряжена с алгеброй L = J12 +J45 , J13 ?J46 , J23 +J56 . Однако,
?
изотропный ранг алгебры L равен 3, так как V содержит трехмерное вполне изо-
тропное подпространство Q1 + Q4 , Q2 ? Q5 , Q3 + Q6 , инвариантное относительно
алгебры L . Это доказывает, что если разложение пространства относится к типу
(+ + +)(? ? ?), то этому разложению соответствует единственная подалгебра (с
точностью до O(3, 3)-сопряженности), совпадающая с J12 , J13 , J23 ? J45 , J46 , J56 .
Аналогично рассматриваются и остальные случаи.
Подалгебры изотропного ранга 0 алгебры AO(3, 3):
AO(3, 3), J12 ? J45 , J13 ? J46 , J23 ? J56 , J15 ? J24 , J26 ? J35 , J16 ? J34 ,
AO(3, 2) = J12 , J13 , J14 , Jv , J23 , J24 , J25 , J34 , J35 , J45 ,
v
15
?2J12 + J45 , J14 + J25 + 3J35 , ?J15 + J24 ? 3J34 ,
AO(2, 3) = J23 , J24 , J25 , Jv , J34 , J35 , J36 , J45 , J46 , J56 ,
v
26
?2J56 + J23 , J36 + J25 + 3J24 , ?J26 + J35 ? 3J34 ,
AO(2) ? AO(1, 3) = J12 , J34 , J35 , J36 , J45 , J46 , J56 ,
AO(3, 1) ? AO(2) = J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 , J56 ,
AO(1, 3) = J34 , J35 , J36 , J45 , J46 , J56 ,
AO(3) ? AO(3) = J12 , J13 , J23 , J45 , J46 , J56 ,
AO(2, 1) ? AO(1, 2) = J12 , J14 , J24 , J35 , J36 , J56 ,
AO(3, 1) = J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 ,
AO(2) ? AO(3) = J23 , J45 , J46 , J56 , AO(3) = J45 , J46 , J56 ,
AO(2, 1) ? AO(2) = J23 , J24 , J34 , J56 , AO(3) = J12 , J13 , J23 ,
AO(2) ? AO(1, 2) = J12 , J13 , J23 , J45 , AO(3) ? AO(2) = J12 , J13 , J23 , J45 .
§ 2. Подалгебры изотропного ранга 1 алгебры AO(3, 3)
Согласно определению подалгебра L ? AO(3, 3) имеет изотропный ранг 1 или
относится к классу 1, если ранг максимального вполне изотропного подпространс-
тва V(1) , инвариантного относительно L, равен 1. В силу теоремы Витта можно
предполагать, что V(1) = Q1 + Q6 . Максимальная подалгебра, оставляющая
?
V(1) инвариантным, совпадает с алгеброй A(1) = G2 , G3 , G4 , G5 + ( J23 , J24 , J25 ,
J34 , J35 , J45 ? J16 ), где Ga = J1a ?Ja6 (a = 2, 3, 4, 5). Подалгебра J23 , J24 , J25 , J34 ,
J35 , J45 является алгеброй Ли псевдоортогональной группы O(2, 2), а подалгебра
?
G2 , G3 , G4 , G5 + J23 , J24 , J25 , J34 , J35 , J45 является алгеброй Ли группы Пуан-
каре P (2, 2). Учитывая, что элемент J16 играет роль дилатации, получаем, что A(1)
? ?
является алгеброй Ли расширенной группы Пуанкаре P (2, 2), т.е. A(1) = AP (2, 2).
Любая подалгебра L ? AO(3, 3) изотропного ранга 1, оставляющая V(1) инва-
риантным, содержится в A(1) и ее проекция ?(L) на подалгебру AO(2, 2) имеет
изотропный ранг 0. Таким образом, нам необходимо провести классификацию с
точностью до O(2, 2)-сопряженности подалгебр изотропного ранга 0 алгебры и ра-
сширить каждую из них с помощью дилатации J16 . Максимальные подалгебры
изотропного ранга 0 алгебры AO(2, 2) находим, следуя § 1. Результаты приведены
в таблице 2.
Подалгебры псевдоортогональной алгебры AO(3, 3) 433

