<< Предыдущая

стр. 108
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

i=1
Отсюда вытекает
B1 ? B3 + P2 , C1 ? C3 + ?P2 + ?P4 , P1 ? P3 ? P2 , P4 , P1 ? P3 ,
B1 ? B3 + P1 , C1 ? C3 ? P1 + ?P4 , P1 ? P3 , P2 ? P1 , P2 , P3 , P4 , ? > 0.
Остальные случаи рассматриваются аналогично или по схеме, приведенной в
доказательстве теоремы 1. Теорема доказана.
2. Инвариантны подалгебр алгебры AP (2, 2) и подалгебр коразмерности
1 алгебры AP (2, 3). Пусть y1 = x1 + x3 , y1 = x1 ? x3 , y2 = x2 + x1 , y2 =
? ?
x2 ?x4 . Запись L : f1 (x), . . . , fs (x) означает, что функции f1 (x), . . . , fs (x) образуют
полную систему инвариантов алгебры L. В силу результатов п.1 и [3] ограничимся
подалгебрами, описанными в теоремах 1 [1], 1, 2.
а) Инварианты подалгебр коразмерности 1 алгебры AP (2, 2).
? ?1 ? ??1 ?1?e ?1+e
?2 ?2
F5 : y1 y2 ; F6 : y1 y2 ; F8 : y1 + y2 ; F11 : 2 ln y2 + y1 y2 ; F17 : y1 y2 ;
?? ?
??1
?1?e 1+e e
F18 : y1 y2 ; F21 : arctg (y2 y1 ) + 2 ln(?1 + y2 ); F33 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 ;
y2 2
? ?
K3 : y1 + 2y2 ; K5 : 2 y1 + ?x2 ? x4 ; K10 : 2 y1 ? ?x2 + x4 ; K14 : ln y1 ? y2 ;
?2 12
2
? ?
2 ?1
K22 : 1 (y2 y2 + y2 y1 + 1 y2 y1 )1/2 ; K23 : (y1 y1 + 1 y1 y2 )1/2 ;
2
?2
? 4? ?
2 2
470 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

