<< Предыдущая

стр. 109
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

F13 : ?11 ? 4(2?2 + ?1 )?2 ?33 + 4?2 ?1 ?12 + 3?1 ?1 ;
2

?1 ?1
F14 : ?11 + ?22 + ?1 ((1 ? e)?13 + ?1 ) + ?2 ((1 + e)?23 + ?2 );
?1
F20 : ?11 ? 4?1 ?22 ? 8?23 + ?1 (4e?2 ?12 ? 8?23 + 3?1 );
2

?2 ?2
F22 : ?11 ? ?22 + {(1 ? e)2 ?1 ? (1 + e)2 ?2 }?33 + ?1 ? ?2 ;
K1 : ?(1 + ?3 )?11 + ?23 ;
?1
K6 : ?11 + (1 ? ?2 )?33 + 2?1 (?2 ?12 + ?3 ?13 + ?1 );
2

?1
K8 : ?11 + (?2 ? 1)?33 + 2?1 (?2 ?12 + ?3 ?13 + ?1 );
2

?1
K11 : ?11 + ?23 + ?1 (?13 + ?1 ).

Подстановка u = ?(?), соответствующая подалгебрам коразмерности 1 алге-
бры AP (2, 3), редуцирует уравнение (1) [1] к обыкновенному дифференциальному
уравнению (1), где k = ?2?, l = 0 для L1 ; k = ?(1 ? ?), l = 0 для L5 ; k = ?1,
l = ?1 для L6 ; k = 1/2, l = 2 для L12 ; k = 1, l = 4 для L15 , L18 , L19 ; k = ??,
l = 0 для L13 ; k = ?1, l = 0 для Lj , j = 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 16, 17, 20, 21.

1. Баранник Л.Ф., Лагно В.И., Фущич В.И., Подалгебры алгебры Пуанкаре AP (2, 3) и сим-
метрийная редукция нелинейного ультрагиперболического уравненния Даламбера. II, Укр. мат
журн., 1988, 40, № 4, 411–424.
2. Баранник Л.Ф., Лагно В.И., Фущич В.И., Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре AP (2, n),
Препринт № 85.89, Киев, Институт математики АН УССР, 1985, 50 с.
3. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, № 4, 791–806.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 473–477.

Принцип относительности Галилея
и нелинейные уравнения в частных
производных
В.И. ФУЩИЧ

1. Симметрия нелинейных уравнений. Рассмотрим нелинейные уравнения
параболического типа для действительной функции u и комплексной функции ?
?u
= ??u + B(t, x, u, u), (1)
A(t, x, u)
?t 1

?2?
?? ? ?
+ B(t, x, ?, ? ? , ? , ? ? ), (2)
i = Aab (t, x, ?, ? , ? , ? )
?t ?xa ?xb
11 11

u = u(t, x), ? = ?(t, x), ? — означает комплексное сопряжение,
?u ?u ?u
u= , ,..., , a, b = 1, n,
?x0 ?x1 ?xn
1
?? ?? ??
, x0 ? t,
?= , ,...,
?x0 ?x1 ?xn
1
?? ? ?? ? ?? ?
?
?= , ,..., .
?x0 ?x1 ?xn
1

В том случае, когда Aab = ??ab , ? — произвольный параметр, ?ab — символ
Кронекера и B = 0, уравнение (2) совпадает с линейныч уравнением Шредингера
??
?t ? (3)
i?t = ???, .
?t
Будем говорить, что для уравнений (1), (2) выполняется принцип относитель-
ности Галилея, если они инвариантны относительно преобразований Галилея [1–3]
t > t = t, xa > xa = xa + va t, (4)
va — параметры преобразования, т.е. компоненты скорости движения одной инер-
циальной системы отсчета относительно другой.
Хорошо известно, что максимальной локальной (в смысле С. Ли) группой инва-
риантности уравнения (3) является обобщенная группа Галилея G2 (1, n). Базисные
элементы алгебры Ли AG2 (1, n) группы G2 (1, n) имеют вид
?
P µ = ?µ ? (5a)
, µ, ? = 1, n,
?xµ

Jab = xa ?b ? xb ?a , (5b)
a, b = 1, n,
Тезисы докладов Всесоюзной конференции “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений
и математической физики”, 12–15 сентября 1989 г., Тернополь, Ч. II, С. 444–452.
474 В.И. Фущич

1
Ga = t?a ? (5c)
xa ,
2?
n
D = 2t?t + xa ?a ? (5d)
,
2
|x|2 nt
? = t2 ?t + txa ?a ? ?. (5e)
4? 2
Обозначим символом AG(1, n) = Pµ , Jab , Ga алгебру Ли группы Галилея
G(1, n), базисные элементы которой задаются формулами (5а)–(5с). Алгебры Ли с
базисными элементами (5a)–(5d), (5a)–(5e) обозначим, соответственно, символа-
ми
AG1 ? Pµ , Jab , Ga , D , (6)
AG2 ? Pµ , Jab , Ga , D, ? . (7)
Из приведенного следует, что для линейного уравнения теплопроводности (1)
(A = 1, B = 0) и уравнения (3) выполняется принцип относительности Галилея,
если при преобразовании (4) функции u и ? преобразуются следующим образом
1 1
u > u = exp ? (8)
va xa + va t u,
2? 2
i 1
? > ? = exp ? (9)
va xa + va t ?.
2? 2
Полное описание нелинейных уравнений вида (1), для которых выполняется
принцип относительности Галилея, дает
Теорема 1 [3]. Уравнение (1) инвариантно относительно преобразований (4),
(8) тогда и только тогда, когда
??1 |x|2
(10)
A(t, x, u) = g1 (t, w), w = u exp ,
4t
B(t, x, u, u) = ug2 (w, w1 , . . . , wn ) +
1
(11)
??1 |x|2
xa ua ?u
+ {g1 (t, w) ? ?} + u, ua = ,
4t2
t ?xa
??1 xa u ??1 |x|2
?w
(12)
wa = = ua + exp ,
?xa t 4t
g1 , g2 — произвольные гладкие функции.
Теорема 2 [6]. Все уравнения вида (2), инвариантные относительно алгебры
AG2 (1, n), эквивалентны уравнению
??
= ??? + (?? ? )2/n ?F (?), (13)
i
?t
2
?|?|2
? (?2n?2)/n ?|?|
(14)
? = (?? ) ,
?xa ?xa
F (?) — произвольная гладкая функция.
Принцип относительности Галилея и нелинейные уравнения 475

