<< Предыдущая

стр. 11
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?? ? ?

?? ?
Отсюда следует, что ?(C0 , C1 , . . . , Cm ) ? M , а значит
?? ?
?(? ab barPa Pb , C1 , . . . , Cm ) = 0.

Полученное противоречие и доказывает предложение 1.
?
Предложение 2. Пусть m = [n/2], n ? 3, C — элемент U (AG(n)), получае-
мый из C ? U (AO(n, R)) при замене Jab на Pa Gb ? Pb Ga . Для любой системы
C1 , . . . , Cm алгебраически независимых однородных операторов Казимира груп-
? ?
пы O(n, R) элементы ? ab Pa Pb , C1 , . . ., Cm составляют максимальную систему
алгебраически независимых операторов Казимира группы G(n).
?
Выпишем основные операторы Казимира для групп G(n) и G(n) при n =
3, 4, 5, 6.

?
G(3) : M, 2M P0 ? P1 ? P2 ? P3 , ?2 + ?2 + ?2 ;
2 2 2
12 13 23


?
G(4) : M, 2M P0 ? P1 ? P2 ? P3 ? P4 ,
2 2 2 2
?a1 a2 ?a2 a1 , ?a1 a2 a3 a4 ?a1 a2 ?a3 a4 ;
a1 ,a2


?
G(5) : M, 2M P0 ? P1 ? · · · ? P5 ,
2 2
?a1 a2 ?a2 a1 ,
a1 ,a2

?a1 a2 ?a2 a3 ?a3 a4 ?a4 a1 ;
a1 ,a2 ,a3 ,a4
46 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

?
G(6) : M, 2M P0 ? P1 ? · · · ? P6 ,
2 2
?a1 a2 ?a2 a1 ,
a1 ,a2

?a1 a2 ?a2 a3 ?a3 a4 ?a4 a1 , ?a1 ...a6 ?a1 a2 ?a3 a4 ?a5 a6 ;
a1 ,a2 ,a3 ,a4

2 2 2 2 2 2
G(3) : P1 + P2 + P3 , K12 + K13 + K23 ;
2 2 2 2
Ka1 a2 Ka2 a1 , ?a1 a2 a3 a4 K a1 a2 K a3 a4 ;
G(4) : P1 + P2 + P3 + P4 ,
a1 ,a2


G(5) : P1 + · · · + P5 ,
2 2
Ka1 a2 Ka2 a1 , Ka1 a2 Ka2 a3 Ka3 a4 Ka4 a1 ;
a1 ,a2 a1 ,a2 ,a3 ,a4


G(6) : P1 + · · · + P6 ,
2 2
Ka1 a2 Ka2 a1 , Ka1 a2 Ka2 a3 Ka3 a4 Ka4 a1 ,
a1 ,a2 a1 ,a2 ,a3 ,a4

?a1 ...a6 K a1 a2 K a3 a4 K a5 a6 .


1. Гельфанд И.М., Мат. сб., 1950, 26, 103.
2. Барут А., Рончка P., Теория представлений групп и ее приложения, М., Мир, 1980, Т. 1, 456 с.,
Т. 2. 396 с.
3. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Nucl. Phys. B, 1969, 14, 321.
4. Фущич В.И., ТМФ, 1970, 4, 360.
5. Кадышевский В.Г., Тодоров И.Т., ЯФ, 1966, 3, 135.
6. Mirman R., J. Math. Phys., 1968, 9, 39.
7. Patera J., Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H., J. Math. Phys., 1976, 17, 977.
8. Burdel G., Patera J., Perrin M., Winternitz P., J. Math. Phys., 1978, 19, 1758.
9. Демичев А.П., Нелипа Н.Ф., Вестн. МГУ. Сер. физика, астрономия, 1980, 21, № 2, 3; 21,
№ 2, 7; 21, № 4, 23.
10. Демичев А.П., Нелипа Н.Ф., Чайчиан М., Вестн. МГУ. Сер. физика, астрономия, 1980, 21,
№ 4, 27; 21, № 5, 20.
11. Perroud M., J. Math. Phys., 1983, 24, 1381.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 47–66.

Инварианты подгрупп обобщенной группы
Пуанкаре P (1, n)
Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ
В работе найдены в явном виде полные системы инвариантов одномерных подал-
гебр алгебры Ли AP (1, n) группы P (1, n). Получен ряд утверждений, позволяющий
дать конструктивное описание полных систем инвариантов всех абелевых подал-
гебр алгебры AP (1, n) разрешимых подалгебр алгебры AO(1, n). Проблема описа-
ния инвариантов произвольных неоднородных подалгебр алгебры AP (1, n) сведена
к аналогичной проблеме для подалгебр, имеющих более простую структуру.