Таблица 2
Максимальные подалгебры класса 0 алгебры AO(2, 2)

Тип разложения
№ п/п Максимальные подалгебры класса 0
пространства V
(+ + ??) AO(2, 2) = Jab | a, b = 2, 3, 4, 5
1
(+ + ?)(?) AO(2, 1) = J23 , J24 , J25
2
(+)(+ ? ?) AO(1, 2) = J34 , J35 , J45
3
(++)(??) AO(2) ? AO(2) = J23 , J45
4
(+)(+)(??) AO(2) = J45
5
(++)(?)(?) AO(2) = J23
6

Из таблицы 2 видно, что если подалгебра L ? AO(2, 2) изотропно-ранга 0 не
является максимальной, то она либо неприводима, а потому сопряжена с алгеброй
J25 + J34 , J24 ? J35 , J23 ? J45 , J23 [6], либо является подпрямой суммой подалгебр
J23 и J45 . Во втором случае L = J23 + ?J45 . Автоморфизм, соответствующий
матрице diag [1, ?1, 1, 1, 1, 1], отображает L на J23 ? ?J45 . Следовательно, можно
предполагать, что ? > 0. Если ? = 1, то алгебра J23 + J45 оставляет инвариан-
тным вполне изотропное подпространство Q2 + Q5 , Q3 + Q4 , что противоречит
предположению o L. Таким образом, L = J23 + ?J45 (? > 0; ? = 1).
?
Проведем далее с точностью до O(2, 2)-сопряженности классификацию всех
?
подалгебр L алгебры AO(2, 2) = AO(2, 2) ? J16 , обладающих тем свойством,
что ?(L) является подалгеброй изотропного ранга 0 алгебры AO(2, 2). Это задача
классификации подалгебр прямой суммы двух алгебр Ли. Применяя теорему Ли–
Гурса, получаем следующие подалгебры:
F1 = J23 + ?J16 , F2 = J23 , J16 , F3 = J45 + ?J16 ,
F4 = J45 , J16 , F5 = J23 + ?J45 + ?J16 , F6 = J23 + ?J45 , J16 ,
F7 = J23 + ?J16 , J45 + ?J16 , F8 = J23 , J45 , J16 , F9 = J34 , J35 , J45 ,
F10 = J34 , J35 , J45 , J16 , F11 = J23 , J24 , J34 ,
F12 = J23 , J24 , J34 , J16 , F13 = J25 + J34 , J24 ? J35 , J23 ? J45 , J23 + ?J10 ,
F14 = J25 + J34 , J24 ? J35 , J23 ? J45 , J23 , J16 ,
F15 = AO(2, 2) ? J16 , F16 = AO(2, 2).
Здесь ? ? 0, ? ? 0, ? > 0, ? = 1.
?
Найдем все расширения подалгебр Fi в алгебре AP (2, 2). Нахождение ра-
сщепляемых расширений подалгебры Fi сводится к задаче классификации с то-
?
чностью до O(2, 2)-сопряженности всех подпространств пространства W = {G2 ,
G3 , G4 , G5 }, инвариантных относителъно Fi . Рассмотрим, например, подалгебру
F1 . Ее проекция ?(F1 ) на AO(2, 2) совпадает с J23 . Пространство W имеет с
точностью до O(2, 2)-сопряженности только следующие J23 -инвариантные, а зна-
чит, и F1 -инвариантные подпространства: 0, G4 , G2 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 ,
G2 , G3 , G4 , G5 . Аналогично рассматриваются остальные подалгебры Fi .
?
Найдем все нерасшепляемые расширения подалгебр Fi в алгебре AP (2, 2). Ка-
ждая из подалгебр Fi действует вполне приводимо на подпространстве W . Следо-
вательно, Fi обладает расщепляемыми расширениями тогда и только тогда, когда
выполняется одно из следующих условий: 1) Fi полупроста, 2) Fi аннулирует
только нулевое подпространство пространства V . Среди подалгебр Fi существу-
ют только две подалгебры J23 и J45 , не удовлетворяющие сформулированному
434 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

