<< Предыдущая

стр. 110
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Таким образом, процесс редукции многомерного уравнения в частных прои-
зводных к ОДУ дал возможность построить частные точные решения уравнения
(15).
Явный вид точных решений уравнения (15) задается формулами
i ?1 2 2
?3/4 ?1
u(x) = 1 ? x2 ? x (1 ? x0 ) ? = ? i; (28)
exp ,
0
4 3

i
u(x) = {c0 x0 ? (c · x)}?3/2 exp ? ??1 x2 x?1 ,
0
4 (29)
4 ?1
(c · x) = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 , c2 = ? ?1 ,
15
c0 , c1 , c2 , c3 — произвольные постоянные;
i
?3/2
exp ? ??1 x2 ? r · x x?1 , r2 = ?16??1 ; (30)
u(x) = x0 0
4
?3/4
4 ?1 2 i
exp ? ??1 x2 x?1 ; (31)
u(x) = ?x 0
3 4
Принцип относительности Галилея и нелинейные уравнения 477

i
?3/2
?(?1 ) exp ? ??1 x2 x?1 , ?1 = (? · x)x?1 , (32)
u(x) = x0 0 0
4

где функция ?(?1 ) определяется эллиптическим интегралом
1/2
? ?1/2 3 ?1
10/3
(33)
dy k1 + y = ? ?1 (?1 + k2 ),
5
0

k1 , k2 — произвольные постоянные;
3/4
c0 i
?1/2 ?1/3
? ??1 (c · x)x?1 , (34)
u(x) = ?1 x0 exp ic0 x0 0
3 4
c2 = 1, c0 — постоянная.
Формулы (28)–(34) задают многопараметрические семейства точных решений
многомерного нелинейного уравнения (15). Некоторые из полученных решений
неаналитичны по параметру ?1 .
Воспользовавшись свойством инвариантности уравнения (151 относительно
группы G2 (1, n), можно построить по решениям (28)–(34) новые семейства точных
решений. Пусть u1 (x0 , x1 , x2 , x3 ) решение уравнения (15), тогда новые решения u2 ,
u3 определяются через u1 с помощью таких формул
u2 = u1 (x0 , x1 > x1 + v1 x0 , x2 > x2 + v2 x0 , x3 > x3 + v3 x0 ) ?
i ?1 1 2
? exp v x0 + (v · x)
? ,
2 2
x0 x1 x2 x3
u3 = u1 x0 > , x1 > , x2 > , x3 > ?
1 ? dx0 1 ? dx0 1 ? dx0 1 ? dx0
i ?1 dx2
?3/2
? (1 ? dx0 ) exp ? ,
1 ? dx0
4
где стрелки означают соответсвующую замену, d — произвольная постоянная.

1. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в Теоретико-алгебраические иссле-
дования в математической физике, Киев, Институт математики АН УССР, 1981, 6–28.
2. Фущич В.И., О пуанкаре-, галилеево-инвариантных нелинейных уравнениях и методах их ре-
шения, в Теоретико-алгебраические исследования уравнений математической физики, Киев, Ин-
ститут математики АН УССР, 1985, 4–19.
3. Fushchych W.I., Cherniha R.M., The Galilean relativistic principle and nonlinear partial differential
equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1985, 18, № 18, 3491–3503.
4. Fushchych W.I., Serov N.I., On some exact solutions of three-dimensional nonlinear Schr?dinger
o
equation, J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, L929–L933.
5. Фущич В.И., О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений шредингеровского
типа, Препринт № 86.85, Киев, Институт математики АН УССР, 1986, 44 c.
6. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наукова думка, 1989, 340 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 478–486.


Галилей-инвариантные нелинейные
уравнения шредингеровского типа
и их точные решения. I
В.И. ФУЩИЧ, Р.М. ЧЕРНИГА


1. Введение. Известно, что максимальной локальной (в смысле Ли) группой
инвариантности (n + 1)-мерного линейного уравнения Шредингера

(1)
i?t = k??,

где
?2 ?2
??
+ ··· + k ? R1 , x = (x1 , . . . , xn ),
?t = , ?= ,
?x2 ?x2
?t n
1

?(t, x) — комплекснозначная функция, является обобщенная группа Галилея (груп-
па Шредингера) G2 (1, n) [1, 2]. Этой группе соответствует алгебра Ли AG2 (1, n)
с базисными операторами

(2a)
P t = ?t , Pa = ?a , a = 1, n,

Jab = xa ?b ? xb ?a , (2b)
b = 1, n,
xa
J = i(??? ? ?? ??? ), Ga = t?a ? (2c)
J,
2k
n
(??? + ?? ??? ),
D = 2t?t + xa ?a ? (2d)
2

|x|2 nt
J ? (??? + ?? ??? ),
? = t2 ?t + txa ?a ? (2e)
4k 2
где
? ? ? ?
?t = , ?a = , ?? = , ?? ? = ,
???
?t ?xa ??
? — знак комплексного сопряжения (по повторяющимся индексам везде подра-
зумевается суммирование). Операторы (2а)–(2c), образующие алгебру AG(1, n),
генерируют преобразования группы Галилея G(1, n), а операторы (2а)–(2d), обра-
зующие алгебру AG1 (1, n) — преобразования группы G1 (1, n).
В работах [3, 4] построены широкие классы нелинейных уравнений второго
порядка, инвариантных относительно группы G2 (1, n) и ее подгрупп.
Укр. мат. журн., 1989, 41, № 10, 1349–1357.
Галилей-инвариантные нелинейные уравнения 479