Введение
Обобщенная группа Пуанкаре P (1, n) — это мультипликативная группа та-
ких неоднородных преобразований xµ > a? x? + bµ пространства Минковского
µ
M (1, n) = {(x0 , x1 , . . . , xn ) | xi ? R}, для которых соответствующие однородные
преобразования xµ > a? x? сохраняют его метрику x2 ?x2 ?· · ·?x2 . В данной рабо-
µ n
0 1
те найдены в явном виде инварианты некоторых классов подгрупп группы P (1, n).
Поскольку вместо группы Ли G ? P (1, n) можно рассматривать соответствующую
ей алгебру Ли AG, а алгебру AG можно задать как алгебру дифференциальных
операторов первого порядка, то исследуемая задача сводится к нахождению ре-
шений определенных систем линейных однородных дифференциальных уравнений
в частных производных. Множество {f1 , . . . , fs } функционально независимых ре-
шений такой системы, обладающее тем свойством, что любое ее решение имеет
вид ?(f1 , . . . , fs ), будем называть полной системой инвариантов данной алгебры
Ли (сокращенно ПСИ), а инварианты f1 , . . . , fs — основными. Из теории систем
дифференциальных уравнений в частных производных [1] хорошо известно, что
если r — ранг системы уравнений, соответствующей алгебре L ? AP (1, n), то
s = n + 1 ? r. Число s назовем коразмерностью алгебры L и обозначим codim L.
ПСИ подалгебр алгебры AP (1, n) используются для нахождения точных реше-
ний уравнений, инвариантных относительно P (1, n). Таким уравнением является,
например, уравнение
? 2u, (?u)2 , u = 0, (1)
где
2u = ux0 x0 ? ux1 x1 ? · · · ? uxn xn , (?u)2 = (ux0 )2 ? (ux1 )2 ? · · · ? (uxn )2 ,
а ? — достаточно гладкая функция. Отметим, что частными случаями уравнения
(1) суть нелинейные уравнения Даламбера 2u = F u, (?u)2 , 2u = sin u и Га-
мильтона (?u)2 +V (u) = E. Широкие классы точных решений нелинейных диффе-
ренциальных уравнений эффективно находятся при помощи предложенного в [2]
анзаца u(x) = f (x)?(?) + g(x), где x = (x0 , x1 , . . . , xn ), ?(x) = {?1 (x), . . . , ?n (x)}
— функционально независимые инварианты одномерной подалгебры алгебры сим-
метрии данного уравнения (см. [3–7]). Если ?1 (x), . . . , ?k (x) — полная система
Препринт 86.86, Институт математики АН УССР, Киев, 1986, 40 c.
48 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

инвариантов алгебры L ? AP (1, n), то анзац u(x) = ?(?1 (x), . . . , ?k (x)) редуци-
рует уравнение (1) к уравнению от k переменных ?1 , . . . , ?k [8].
Инварианты подгрупп расширенных групп Евклида, Галилея для трехмерных
пространств найдены в [9] , а инварианты подгрупп группы P (1, 3) — в [8].
В первом параграфе нашей работы находятся в явном виде ПСИ тех абелевых
подалгебр алгебры AP (1, n) (n ? 2), из которых путем использования подпрямых
сумм можно построить любую абелеву подалгебру алгебры AP (1, n). Доказанные
предложения конструктивно описывают ПСИ всех абелевых подалгебр алгебры
AP (1, n) и позволяют явно перечислить основные инварианты для каждой одно-
мерной подалгебры алгебры AP (1, n).
Во втором параграфе описываются ПСИ разрешимых подалгебр алгебры
AP (1, n). Выписаны в явном виде ПСИ разрешимых подалгебр алгебр AO(1, 5)
и AO(1, 6).
Третий параграф работы посвящен редукционным теоремам, сводящим пробле-
му нахождения ПСИ подалгебр алгебры AP (1, n) к этой же проблеме для более
простых алгебр. Из доказанных нами теорем вытекает основной результат работы
[8] о подалгебрах коразмерности 1 алгебры AP (1, n).