критерию, и потому только эти подалгебры обладают нерасщепляемыми расши-
?
рениями в алгебре AP (2, 2). Рассмотрим, например, подалгебру J23 . Можно
предполагать, что подалгебра L, удовлетворяющая условию ?(L) = J23 , явля-
ется полупрямой суммой L = W1 + J23 + ?G4 + ?G5 , где W1 ? W — подпро-
?
странство, инвариантное относительно J23 . Пусть W1 = 0 или W1 = G2 , G3 .
Используя автоморфизм exp[ad (tJ45 )], можем положить ? = 0. Последователь-
но применяя автоморфизм ?1 = exp[ad (tJ16 )] и автоморфизм ?2 , определяемый
матрицей diag [1, ?1, 1, 1, 1, 1], можно положить ? = 1. Пусть W = G4 или
W = G2 , G3 , G4 . Тогда ? = 0. Последовательное применение автоморфизмов
?1 и ?2 позволяет считать ? = 1. Следовательно, мы получаем следующие нера-
сщепляемые расширения алгебры J23 : J23 + G5 : 0, G4 , G2 , G3 , G2 , G3 , G4 .
Подалгебры изотропного ранга 1 алгебры AO(3, 3):
J23 + ?J16 : 0, G4 , G2 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J23 , J16 : 0, G4 , G2 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J23 + G5 : 0, G4 , G2 , G3 , G2 , G3 , G4 ;
J45 + ?J16 : 0, G3 , G2 , G3 , G4 , G5 , G3 , G4 , G5 G2 , G3 , G4 , G5 ;
J45 , J16 : 0, G3 , G2 , G3 , G4 , G5 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J45 + G2 : 0, G3 , G4 , G5 , G3 , G4 , G5 ;
J23 + ?J45 + ?J16 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J23 + ?J45 , J16 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J23 + ?J16 , J45 + ?J16 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J23 , J45 , J16 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J34 , J35 , J45 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J34 , J35 , J45 , J16 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J23 , J24 , J34 : 0, G5 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J23 , J24 , J34 , J16 : 0, G5 , G2 , G3 , G4 , G2 , G3 , G4 , G5 ;
J25 + J34 , J24 ? J35 , J23 ? J45 , J23 , J16 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 ;
J25 + J34 , J24 ? J35 , J23 ? J45 , J23 + ?J16 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 ;
J23 , J24 , J25 , J34 , J35 , J45 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 ;
J23 , J24 , J25 , J34 , J35 , J45 , J16 : 0, G2 , G3 , G4 , G5 .

§ 3. Подалгебры изотропного ранга 3 алгебры AO(3, 3)
В настоящем параграфе задача классификации подалгебр L ? AO(3, 3) изотро-
пного ранга 3 сведена к задаче классификации подалгебр алгебры AIGL(3, R),
которая является алгеброй Ли группы неоднородных преобразований трехмерного
вещественного пространства. Алгебра AIGL(3, R) состоит из матриц

