<< Предыдущая

стр. 102
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2 2
?
?2 F3 F4 F1
1??
t?1 ? ?
2+? 2??
2 2
? F3 ? t+1
?3 F4 F1 F2
1+? ?? ?
1??
? F1 (?1 ? 2?)
t?3 ??1
?4 F2 F4 F3
t+1 ?+1 ?

? F3 ? ?+1 F1 (2? ? 1)
t+3 ?+1
?5 F2 F4
t?1 ??1 ?

? F2 (t) F1 (?) F3 ? ?+1
? ?
?6 F4 ??1
3?t
? F2 (2? + 1) F4 (1 ? ?)
??1
?7 F1 F3 2
t+1
F1 (?t) F2 (??) F4 (??) F3 (??)
?1 ?2
F1 ? t?1 F3 (?? ? 1) F2 (2? ? 1)
t+3 ?+1
?2 F4 2


III. Класс N3 состоит из подалгебр, вполне приводимая часть которых прина-
3
длежит к одному из следующих типов:
1) L1 (x) = A1 + xD ? (x + 1)S (x = ±1);
2) L2 (y) = A1 + yD + (1 ? y)S (y = ±1);
3) L3 (t) = A1 + tD (t = ±1);
440 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

4) L4 (?) = A1 + D + ?S (? = 0; ?2);
5) L5 (?) = A1 ? D + ?S (? = 0; 2);
6) L6 (?) = D + ?S (? = 0; 1);
Действия каждого из автоморфизмов ?i (i = 1, . . . , 7), ?1 , ?2 приведены в
?
табл. 7.
Таблица 7

L1 (x) L2 (y) L3 (t) L4 (?) L5 (?) L6 (?)
4??
3?t 2?? 2
? L4 (y ? 1)
x?1
?1 L6 L2 L3 L1 L5
2 1+t 2+? ? ?+1
4?? 2+?
4 2 4
? L5 ? ?
x?3
?2 L2 L4 L6 L1 L3 ??
x+1 y?1 t?1 ?
2+?
4 2 4
? L4 ? x+1 L6 ? t+1 L1 ? ?+4
y+3
?3 L2 L5 L3 ??
y?1 ? ?
2??
4 2t?2
? L4 ? x+1 L1 (?? ? 1) L2 (?1 ? 2?)
y?3
?4 L3 L5 L6
y+1 t+1 ?
4 2+2t
L6 ? 2+?
? L1 (? ? 1) L2 (?1 ? 2?)
x+3
?5 L3 L4 L5
x?1 y?1 t?1 ?

? L5 (x + 1) L4 (y ? 1) L3 (t) L2 (? + 1) L1 (? ? 1) L6 ? ?+1
?
?6
3?y
3?x 3?t
? L4 (?) L5 (2 + 2?)
??2
?7 L1 L3 L2 L6
1+x 1+y 1+t 2
L2 (?x) L1 (?y) L3 (?t) L5 (??) L4 (??) L6 (?)
?1 ?2
L6 ? ?+2 L5 (?) L4 (?2? ? 2)
y+3
x+3 t+3
?2 L3 L2 L1
x?1 y?1 t?1 ?


IV Класс N4 состоит из подалгебр, вполне приводимая часть которых прина-
3
длежит к одному из следующих типов:
1) ?1 = D ; 2) ?2 = D ? S ; 3) ?3 = S ; 4) ?4 = A1 + D ;
5) ?5 = A1 + D ? 2S ; 6) ?6 = A1 ? D ; 7) ?7 = A1 ? D + 2S .
Действия автоморфизмов ?i (i = 1, . . . , 7) на множестве подалгебр {?1 , . . . , ?7 }
?
приведены в табл. 8.
Таблица 8