?2 ?1
K24 : (y1 y1 + y2 y2 + y2 y1 )1/2 .
? ?
b) Инварианты подалгебр коразмерности 2 алгебры AP (2, 2).
y ?1 ?1
F1 : y1 , y2 ; F4 : (?2 y2 )1/2 , 1 ln(?1 y2 ); F10 : 1 y1 y2 , ln y1 + 1 y2 y1 ;
?? y ?
2 2 2
y 1?e ?1+e e?1 e+1
F15 : (y2 y2 )1/2 , 1 ln(?1 y2 ); F16 : (y1 y1 )1/2 , 1 ln(y1 y2 );
? ? ?
2 2
?1
1/2 1/2
F19 : (y1 y1 ) , y2 ; F23 : (y1 y1 + y2 y2 ) , y2 y1 ;
? ? ? ? ?
F24 : (y1 y1 + y2 y2 ) , 4 ln(y1 y2 ); F25 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , 1 ln(y1 + y2 );
1/2 1 2
?2
? ? ? ? ? 4
F26 : (y1 y1 )1/2 , (y2 y2 )1/2 ; F27 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , y1 y2 ? y1 y2 ;
? ? ? ? ??
d?1 d+1
1/2 1
2 2 1/2 2 2 1/2
F28 : (x1 + x2 ) , (x3 + x4 ) ; F29 : (y1 y1 + y2 y2 ) , 4 ln(y1 y2 );
? ? ?
?1
F30 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , 1 arctg y1 y2 + d ln(y1 + y2 );2
?2
? ? ?
2 4
?1
F31 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , 1 ln y1 ? 1 y2 y1 ; F32 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , 1 ln y1 ;
? ? ? ?
2 4 2
121 1
1/2
K2 : y2 + 2 y1 , 4 y2 ; K4 : y , x4 + 2 y1 y2 ; K7 : y1 , x2 + y1 x4 ;
? ?
K9 : y1 , x4 + y1 x2 ; K12 : 1 y2 , ln y1 ? 1 y2 ; K13 : (y1 y1 )1/2 , 1 ln y1 + 1 y2 ;
2? ? ? 2?
2 2
2 ?1 1/2 1 2 ?1
F15 : (y1 y1 + y2 y2 + y2 y1 ) , 2 ln y1 ; F16 : (y1 y1 + y2 y2 ? 2x2 y1 ? 2?1 )1/2 , y1 ;
? ? ? ? y
K17 : 1 {(y2 ? y2 (1 ? y1 ))2 + (2?1 ? y2 )(1 + (1 ? y1 )2 )}1/2 , y1 ;
?2
? y
2
K18 : (y1 y1 + x2 )1/2 , d ln y1 + x4 ; K19 : (y1 y1 ? x2 )1/2 , d ln y1 + x2 ;
? ?
2 4
1/2 1
K20 : (y1 y1 + y2 y2 + 2?2 ln y1 ) , 2 ln y2 ;
? ? y ?
?1/2
2 ?1
K21 : (y1 y1 + y2 y2 + y2 y1 )1/2 , (y1 y2 + 2y2 )y1 .
? ? ?
в) Инварианты подалгебр коразмерности 3 алгебры AP (2, 2).
??1
F2 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , 1 ln y1 , 1 ln y2 ; F3 : (y1 y1 )1/2 , (y2 y2 )1/2 , 1 ln(y1 y2 );
? ? ? ? ?
2 2 2
F7 : (x2 + x2 )1/2 , (x2 + x2 )1/2 , arcsin(x2 (x2 + x2 )?1/2 ) ? arcsin(x4 (x2 + x2 )?1/2 );
1 2 3 4 1 2 3 4
?1
F9 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , y1 y2 , 1 ln y1 + 1 y2 y1 ;
? ? ?2 4
?2 ? ??1
F12 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , y1 + y2 , y1 y2 ? y1 (y1 y1 + y2 y2 )(y1 y2 + y2 )?1 ?
2 2
?3
? ? ? ? ?
?2 arcsin(?2 (y1 + y2 )?1/2 ;
y 2 ?2
?2 ? ??1 ?
F13 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , y1 + y2 , y1 y2 (y1 y1 + y2 y2 )y1 (y1 y2 + y2 )?1 +
2 2
?3
? ? ?
+2 arcsin(?2 (y1 + y2 )?1/2 ;
y 2 ?2
y 1?e ?1+e
F14 : (y1 y1 )1/2 , (y2 y2 )1/2 , 1 ln(?1 y2 );
? ? 2
y ?1
F20 : (y1 y1 + y2 y2 )1/2 , y1 y2 ? y1 y2 , e ln(y1 + y2 ) ? 2 arctg (?2 y1 );
2
?2
? ??
F22 : (x2 + x2 )1/2 , (x2 + x2 )1/2 , (1 ? e) arcsin(x2 (x2 + x2 )?1/2 ) ?
1 2 3 4 1 2
2 ?1/2
?(1 + e) arcsin(x4 (x3 + x4 )
2
);
1 1 12
K1 : x3 + 2 y1 y2 , 4 y2 + 8 y1 y2 ; K6 : (y1 y1 + x2 )1/2 , y1 , x2 + y1 x4 ;
? ? ? 2
K8 : (y1 y1 ? x4 ) , y1 , x4 + y1 x2 ; K11 : (y1 y1 )1/2 , y2 , 1 y2 + 1 ln y1 .
2 1/2
? ? ?4 2
г) Инварианты подалгебр коразмерности 1 алгебры AP (2, 3). Здесь y1 = x1 +x5 ,
y1 = x1 ? x5 , y2 = x2 + x4 , y2 = x2 ? x4 .
? ?
L1 : y2 ? y1 x3 ? 1 (2d ? y1 )?2 + 1 ?(2??1 ? 1 y1 ); L2 : x3 ? 1 y1 y2 ;
?2 y 3
? y 3? 2? ?
4 4
?1
L3 : x3 ? 4 (?1 + y2 ); L4 : x3 + 4 (?2 ? y1 ; L5 : ?? ln y1 + 2 ?y2 y1 ? ?x3 + 1 y1 y2 ;
12 12 1
2 2
y ? y ? ? 2? ?
L6 : (?1 y2 x3 ? y1 y1 ? 4 y1 y2 ) ; L7 : x3 ? ? ln y1 ? 2 y1 y2 ; L8 : x3 ? 2 y1 y2 ;
1 2 2 1/2 1 1
y? ? ?? ? ?? ??
?1
L9 : x3 ? ? ln y1 ? 2 y2 y1 ; L10 : x3 ? 4 ln(2y2 ? y1 );
µ
1
?2
? ?
L11 : x3 ? 1 y1 + ? ln y2 ; L12 : 1 (2y2 y2 ? 2x2 ? y1 y2 )1/2 ;
2
?2 ?
4? ? ? 3
2 2
L13 : v2 (y1 ? x3 y2 ? ? y1 + 1 y1 y2 + 1 ?? y2 ? ? y2 ? 12 ??2 + 32 y2 );
1 1 14
2 2
y3
? 2? 4? ? ? 8? ?
2
2 ?2
??1
L14 : x3 ? 1 y1 y2 + 1 ??2 ? 12 y2 ; L15 : (y1 y1 + y2 y2 ? x2 ? y1 y2 ? 2x3 y1 y2 )1/2 ;
13
2
2? ? 4y ? ? ? ?
3
2 ?1 2 ?1
L16 : x3 + 1 y1 y2 ; L17 : x3 + ? ln y2 + 1 y1 y2 ;
2? ? 2? ?
2
?2 ??1 ?2 ??1
L18 : (y1 y1 ? x2 + y2 y2 ? 2?x3 ? ? y1 y2 ? ? 2 )1/2 ; L19 : (y1 y1 + y2 y2 ? x2 + y1 y2 )1/2 ;
? ? ? ?
3 3
y ??1 y ??1
L20 : x3 + 1 ? ln(?1 y2 ) + 1 ? ln(?2 y1 ); L21 : x3 ? ? arctg (?2 y1 ) + 1 ? ln(?1 + y2 ).
y 2 ?2
y?
2 2 2
Подалгебры алгебры Пуанкаре AP (2, 3) 471