§ 1. Абелевы подалгебры и их инварианты
Алгебра Пуанкаре AP (1, n) определяется такими коммутационными соотноше-
ниями:

[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? ,
[P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? , J?? = ?J?? , [P? , P? ] = 0,

где g00 = ?g11 = · · · = ?gnn = 1, g?? = 0 при ? = ? (?, ?, ?, ? = 0, 1, . . . , n).
Алгебра AP (1, n) изоморфна алгебре дифференциальных операторов, действу-
ющих в пространстве скалярных функций u(x), где x ? M (1, n):

Jab = xb ?a ? xa ?b ,
Joa = x0 ?a + xa ?0 , Pµ = ? µ
(?µ = ?/?xµ ; a, b = 1, . . . , n; µ = 0, 1, . . . , n).

?
Пусть ? — проектирование AP (1, n) на AO(1, n), F — подалгебра AP (1, n).
?
Если ?(F ) не имеет в пространстве M (1, n) инвариантных изотропных подпро-
?
странств, то структура алгебры F аналогична структуре подалгебр евклидовой ал-
гебры [10]. Описание таких алгебр в определенном смысле сводится к описанию
неприводимых подалгебр алгебр AO(1, k) и AO(k) (k = 2, 3, . . . , n). Остальные
? ?
случаи сводятся к случаям подалгебр алгебры AG(n ? 1)+ J0n , где AG(n ? 1) — ?
расширенная алгебра Галилея с базисом M = P0 + Pn ; Ga = J0a ? Jan (a =
1, . . . , n ? 1); P0 , P1 , . . . , Pn?1 ; Jab (a, b = 1, . . . , n ? 1). Отметим, что

[Ga , J0n ] = Ga , [M, J0n ] = M, [P0 ? Pn , J0n ] = ?(P0 ? Pn ), [P0 , Ga ] = Pa ,
[Pa , Ga ] = M, [Ga , Jbc ] = gab Gc ? gac Gb , Ga = (x0 ? xn )?a + xa (?0 + ?n ).

В дальнейшем будем использовать такие обозначения:

AO(s ^ t) = Jab | a, b = s, s + 1, . . . , t ;
Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 49