?1 Y1
,
0 0

где ?1 ? AGL(3, R), Y1 ? R3 . Ее базис образуют матрицы
? ? ? ?
0 10 0 0 01 0
??1 0? ?0 0?
00 00
=? ?, =? ?,
? ?
K12 K12
?0 0? ??1 0?
00 00
0 00 0 0 00 0
Подалгебры псевдоортогональной алгебры AO(3, 3) 435
? ? ? ?
00 0 0 0 1 0 0
?0 0 0? ?1 0?
1 0 0
=? ?, =? ?,
? ?
K23 L12
?0 ?1 0? ?0 0?
0 0 0
00 0 0 0 0 0 0
? ? ? ?
0 0 1 0 0 0 0 0
?0 0? ?0 0?
0 0 0 1
=? ?, =? ?,
? ?
L13 L23
?1 0? ?0 0?
0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
? ? ? ?
10 0 0 1 0 0 0
?0 ?1 0? ?0 0?
0 0 0
D1 = ? ?, D2 = ? ?,
? ?
?0 0 0? ?0 0?
?1
0 0
00 0 0 0 0 0 0
? ? ? ?
1 0 0 0 0 0 0 1
?0 0? ?0 0?
1 0 0 0
S=? ?, T1 = ? ?,
? ?
?0 0? ?0 0?
0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
? ? ? ?
0 0 0 0 0 0 0 0
?0 1? ?0 0?
0 0 0 0
T2 = ? ?, T3 = ? ?.
? ?
?0 0? ?0 1?
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0

Пусть L ? AO(3, 3) — подалгебра изотропного ранга 3. В силу теоремы Витта
можно считать, что L оставляет инвариантными подпространство V(3) = Q1 +
Q4 , Q2 + Q5 , Q3 + Q6 . Все такие подалгебры содержатся в максималъной подал-
гебре A(3) класса 3, которая является нормализатором в AO(3, 3) вполне изотро-
пного подпространства V(3) . Согласно работе [3] каждый элемент J алгебры A(3)
однозначно представляется в виде
?J1 ?J2
J1 0
(3.1)
J= + ,
?J1 ?J2 ? J2
T
J1 J2

где J1 ? AO(3), J2 ? AGL(3, R). Символически это будем записыватъ так: J =
(J1 ; J2 ). В соответствии с разложением (3.1) мы можем утверждать, что алгебра
A(3) , рассматривается как векторное пространство, разлагается в декартово прои-
зведение AO(3) ? AGL(3, R). Отсюда следует, что базис алгебры A(3) образуют
матрицы
K12 = J12 ? J45 , K13 = J13 ? J46 , K23 = J23 ? J56 , D1 = J14 ? J25 ,
D2 = J14 ? J36 , S = ? 1 (J14 + J25 + J36 ), T3 = 1 (J12 + J15 ? J24 + J45 ),
2 2
T2 = 1 (?J13 ? J16 + J34 ? J46 ), T1 = 1 (J23 + J26 ? J35 + J56 ).
2 2
?1 ; 0), где J1 пробегает AO(3), образует коммутативный идеал
?
Алгебра матриц (J
V1 алгебры A(3) , факторалгебра A(3) /V1 по которому изоморфна алгебре
AGL(3, R). Следовательно, A(3) изоморфна алгебре AIGL(3, R) и этот изомор-
физм ? определяется как линейное отображение ?:
? ? ? ? ?
K12 > K12 , K13 > K13 , K23 > K23 , L12 > L12 , L13 > L13 ,
436 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

? ? ? ? ? ? ?
L23 > L23 , D1 > D1 , D2 > D2 , S > S, T1 > T1 , T2 > T2 , T3 > T3 .
В дальнейшем будем рассматривать следующий базис алгебры AIGL(3, R):
? ?? ? ? ? ? ?
A1 = ?D1 , A2 = 1 (K12 ? L12 ), A3 = 1 (K12 + L12 ),
2 2
? ? ? ??? ? ?
D = ? 1 D1 + 2 D2 + 2 S, S, P1 = 1 (K13 + L13 ),
3 3 3 2
? ? ? ? ? ? ? ???
P2 = 1 (K23 + L23 ), K13 , A1 = 1 (K23 ? L23 ), T1 , T2 , T3 .
2
2 2
Подействовав на этот базис изоморфизмом ?, получаем базис алгебры A(3) :

? ? ?
A1 = ?(A1 ), A2 = ?(A2 ), A3 = ?(A3 ),

<< Предыдущая

стр. 100
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>