В данной работе, являющейся естественным продолжением статьи [4], рассма-
триваются системы нелинейных эволюционных уравнений вида
(1) (1) (1)
= Aab (?(1) , ?(2) )?ab + B (1) (?(1) , ?(2) , ?(1) , ?(2) ),
?1 ?t
1 1
(3)
(2) (2) (2)
Aab (?(1) , ?(2) )?ab (2) (1) (2) (1) (2)
?2 ?t = +B (? ,? ,? ,? ),
1 1

(m) (m) (m)
где ?m = const = 0, ?t = ??(m) /?t, ?ab = ? 2 ?(m) /(?xa ?xb ), ?a = ??(m) /?xa ,
(m) (m) (m)
?(m) = (?1 , . . . , ?n ), m = 1, 2, a, b = 1, n, Aab , B (m) — произвольные диффе-
1
ренцируемые комплексные или действительные функции.
?(2)
В случае комплексных функций ? = ?(1) = ??(2) , Aab = Aab = Aab , B =
(1)

B (1) = B ?(2) , ?1 = ?? = i система уравнений (3) превращается в пару комплексно
2
сопряженных нелинейных уравнений шредингеровского типа
i?t = Aab (?, ?? )?ab + B(?, ?? , ?, ?? ), (4a)
1 1

?i?? = A? (?, ?? )?? + B ? (?, ?? , ?, ?? ), (4b)
t ab ab
1 1

где индексы возле искомых функций ?, ?? обозначают дифференцирование по
переменным t, x1 , . . . , xn (ниже комплексно сопряженные уравнения вида (4b) опу-
скаются).
В настоящей работе решены следующие задачи:
1) описаны нелинейные системы уравнений второго порядка вида (3), инвари-
антные относительно цепочек групп G(1, n) ? G1 (1, n) ? G2 (1, n);
2) доказано, что среди множества уравнений (4) инвариантными относительно
группы G2 (1, n) являются только уравнения вида
?
i?t = k?? + ?|?|4/n F (?), (5)
v
где ? = ?|?| ?|?| |?|?2?4/n , |?| = ??? , F — произвольная дифференцируемая
?
?xa ?xa
функция;
3) найдены анзацы, с помощью которых многомерные нелинейные уравнения
редуцируются к уравнениям с меньшим числом независимых переменных, и по-
строены в явном виде многопараметрические семейства точных решений четыре-
хмерных нелинейных уравнений
i?t = k?? + ??|?|4/3 , (6)

?|?| ?|?| ?2
|?| . (7)
i?t = k?? + ??
?xa ?xa
Отметим, что уравнения (6), (7) являются простейшими среди нелинейных
уравнений (5) при n = 3. Построению точных решений уравнения (6) посвя-
щена работа [5]. Ниже получен ряд новых результатов. В частности, найдены
солитоноподобные решения уравнения (6) и решения уравнения (7), содержащие
произвольные функции.
2. Системы нелинейных уравнений, инвариантные относительно алгебры
Галилея и ее расширений. Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных
480 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

уравнений в частных производных (ДУЧП) (3). Системы уравнений такого вида в
случае действительных коэффициентов широко используются в качестве матема-
тических моделей для описания процессов диффузии при химических реакциях и
горении в двухкомпонентных средах, в теории тепломассопереноса, в популяцион-
ной генетике (см., например, [6]).
С теоретико-алгебраической точки зрения представляется важным выделить из
системы уравнений вида (3) такие, которые инвариантны относительно алгебры
AG2 (1, n) или достаточно, широких ее подалгебр AG(1, n) и AG1 (1, n) [7]. Рас-
смотрим обобщенную алгебру Галилея AG2 (1, n) с базисными элементами (2а),
(2b) и
xa
G = t?a ?
I? = ?1 ?(1) ??(1) + ?2 ?(2) ??(2) , (8)
I? ,
2
(9)
D = 2t?t + xa ?a + I? ,

|x|2
? = t2 ?t + txa ?a ? (10)
I? + tI? ,
4

где I? = ?1 ?(1) ??(1) +?2 ?(2) ??(2) , ?m ? R1 . Очевидно, что в случае ?1 = ?? = i/k,
2
?(1) = ??(2) = ?, ?1 = ?2 = ?n/2 получаем стандартное представление алгебры
AG2 (1, n) с базисными элементами (2).
Теорема 1. Система уравнений (3) инвариантна относительно алгебры Гали-
лея AG(1, n) с базисными операторами (2а), (2b), (8) тогда и только тогда,
когда она имеет вид
1 ? Cm (v) (m) (m)
(m)
= Cm (v)??(m) + ?a ?a + ?(m) Fm (v, ?),
?m ?t m = 1, 2,(11)
(m)
?
(здесь и везде ниже суммирования по индексу m нет), где v = (?(1) )?2 (?(2) )??1 ,
?v ?v
? = ?xa ?xa , Cm , Fm — произвольные функции.
Теорема 2. Система уравнений (11) инвариантна относительно алгебры
AG1 (1, n) с базисными элементами (2а), (2b), (8), (9) тогда и только тогда,
когда она эквивалентна системе
1 ? Dm (m) (m)
?a ?a + ?(m) v ?2/? fm (?),
(m) ?
= Dm ??(m) + m = 1, 2, (12)
?m ?t (m)
?
?1 ?2
если ? = = 0, или же системе
?1 ?2

1 ? Cm (v) (m) (m)
?a ?a +?(m) v ?2 ?gm (v), m = 1, 2,(13)

<< Предыдущая

стр. 110
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>