<< Предыдущая

стр. 101
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ? ?
D = ?(D), S = ?(S), P1 = ?(P1 ),
(3.2)
? ? ?
P2 = ?(P2 ), K13 = ?(K13 ), A1 = ?(A1 ),
2 2
?
Ti = ?(Ti ) (i = 1, 2, 3).

?
Пусть G1 — группа IGL(3, R)-автоморфизмов алгебры AIGL(3, R). Тогда груп-
па G1 = ?G1 ??1 является группой автоморфизмов алгебры A(3) . В силу ре-
?
зультатов работы [3] группа O(3, 3)-автоморфизмов, оставляющая инвариантным
вполне изотропное подпространство V(3) , индуцирует на A(3) группу IGL(3, R)-
автоморфизмов, совпадающую с G1 . Таким образом, задача классификации по-
далгебр алгебры A(3) с точностью до сопряженности относительно группы G1
эквивалентна задаче классификации подалгебр алгебры AIGL(3, R) с точностью
до IGL(3, R)-сопряженности. Поэтому мы можем выделить следующие два этапа
при класскфикации подалгебр алгебры A(3) . На первом этапе находятся все подал-
гебры алгебры AIGL(3, R) с точностью до IGL(3, R)-сопряженности. Полученое
?
множество подалгебр обозначим через A. Изоморфизм ? : AIGL(3, R) > A(3) , рас-
смотренный выше, позволяет получить все подалгебры алгебры A(3) с точностью
до сопряженности относительно группы G1 . Это множество A подалгебр опреде-
???
ляется следующим образом: A = {?(L) | L ? A}. Две подалгебры L1 , L2 ? A могут
быть сопряжены с помощью некоторого O(3, 3)-автоморфизма, не входящего в G1 .
Следовательно, на втором этапе выделяется задача классификации подалгебр из
множества A с точностью до O(3, 3)-сопряженности. Для решения указанной за-
дачи рассмотрим следующие вполне изотропные подпространства V :
Q1 + Q4 , Q2 + Q5 , Q3 ? Q6
, ,
S1 = Q1 + Q4 , Q2 + Q5 , Q3 + Q6 S2 =
Q1 + Q4 , Q2 ? Q5 , Q3 ? Q6 Q1 ? Q4 , Q2 ? Q5 , Q3 ? Q6
, ,
S3 = S4 =
Q1 ? Q4 , Q2 + Q5 , Q3 ? Q6 Q1 ? Q4 , Q2 + Q5 , Q3 + Q6
, ,
S5 = S6 =
Q1 + Q4 , Q2 ? Q5 , Q3 + Q6 Q1 ? Q4 , Q2 ? Q5 , Q3 + Q6
, .
S7 = S8 =
Обозначим через Ci следующие матрицы: C1 = diag [1, 1, 1, 1, 1, ?1], C2 =
diag [1, 1, 1, 1, ?1, 1], C3 = diag [1, 1, 1, ?1, 1, 1], Пусть ?i — O(3, 3)-автоморфизм
алгебры AO(3, 3), определяемый матрицей Ci (i = 1, 2, 3). Группу {?1 , ?2 , ?3 }, по-
рожденную автоморфизмами ?i , обозначим через G2 . Порядок группы G2 равен
8.
Теорема 3.1. Если подалгебры L1 , L2 ? A(3) сопряжены относительно группы
O(3, 3)-автоморфизмов, то они сопряжены и относительно группы {G1 , G2 }.
Доказательство. Отметим, что с точностью до IGL(3, R)-сопряженности суще-
ствуют только следующие вполне изотропные подпространства ранга 3: S1 , S2 ,
S3 , S4 . Пусть f — O(3, 3)-автоморфизм, отображающий алгебру L1 ? A(3) на ал-
гебру L2 ? A(3) . Если S1 — единственное вполне изотропное подпространство
Подалгебры псевдоортогональной алгебры AO(3, 3) 437