?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7
?
?1 ?7 ?3 ?6 ?4 ?1 ?2 ?5
?
?2 ?1 ?4 ?6 ?3 ?7 ?2 ?5
?
?3 ?1 ?4 ?6 ?2 ?5 ?3 ?7
?
?4 ?7 ?4 ?2 ?6 ?5 ?3 ?1
?
?5 ?7 ?4 ?2 ?3 ?1 ?6 ?5
?
?6 ?1 ?3 ?2 ?4 ?7 ?6 ?5
?
?7 ?7 ?6 ?3 ?4 ?5 ?2 ?1

V. Класс N5 состоит из подалгебр, вполне приводимая часть которых нулевая
3
или совпадает с A1 , D, S .
VI. Класс N6 состоит из подалгебр, вполне приводимая часть которых совпа-
3
дает с A1 + ?D + ?S (? = ±1, ? + ? = ±1).
VII. Класс N7 состоит из подалгебр, вполне приводимая часть которых прина-
3
длежит к одному из следующих типов:
1) D, S ; 2) A1 , D ; 3) A1 ± S, D ? S ;
4) A1 ± D, S ; 5) A1 ± 2S, D ; 6) A1 , D ? 2S .
Подалгебры псевдоортогональной алгебры AO(3, 3) 441

VIII. Класс N8 состоит из подалгебр, вполне приводимая часть которых совпа-
3
дает с A1 + ?S, D + ?S (? = ±?, ±(? + 2); ? = 0, ?1).
Допустим, что мы проводим классификацию подалгебр класса N1 с точностью
3
до O(3, 3)-сопряженности. С этой целью из класса подалгебр N3 выбираем мно-
жество L тех подалгебр, вполне приводимая часть которых принадлежит к одно-
му из типов ?1 (?), ?2 (?), ?3 (?). Пусть L1 и L2 — подалгебры из множества L,
которые O(3, 3)-сопряжены между собой, т.е f (L1 ) = L2 для некоторого автомор-
физма f ? {G, H}, где H = {?1 , . . . , ?7 , ?1 , ?2 }. Подпространство f ?1 (S1 ) вполне
изотропно и инвариантно относительно подалгебры L. Нетрудно убедиться, что
существует IGL(3, R)-автоморфизм ?, отображающий f ?1 (S1 ) на некоторое под-
пространство Si (i ? {1, . . . , 7}), причем ?(L1 ) = L1 Автоморфизм f ? отображает
L1 на L2 , а Si на S1 . Таким образом, можно предполагать, что f (L1 ) = L2 и
f (Si ) = S1 . Но тогда f = f1 ?i для некоторого IGL(3, R)-автоморфизма f1 . Так
как автоморфизм f1 отображает A(3) на A(3) , то автоморфизм ?i отображает L1
на подалгебру ?i (L1 ), содержащуюся в A(3) . Поэтому автоморфизм f1 отображает
?i (L1 ) ? A(3) на подалгебру L2 ? A(3) . Но тогда в силу работы [4] автоморфизм
f1 можно представить в виде f1 = f2 ?, где ? ? S3 , а f2 — IGL(3, R)-автоморфизм,
оставляющий инвариантным композиционный ряд

0 ? T 1 ? T 1 , T2 ? T 1 , T2 , T3 . (3.3)