В трехмерном случае наиболее простые уравнения выглядят как [4, 5]
??
= ??? + ?1 |?|4/3 ?(t, x), x ? R3 , (15)
i
?t
?|?|2 ?|?|2
??
= ??? + ?2 |?|?4 (16)
i ,
?t ?xa ?xa
?, ?1 , ?2 — произвольные константы.
Среди множества уравнений вида [1]
??
= ??? + F (?, ? ? ), (17)
i
?t
F — произвольная гладкая функция, только уравнение (15) инвариантно относи-
тельно алгебры AG2 (1, 3).
Итак, приведенные теоремы дают явное описание классов нелинейных диф-
ференциальных уравнений в частных производных, инвариантных относительно
группы Галилея G(1, n) и ее расширений.
2. Редукция уравнения (15). Воспользуемся теперь симметрийными свойст-
вами нелинейного уравнения (15) для его редукции, т.е. приведения многомерного
уравнения к набору уравнений с меньшим числом переменных.
Решения уравнения (15) ищем в виде [1]
(18)
?(x) = f (x)?(?1 , ?2 , ?3 ),
где ? — функция, подлежащая определению, зависит только от трех новых пе-
ременных ?1 = ?1 (t, x), ?2 = ?2 (t, x), ?3 = ?3 (t, x). Явный вид функции f (x)
находится из требования, чтобы в уравнение для ?(?), ? = (?1 , ?2 , ?3 ) не входили
явно переменные (x0 , x1 , x2 , x3 ). Инвариантные переменные ?1 , ?2 , ?3 являются
первыми интегралами соответствующих уравнений Эйлера–Лагранжа.
Используя инвариантность уравнения (15) относительно группы G2 (1, 3), по-
лучены виражения для f (x) и ?1 , ?2 , ?3 , при которых анзац (18) редуцирует
четырехмерное уравнение к трехмерному уравнению. Явные выражения для f (x)
и ?(x) задаются формулами [4]:
1
?3/4 ?1 ?1/2
f (x) = 1 ? x2 imx0 x2 1 ? x2 ?1 = (? · x) 1 ? x2
exp , ,
0 0 0
2 (19)
?1
?3 = arctg x0 + arctg (? · x)(? · x)?1 ;
?2 = x2 1 ? x2 ,
0

i
?3/2
exp ? x2 x?1 , x2 = x2 + x2 + x2 , ?1 = (? · x)x?1 ,
f (x) = x0 1 2 3
0 0
2 (20)
?2 = x2 x?2 , ?3 = x?1 + arctg (? · x)(? · x)?1 ;
0 0

?3/4 ?1/2
?1 = (? · x)x0
f (x) = x0 , ,
(21)
?2 = x2 x?1 , ?3 = ? ln x0 + arctg (? · x)(? · x)?1 ;
0

?3/4 ?1/2 ?1/2
?1 = (? · x)x0 ?2 = (? · x)x0
f (x) = x0 , , ,
(22)
?1/2
?3 = (? · x)x0 (? · x) = ?1 x1 + ?2 x2 + ?3 x3 ;
,
476 В.И. Фущич

?1 = (? · x), ?2 = x2 ,
f (x) = 1,
(23)
?3 = ?x0 + arctg (? · x)(? · x)?1 ;

?, ?, ? — постоянные векторы, удовлетворяющие условиям
(? · ?) = (? · ?) = (? · ?) = 0.
?2 = ? 2 = ? 2 = 1,
Редуцированные уравнения, полученные с помощью анзацев (19)–(23) имеют
вид
?2
L? + 6?2 ? i??1 ?3 + ?2 ? ? ??1 ?1 |?|4/3 ? = 0, (24)
4
L? ? ?11 + 4?2 ?22 + (?2 ? ?1 )?33 + 4?1 ?12 ,
2 2


L? + 6?2 + i??1 ?3 ? ??1 ?1 |?|4/3 ? = 0, (25)
1
L? + 6?2 + i??1 ?3 ? ??2 ?2 ? ? ??1 ?1 |?|4/3 ? = 0, (26)
4
?2?
??
?a ? ?ab ?
, , a, b = 1, 3.
??a ??a ??b
Трехмерные уравнения в частных производных вида (24)–(26) редуцируются к
набору нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) следую-
щего типа
a2 (? )?(? ) + a1 (? )z(? ) + b|z|4/3 z = 0,
z ?
(27)
a2 (? ) = a21 + a22 ?, a1 = a11 + a12 ?, a(? ) = const, b = const,
z — комплексная функция.
Некоторые из ОДУ вида (27) удалось точно решить.

<< Предыдущая

стр. 109
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>