ранга 3, инвариантное относительно L1 , то этим же свойством обладает и подал-
гебра L2 , а потому f (S1 ) = S1 . Следовательно, f ? G1 . Предположим далее, что
существует L1 -ивариантное вполне изотропное подпространство W1 ранга 3, отли-
чное от S1 . Не нарушая общности можно считать, что f (W1 ) = S1 , f (S1 ) = W2 ,
где W2 — L2 -ивариантное вполне изотропное подпространство. Пусть ?1 и ?2 —
IGL(3, R)-автоморфизм алгебры A(3) , отображающие W1 и W2 соответственно на
Si и Sj (i, j ? {2, 3, 4}). Обозначим через L1 и L2 подалгебры A(3) , удовлетворя-
?1
ющие условиям ?1 (L1 ) = L1 , ?2 (L2 ) = L2 . Автоморфизм f = ?2 f ?1 , отображает
L1 на L2 , а пару подпространств (S1 ; Si ) на пару подпространств (Sj ; S1 ). Так как
f (S1 ? Si ) = S1 ? Sj , то отсюда вытекает, что Si = Sj . Следовательно, f = ??,
?1 ?1
где ? ? G2 , ? ? G1 . Но тогда ?2 f ?1 = ??, откуда f = ?2 ???1 , а значит,
f ? {G1 , G2 }. Теорема доказана.
В работе [3] все подалгебры алгебры AIGL(3, R) были разбиты на четыре
? ? ? ?
класса M0 , M1 , M2 , M3 . В соответствии с этим все подалгебры алгебры AO(3, 3)
?
??
разбиваются на четыре класса N0 , N1 , N2 , N3 , где Ni = {?(L) | L ? Mi , } (i =
0, 1, 2, 3).
Рассмотрим, например, задачу классификации подалгебр класса N3 , с точно-
стью до O(3, 3)-сопряженности. Класс M3 , определяется как множество всех ал-
? ?
гебр L ? AIGL(3, R), являющихся расширениями подалгебр F класса M3 , ал-
?
гебры AGL(3, R). По определению подалгебра F класса оставляет инвариантным
ряд
? ?? ???
K0 : 0 ? T ? T 1 , T 2 ? T 1 , T 2 , T 3 .
?
В классе M3 , существует максимальная подалгебра M3 , содержащая любую
? ? ??? ?
подалгебру из M3 . Она обладает базисом A1 , A3 , D, S, P1 , P2 . Следовательно,
? ? ? ? ?
элементы A1 = ?(A1 ), A3 = ?(A3 ), D = ?(D), S = ?(S), P1 = ?(P1 ), P2 = ?(P2 ),
?
образуют базис алгебры M3 = ?(M3 ). В силу теоремы 3.1 классификацию подал-
гебр класса N3 достаточно провести с точностью до сопряженности относительно
группы {G1 , G2 }, где G1 = ?G1 ??1 , G2 = {?1 , ?2 , ?3 }. Группа G1 в силу работы
?
[4] порождается группами G и S3 , где G = ?G??1 , S3 = ?S3 ??1 , G — группа ав-
? ?
?
томорфизмов ряда K0 , а S3 — симметрическая группа степени 3. Каждый элемент
?? ? ???
? ? S3 мы рассматриваем как эндоморфизм пространства V = T1 , T2 , T3 , действу-
?? ?? ??
ющий по формуле ?(T1 ) = Ti1 , ?(T2 ) = Ti2 , ?(T3 ) = Ti3 , где i1 , i2 , i3 некоторая
?
перестановка символов 1, 2, 3. Группа S3 порождается подстановками
? ? ? ? ? ?
T1 T2 T3 T1 T2 T3
? ?
?1 = , ?2 = .
? ? ? ? ? ?
T3 T1 T2 T1 T3 T2

Тогда {G1 , G2 } = {G2 , S3 , G}, где S3 = {?1 , ?2 }, ?1 = ??1 ??1 , ?2 = ??2 ??1 .
? ?
Введем в рассмотрение следующие автоморфизмы: ?1 = ?1 ?1 , ?2 = ?1 ?2 ?2 ,
? ?
?3 = ?3 , ?4 = ?C1 ?2 ?1 ?1 ?2 , ?5 = ?C2 ?1 ?1 ?3 , ?6 = ?C1 ?1 ?2 ?2 ?3 , ?7 = ?2 ?1 ?1 ?2 ?3 ,
? ? ? ? ?
?1 ?1
где ?C1 = ??C1 ? , ?C2 = ??C2 ? , C1 = diag [?1, 1, ?1], C2 = diag [1, ?1, ?1],
? ?
Действия этих автоморфизмов на генераторы A1 , A3 , D, S, P1 , P2 , T1 , T3 выписа-
ны в таблице 3 и 4.
438 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