Отсюда вытекает следующий алгоритм исследования подалгебр множества L на
сопряженность относительно группы {G, H}.
1) Берем произвольную подалгебру L ? L и находим те автоморфизмы ? мно-
жества {?1 , . . . , ?7 }, для каждого из которых ?(L) ? A(3) .
? ?
2) Для каждого из найденных автоморфизмов ? находим такой автоморфизм ?
группы S3 , что ??(L) ? M3 .
3) Находим такой IGL(3, R)-автоморфизм f2 , оставляющий инвариантным ряд
(3.3), что L = f2 ??(L) ? L. Если L = L, то подалгебру L вычеркиваем из
множества L.
4) В множестве L1 , которое мы получили из множества L после вычеркива-
ния в нем всех подалгебр, которые O(3, 3)-сопряжены подалгебре L, выбираем
произвольную подалгебру, не совпадающую с L, и повторяем для нее вычисле-
ния, предусмотренные предыдущими пунктами. Через конечное число шагов в
множестве L останутся лишь те подалгебры, которые не сопряжены между собой
относительно группы {G, H}.
Полная классификация подалгебр изотропного ранга 3 алгебры AO(3, 3) с то-
чностью до O(3, 3)-сопряженности изложена ниже. Если речь идет о подалгебрах
? ?
U1 + F, . . . , Us + F , то будем употреблять обозначение F : U1 , . . . , Us . Подпро-
странство Ti1 , . . . , Tik будем обозначать (i1 , . . . , ik ). Положим
?
A1 = 1 A1 ? 3 D + S, A2 = ?(A2 ), A3 = P2 , P1 = P1 , P2 = ?A3 ,
2 2
D = ? 2 A1 + 1 D ? S.
1
2
1) Подалгебры класса N1 алгебры AO(3, 3):
3
A1 + ?S, D (0 < ? < 2);
A1 + ?S, D, P1 , P2 , T1 , T2 (0 < ? < 2);
A1 + ?S, D ? (? + 2)S, P1 , P2 , T1 , T2 (?2 < ? < 0; ? = ?1);
A1 + ?S, D, A3 , P1 , T1 (? > 0, ? = 2);
442 А.Ф. Баранник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич

A1 + ?S, D, A3 , P1 , T1 , T2 , T3 (0 < |?| < 2);
A1 + ?S, D + (? ? 2)S, A3 , P1 , T1 , T2 , T3 (? > 1, ? = 2);
A1 + ?S, D, A3 (? > 0, ? = 2);
A1 + ?S, D, A3 (0 < ? < 2): (3), (1,3);
A1 + ?S, D, A3 (? = 0, ±2): (1), (1,2), (1,2,3);
A1 + ?S, D ? (? + 2)S, A3 (?2 < ? < 0, ? = ?1): 0, (3);
A1 + ?S, D ? (? + 2)S, A3 , T1 (? > ?1, ? = 0);
A1 + ?S, D ? (? + 2)S, A3 (? = 0, 1, ?2): (1,3), (1,2,3);
A1 + ?S, D + (? ? 2)S, A3 , T3 (0 < ? < 2, ? = 1);
A1 + ?S, D + (? ? 2)S, A3 , T1 , T2 (? > 1, ? = 2);
A1 + ?S, D + (? ? 2)S, A3 (? = 0, 1, 2): (1,3), (1,2,3);
A1 + ?S, D, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 (? > 0, ? = 2);
A1 + ?S, D, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 , T3 (0 < |?| < 2);
A1 + ?S, D ? (? + 2)S, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 (? = 0, ?1, ?2);
A1 + ?S, D ? (? + 2)S, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 , T3 (?2 < ? < 0, ? = ?1);
A1 + ?S, D + (? ? 2)S, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 , T3 (? = 0, 1, 2);
2) Подалгебры класса N2 алгебры AO(3, 3):
3
A1 + ?D, S (0 ? ? < 1): 0, (1,2,3);
A1 + ?D, S, P1 , P2 , T1 , T2 (? ? 0, ? = 1);
A1 + ?D, S, A3 , P1 (?1 < ? ? 3, ? = 1): (1), (1,2,3);
A1 + ?D, S, A3 (? ? 0, ? = 1);
A1 + ?D, S, A3 (? = ±1): (1), (3), (1,2), (1,3), (1,2,3);
A1 + ?D, S, A3 , P1 , P2 (? = ±1): 0, (1), (1,2), (1,2,3);
A1 ? 3D, S, A3 + P2 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
A1 ? 3D, S, A3 + P2 , P1 : 0, (1), (1,2), (1,2,3);
A1 + ?S, D ? ?S, A3 , P1 , T1 , T2 , T3 (? = 0, ? < 1);
A1 + ?S, D ? S, A3 , T1 , (?1 < ? ? 3, ? = 1);
A1 + ?S, D ? S, A3 , T1 , T3 (? = ±1);
A1 + ?S, D + ?S, A3 , T1 , (0 < |?| ? 1, ? = ?1);
A1 + ?S, D + ?S, A3 , T1 , T2 , T3 (? = 0, ?1);
A1 + ?S, D ? ?S, A3 , T1 , T2 (0 < |?| < 1);
A1 + ?S, D ? ?S, A3 , T1 , T2 , T3 (? = 0, 1);
A1 + ?S, D ? S, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 , T3 (? = ±1);
A1 + ?S, D + ?S, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 (?2 ? ? < 0, ? = ?1);
A1 + ?S, D ? ?S, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 (0 < |?| ? 2, ? = 1);
A1 ? S, D + S, A3 , P1 + T3 , T1 , T2 .
3) Подалгебры класса N3 алгебры AO(3, 3):
3
D + ?S (?2 ? ? < 0, ? = ?1): 0, (3);
D + ?S (? = 0, ?1): (1), (1,2), (1,3), (1,2,3);
D + ?S, P1 (?2 ? ? < 0, ? = ?1): (1), (2);
D + ?S (? = 0, ?1): (1,2), (1,3), (1,2,3);
D + ?S, A3 (?2 ? ? < 0, ? = ?1): (0), (3);
D + ?S, A3 (? = 0, ?1): (1), (1,2), (1,3), (1,2,3);
D + ?S, P1 , P2 , T1 , T2 (?2 ? ? < 0, ? = ?1);
D + ?S, P1 , P2 , T1 , T2 , T3 (? = 0, ?1);
D + ?S, A3 , P1 , T1 (?2 ? ? < 0, ? = ?1);
Подалгебры псевдоортогональной алгебры AO(3, 3) 443