Значения ?, ?, ?, . . .для алгебр приведены в теоремах 1, 2 и леммах 1–7 [1].
3. Симметрийная редукция нелинейного ультрагиперболического уравне-
ния Даламбера. Если алгебра L ? AP (2, 2) имеет только один инвариант, то
обозначим его через ?. Если полная система инвариантов алгебры L состоит из s,
s = 2, 3, инвариантов, то эти инварианты обозначим через ?1 , . . . , ?s , нумеруя их
в том порядке, в каком они выписаны в п. 2.
Уравнение (1) [1] в результате подстановки u = ?(?), которая соответствует
алгебрам Fj , j = 5, 6, 8, 11, 17, 18, 21, K3 , E14 , редуцируется к функционально-
му уравнению F (?, 0) = 0; для остальных подалгебр коразмерности 1 алгебры
AP (2, 2) получаем уравнение
k? + l? ?1 ? = F (?, k(? )2 ), (1)
где k = ?2 ? 1, l = 0 для K5 , K10 ; k = 1/2, l = 0 для K22 ; k = 1, l = 3 для F33 ,
K24 ; k = 1, l = 1 для K23 .
Пусть ?i = ??/??i , ?ij = ? 2 ?/??i ??j . Подстановка u = ?(?1 , ?2 ), соответ-
ствующая алгебре F1 , редуцирует уравнение (1) [1] к функциональному уравне-
нию F (?, 0) = 0. В остальных случаях получаем следующие уравнения:
?1 ?1 ?1
?11 + k?1 ?12 + l?1 ?1 = F (?, (?1 )2 + k?1 ?1 ?2 ),
где k = ?1, l = 1 для F4 ; k = 1 + e, l = 1 для F15 ; k = e ? 1, l = 1 для F16 ; k = 0,
l = 1 для F19 ; k = 0, l = 3 для F23 ; k = 1, l = 3 для F24 , F25 , F31 , F32 , K15 , K20 ;
k = d, l = 3 для F29 , F30 ; k = 1, l = 1 для K13 ;
k?12 = F (?, k?1 ?2 ),
где k = 1 для F10 , K2 ; k = ?1 для K12 ;
?1 ?1
?11 + k?22 + ?1 ?1 + k?2 ?2 = F (?, (?1 )2 + k(?2 )2 ),
где k = 1 для F26 ; k = ?1 для F28 ;
?1 ?1 ?1
?11 ? 4?1 ?22 + 4?2 ?1 ?12 + ?1 ?1 = F1 (?, (?1 )2 + 4?2 ?1 ?1 ?2 ? 4?1 (?2 )2 )
2 2