Таблица 3

A1 A3 D
? 1 (A1 ? 3D ? 2S) ? 1 (A1 ? D + 2S)
?
?1 P2
2 2
? ?D + 2S ?
?2 D
? D ? 2S
?3 T3 D
? 1 (A1 ? D ? 2S) ? 1 (A1 ? D + 2S)
? ?
?4 2 2
? 1 (A1 ? D ? 2S) ? 1 (A1 ? D + 2S)
?
?5 T1
2 2
?
?6 A1 A3 D
? 1 (A1 + 3D ? 2S) ? 1 (A1 ? D + 2S)
? ?P2
?7 2 2
? 1 (A1 ? 3D + 2S) ? 1 (A1 + D ? 2S)
?2 P1
2 2
?A1 ?
?1 ?2 D

Таблица 4

S P1 P2 T1 T2 T3
? 1 (A1 ? D)
? ? ? ?P1
?1 A3 T1
2
? 1 (A1 ? D)
? ?A3
?2 P2 T2 P1 T1
2
? 1 (A1 ? D)
? ?T2 ?P1
?3 P2 T1 A3
2
? ?S + D ? ?
?4 A3 P1 P2
? ?S + D ? ?
?5 A3 P1 P2
? ?S + D ? ? ?
?6 T1 T2
? ?S ?P1 ?A3 ? ? ?
?7
?
?2 S A3 T1 T3 T2
?1 ?2 S P2 P1 T2 T1 T3

В табл. 3 и 4 символом ? мы обозначаем элементы алгебры AO(3, 3), не содер-
жащиеся в M3 , и потому не представляющие для нас интереса.
? ?
Пусть L ? AGL(3, R) — произвольная подалгебра, L0 — ее вполне приводимая
? ?
часть. Тогда ?(L) ? M3 и ?(L0 ) будем называть вполне приводимой частью алге-
?
бры ?(L). Нетрудно убедиться, что группа G действует тождественно на вполне
?
приводимой части ?(L0 ), а каждый элемент группы {?1 , . . . , ?7 , ?1 , ?2 } отобража-
? ?
ет вполне приводимую часть ?(L0 ) алгебры ?(L) на вполне приводимую часть
? ?
?(L0 ) алгебры L . Поэтому разобъем подалгебры из N3 на классы в зависимости
от структуры вполне приводимой части.
1. Класс N1 состоит из подалгебр, вполне приводимая часть которых принадле-
3
жит к одному из следующих типов:
1) ?1 (?) = A1 + ?S, D (? = 0; 2);
2) ?2 (?) = A1 + ?S, D ? (? + 2)S (? = 0; ?1; ?2);
3) ?3 (?) = A1 + ?S, D + (? ? 2)S (? = 0; 1; 2).
Каждый из автоморфизмов ?i (i = 1, . . . , 7), ?1 , ?2 осуществляет подстанов-
?
ку на множестве подалгебр {?(?), ?2 (?), ?3 (?)}. Действие каждого из указанных
автоморфизмов приведены в табл. 5.
Подалгебры псевдоортогональной алгебры AO(3, 3) 439

Таблица 5

?1 (?) ?2 (?) ?3 (?)
2??
2?? 2
? ?1 ? ?+1
?1 ?2 ?3
2 ??1
4
? ?1 ? ? ?2 (??) ?3 ? ??1
?
?2
4
? ?2 ? ?+1 ?3 (?)
?
?3 ?1 ?
2+?
? ?2 ? ?+2 ?1 (2? ? 2)
?4 ?3 ? ?+1
2??
? ?1 (?2? ? 2)
??2
?5 ?3 ?2
? ??1

? ?1 (??) ? ?
?6 ?3 ?2 1??
?+1
? ?2 (?? ? 2) ?1 (2? ? 2)
?+2
?7 ?3 2
?1 (??) ?3 (??) ?2 (??)
?1 ?2
?1 (2? + 2) ?3 (2 ? ?)
??2
?2 ?2 2


II. Класс N2 состоит из подалгебр, вполне приводимая часть которых прина-
3
длежит к одному из следующих типов:
1) F1 (t) = A1 + tD, S (t = ±1);
2) F2 (?) = A1 + ?S, D ? S (? = 0; ?1);
3) F3 (?) = A1 + ?S, D + ?S (? = 0; ?1);
4) F4 (?) = A1 + ?S, D ? ?S (? = 0; 1).
Каждый из автоморфизмов ?i (i = 1, . . . , 7) осуществляет подстановку на мно-
?
жестве всех подалгебр {F1 (t), F2 (?), F3 (?), F4 (?)}. Действие каждого из указан-
ных автоморфизмов приведены в табл. 6.
Таблица 6

F1 (t) F2 (?) F3 (?) F4 (?)
1??
3?? 1
? t?1
?1 F3 F1 F2 F4
2 1+? 1??
?+1

F2 ? 2+? 2??

<< Предыдущая

стр. 101
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>