D + ?S, A3 , P1 (? = 0, ?1): (1,2), (1,3), (1,2,3);
D + ?S, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 (?2 ? ? < 0, ? = ?1);
D + ?S, A3 , P1 , P2 , T1 , T2 , T3 (? = 0, ?1);
D + ?S + A3 (?2 ? ? < 0, ? = ?1): 0, (3);
D + ?S + A3 (? = 0, ?1): (1), (1,2), (1,3), (1,2,3);
D + ?S + A3 , P1 , T1 (?2 ? ? < 0, ? = ?1);
D + ?S + A3 , P1 (? = 0, ?1): (1,2), (1,3), (1,2,3);
D + ?S + A3 , P1 , P2 , T1 , T2 (?2 ? ? < 0, ? = ?1);
D + ?S + A3 , P1 , P2 , T1 , T2 , T3 (? = 0, ?1);
D + S, P1 + T3 : 0, (1), (2), (1,2);
D + S, P1 , P2 + T3 : (1), (1,2);
D + S, A3 , P1 + T3 : 0, (1), (1,2);
D + S, A3 , P1 , P2 + T3 : (1), (1,2);
D + S + A3 , P1 + T3 : 0, (1), (1,2);
D + S + A3 , P1 , P2 + T3 : (1), (1,2);
A1 + D + ?S, P2 (|?| ? 2, ? = 0, ?2): (1), (1,2), (2,3);
A1 + D + ?S, P2 , T1 , T2 , T3 (? = 0, ?2);
A1 + D + ?S, P1 , P2 (|?| ? 2, ? = 0, ?2): (1), (1,2);
A1 + D + ?S, P1 , P2 , T1 , T2 , T3 (? = 0, ?2);
A1 + D + ?S, A3 , P1 , P2 (? = 0, ?2): 0, (1), (1,2), (1,2,3);
A1 + D + ?S, P1 , P2 (|?| ? 2, ? = 0, ?2): (1), (1,2);

<< Предыдущая

стр. 102
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>