X1 , . . . , Xs — алгебра Ли или векторное пространство над полем вещественных
чисел R с образующими X1 , . . . , Xs ;
V (k, l) = Gk , . . . , Gl , (k ? l), V (k) = V (k, k);
W (?, ?) = P? , . . . , P? (? ? ?), W (?) = W (?, ?);
?(r, t) = ?0 (r, t) + M = Gr + ?r Pr , . . . , Gt + ?t Pt , M ,
где r ? t, ?r ? · · · ? ?t , ?r = 0 и ?t = 1 при ?t = 0; AH(0) = O, AH(2d) =
J12 , . . . , J2d?1,2d — подалгебра Картана алгебры AO(2d);
M(r, t) = M(r, t)+ P0 = M, Pr , . . . , Pt , Gr , . . . , Gt + P0 .
? ?
? ?
Через ?1 , ?2 обозначим проектирования алгебры AG(n?1)+ J0n соответственно
на V (1, n ? 1), W (0, n). Мы будем такие использовать проектирования алгебры
?
AG(n ? 1)+ J0n на P0 , M , J0n .
?
В [10] доказано, что максимальные абелевы подалгебры алгебры AO(1, n) ис-
черпываются относительно O(1, n)-сопряженности такими алгебрами:
n = 2k + 1,
AH(n ? 1) ? J0n , V (1, n ? 1),
AH(2d) ? V (2d + 1, n ? 1) (d = 1, . . . , (n ? 3)/2);
n = 2k,
AH(n), AH(n ? 2) ? J0n , V (1, n ? 1),
AH(2d) ? V (2d + 1, n ? 1) (d = 1, . . . , (n ? 2)/2).
Теорема 1.1. Пусть 0 ? m ? [n ? 1/2], L — ненулевая абелева подалгебра
?
алгебры AG(n ? 1)+ J0n . Если проекция L на J0n отлична от нуля, то L
?
P (1, n)-сопряжена подпрямой сумме алгебр L1 , L2 , J0n , где L1 ? AH(2m),
L2 = 0 или L2 = W (2m + 1, 2m + s). Если проекция L на J0n и на P0 равна
0, то L сопряжена подпрямой сумме алгебр L1 , L2 , L3 , L4 , где L1 ? AH(2n),
L2 = 0 или L2 = ?0 (2m + 1, 2m + s), L3 = 0 или L3 = W (2m + s + 1, l), L4 = 0
или L4 = M . Если проекция L на J0n равна 0, а проекция L на P0 отлична
от нуля, то L сопряжена подпрямой сумме алгебр L1 , L2 , L3 , L4 , где L1 ?
AH(2m), L2 = P0 + ?G2m+1 (? ? {0, 1}), L3 = 0 или L3 = W (?, t), L4 = 0 или
s
L4 = M (? = 2m + 1 при ? = 0; s = 2m + 2 при ? = 1).
s ?
Доказательство. Пусть Xi = Gi + ?2m+1,i P2m+1 + · · · + ?2m+s,i P2m+s (i = 2m +
1, . . . , 2m + s), L = X2m+1 , . . . , X2m+s . Очeвиднo, [Xi , Xj ] = (?ji ? ?ij )M . Если
L — абелева алгебра, то ?ij = ?ji . Отсюда вытекает, что B = (?ij ) (i, j =
2m + 1, . . . , 2m + s) — симметрическая матрица. Поэтому существует такая ма-
трица U ? O(s), что U BU ?1 = diag [?1 , . . . , ?s ]. Отсюда следует, что с точностью
до P (1, n)-сопряженности можно предполагать, что X2m+j = G2m+j + ?j P2m+j
(j = 1, . . . , s). O(n ? 1)-автоморфизмы позволяют изменять нумерацию генераторов
G2m+1 , . . . , G2m+s . Поэтому можно считать, что ?1 ? · · · ? ?s . Применяя авто-
морфизм exp(??1 P0 ), получаем генераторы G2m+j + µj P2m+j (j = 1, . . . , s), где
µ1 = 0, 0 ? µ2 · · · ? µs . Если µs > 0, то µs = exp ?. Очевидно,
exp(??J0n )(G2m+j + µj P2m+j ) exp(?J0n ) =
= e? G2m+j + µj P2m+j = e? (G2m+j + µj e?? P2m+j ).
Поэтому при µs > 0 можно предполагать, что µs = 1.
50 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Остальные утверждения теоремы вытекают из предложения 1.1 [10] о расще-
пляемости расширений вполне приводимой алгебры Ли линейных преобразований
и теоремы Витта о подпространствах пространства M (1, n). Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть ?r ? ?r+1 ? · · · ? ?t , ?r = 0 и ?t = 1 при ?t = 1. Макси-
мальные абелевы подалгебры алгебры AP (1, n) исчерпываются относительно
P (1, n)-сопряженности такими алгебрами:
W (0, n); ?(1, n ? 1); ?(1, s) ? W (s + 1, n ? 1) (s = 1, . . . , n ? 2);
G1 + P0 , M ? W (2, n ? 1); W (1, n ? 1) ? J0n ;
AH(n ? 2) ? Gn?1 + P0 , M (n ? 0 (mod 2));
AH(n ? 1) ? J0n (n ? 1 (mod 2));
P0 ? AH(n) (n ? 0 (mod 2));
P0 ? AH(2d) ? W (2d + 1, n) (d = 1, . . . , [n ? 1/2]);
AH(2d) ? W (2d + 1, n ? 1) ? J0n (d = 1, . . . , [n ? 2/2]);
AH(2d) ? ?(2d + 1, n ? 1) (d = 1, . . . , [n ? 2/2]);
AH(2d) ? ?(2d + 1, s) ? W (s + 1, n ? 1) (d = 1, . . . , [n ? 3/2]);
AH(2d) ? G2d+1 + P0 , M ? W (2d + 2, n ? 1) (d = 1, . . . , [n ? 3/2]).
Записанные алгебры попарно не сопряжены.
Следствие 2. Пусть n ? 3; ?, ? > 0; r = 2, . . . , [n ? 2/2] при n ? 6; s = 2, . . . , [n ?
1/2] при n ? 5; t = 2, . . . , [n/2] при n ? 4; Xt = J12 + ?1 J34 + · · · + ?t?1 J2t?1,2t , где
0 < ?1 ? · · · ? ?t?1 ? 1. С точностью до P (1, n)-сопряженности одномерные
подалгебры AP (1, n) исчерпываются такими алгебрами:
L1 = J12 ; Lt = Xt ; L3 = J12 + ?P0 ; Lt = Xt + ?P0 ; L5 = J12 + M ;
2 4
s s
L6 = Xs + M ; L7 = J12 + ?J0n ; L8 = Xs + ?J0n ; L9 = J12 + ?P3 ;
Ls = Xs + ?P2s+1 ; L11 = J12 + ?P3 + ?J0n (n ? 4);
10
Lr = Xr + ?P2r+1 + ?J0n ; L13 = J12 + G3 (n ? 4); L14 = Xr + G2r+1 ;
12

<< Предыдущая

стр. 11
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>