для F27 ;
k(1 ? ?1 )?22 = F (?, k(1 ? ?1 )(?2 )2 ),
2 2


где k = 1 для K7 ; k = ?1 для K4 , K9 ;
?1 ?1
?11 + k?22 + 2?1 (??12 + ?1 ) = F (?, (?1 )2 + k(?2 )2 + 2??1 ?1 ?2 ),
где k = 1 для K19 ; k = ?1 для K18 ;
?1 ?1 ?1 ?1
?11 + 2(?2 ? 2)?1 ?12 + (3 ? 2?2 )?1 ?1 = F (?, (?1 )2 + 2(?2 ? 2)?1 ?1 ?2 )
для K16 ;
?1 ?1
(?2 ? 1)?11 + 2((?2 ? 1)2 + 1)?1 ?12 + 4(?2 ? 1)?1 ?1 =
?1
= F (?, (?2 ? 1)(?1 )2 + 2((?2 ? 1)2 + 1)?1 ?1 ?2 )
для K17 ;
?1 ?1 ?1
?11 + 8?22 + 3?2 ?1 ?12 + 3?1 ?1 = F (?, (?1 )2 + 8(?2 )2 + 3?2 ?1 ?1 ?2 )
для K21 .
472 Л.Ф. Баранник, В.И. Лагно, В.И. Фущич

При подстановке u = ?(?1 , ?2 , ?3 ) уравнение (1) [1] редуцируется к уравнению
от трех переменных ?1 , ?2 , ?3 . Поскольку
?2?
?? ?u ?u ?? ??
2u = (2? ) a a b a b
+ (?xµ ?xµ ) , = (?xµ ?xµ ) ,
?xµ ?xµ
??a ??a ??b ??a ??b
a
где ?xµ = ??a /?xµ , то для записи редуцированого уравнения достаточно ука-
зать вид 2u. Ниже приведены значения для каждой подалгебры коразмерности 3
алгебры AP (2, 2).
?1
F2 : ?11 + ?1 (?12 + ?13 + 3?1 );
?1 ?1
F3 : ?11 + ?22 + ?1 (?13 + ?1 ) ? ?2 (?23 ? ?2 );
?2 ?2 ?1 ?1
F7 : ?11 ? ?22 + (?1 ? ?2 )?33 + ?1 ?1 ? ?2 ?2 ;
?1
F9 : ?11 + (4?2 ?12 + ?13 + 3?1 )?1 + ?23 ;
?2 ?1
F12 : ?11 ? 4(?1 ? 2?2 )?2 ?33 + ?1 (4?2 ?12 + 3?1 );
2

?2 ?1 ?1

<< Предыдущая

стр. 108
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>