<< Предыдущая

стр. 111
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(m)
= Cm (v)??(m) +
?m ?t (m)
?
если ? = 0.
В системах уравнений (12), (13) ? = ?v ?2+2/? , Dm = const, fm , gm , Cm —
?
произвольные функции.
Теорема 3. 1. Система уравнений (12) инвариантна относительно алгебры
?
AG2 (1, n) (2а), (2b), (8)–(10) при произвольных Dm и fm (?), при чем ?m =
D D2
? n Dm , ? = ? n 1 = 0.
2 2? ?2
1
Галилей-инвариантные нелинейные уравнения 481

2. Система уравнений (13) инвариантна относительно этой же алгебры
тогда и только тогда, когда Cm (v) = Dm = const, причем ?m = ? n Dm , ? = 0.
2
Доказательства теорем 1–3 проводятся по классической схеме Ли (см. напри-
мер, [8]). Ввиду громоздкости мы их опускаем (подробности см. в [9]).
Из этих теорем нетрудно получить следующие утверждения.
Следствие 1. Среди множества нелинейных уравнений (4) только уравнения
?a ?a ?|?| ?|?|
i?t = C(|?|)?? + ?? (k ? C(|?|)) |?|, (14)
+ ?F ,
|?|2 ?xa ?xa
где C, F — произвольные функции, инвариантны относительно алгебры Гали-
лея AG(1, n) (2a)–(2c).
Следствие 2. Нелинейные ДУЧП шредингеровского типа (4) инвариантны отно-
сительно алгебры AG2 (1, n) с базисными операторами (2) тогда и только то-
гда, когда они эквивалентны уравнениям вида (5).
Нетрудно убедится, что системы уравнений (12) и (13) при условиях теоремы 3
?
локальной заменой ?(m) = (?(m) )1/Dm , m = 1, 2, Dm = 0 сводятся соответственно
к системам
?? ?
? ? (m) = ??(m) + ?(m) v ?2/? fm (?), m = 1, 2,
? ? (15)
?m ?t

и
??t = ??(m) + ?(m) v ?2 ??m (v),
? ? (m) ? ? (16)
g m = 1, 2.
?? ?
В (15) приняты обозначения ?m = ?m /Dm , v = (?(1) )?2 (?(2) )??1 , ? = ?2 ? ?1 = 0,
? ?? ?
?
?
? ? ? ?
?v ?v
? = ?xa ?xa v 2/??2 , в системе (16) — ? = ?1 /D1 = ?2 /D2 , v = ?(1) /?(2) , ? =
?
?v ?v
?xa ?xa , fm и gm — произвольные функции.
?
Очевидно, что системы уравнений (15), (16) инвариантны относительно обоб-
щенной алгебры Галилея AG2 (1, 3) (см. теорему 3).
3. Анзацы и редукция уравнений (6), (7). Нелинейные уравнения (6), (7)
инвариантны относительно 13-мерной алгебры Ли AG2 (1, 3). В работе [10] по-
строена система всех несопряженных одномерных подалгебр алгебры AG2 (1, 3). В
качестве такой системы можно выбрать следующие 14 подалгебр:
X1 = P1 , X2 = J, X3 = Pt + ?0 J, X4 = J12 + ?J, X5 = J12 + G3 ,
X6 = J12 ? Pt + ?0 J, X7 = G1 + P2 , X8 = ?Pt + G1 ,
X9 = J12 + ?G3 ? Pt , X10 = D + ?J, X11 = Pt + ? ? ?J, (17)
X12 = J12 + ?D + ?J, X13 = Pt + ? ? ?J12 ? ?J,
X14 = Pt + ? ? J12 ? ?(G1 + P2 ),
где ?0 ? R1 , ? ? 0, ? > 0.
Решая уравнения Лагранжа для каждого из операторов (17) [7], получаем ин-
варианты ?1 , ?2 , ?3 , зависящие от t, x1 , x2 , x3 , и анзацы для искомой функции ?.
Исключение составляет только единичный оператор X2 , которому соответствуют
четыре инварианта t, x1 , x2 , x3 и функциональное соотношение между ? и ?? .
Новые инвариантные переменные и соответствующие анзацы приведены в табл. 1.
Любой другой анзац, получаемый с помощью произвольного элемента алгебры
AG2 (1, 3), преобразованиями инвариантности сводится к одному из тех, которые
указаны в таблице.
482 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

Таблица 1

Подал- Инвариантные переменные Анзацы
? = (?1 , ?2 , ?3 )
гебры ?1 , ? 2 , ? 3
?(t, x) = ?(?)
t, x2 , x3
X1
?(t, x) = ?(t, x), ??? = ? 2
t, x1 , x2 , x3
X2
? = exp(i?0 t)?(?)
x1 , x2 , x3
X3
t, x2 + x2 , x3 ? = exp i? arctg x2
X4 ?(?)
1 2 x1
ix2
t, x2 + x2 , x3 ? t arctg ? = exp ? 4kt ?(?)
x2 3
X5 1 2 x1
x2 + x2 , x3
t + arctg ? = exp(?i?0 t)?(?)
x2
,
X6 1 2
x1
ix2
t, x1 ? tx2 , x3 ? = exp ? 4kt ?(?)
1
X7
t2
2x1 + t2 , x2 , x3 ? = exp x1 +
it
X8 ?(?)
2k 3
2
, x2 + x2 , 2x3 + ?t2
t + arctg ? = exp x3 + ?t
i?t
x2
X9 ?(?)
1 2 2k 3
x1
? 3 +i 4k
?
?=t
x1 v x2 v x3
v, ,t
X10 ?(?)
4
t t
? = (t2 + 1)?3/4 ?
v x1 , v x2 , v x3
X11
1+t2 1+t2 1+t2
|x|2 t
? exp ? 4k + 2? arctg t
i
?(?)
1+t2
x2 +x2 ? 3 +i 4k
?
ln t + 2? arctg ?=t
x1 x3
1 2 v
, ,
X12 ?(?)
4
x2 t t
? = (t2 + 1)?3/4 ?
? arctg t ? arctg x1
,
X13 x2
x2 +x2 |x|2 t
v x3 ? exp ? 4k + 2? arctg t
i
1 2
, ?(?)
t2 +1 1+t2
t2 +1
|x|2 t
tx1 +x2
? = (t2 + 1)?3/4 exp ? 4k
+ ? arctg t, +
i
X14 t2 +1 1+t2
tx2 +x1 tx2 ?x1
v x3 +2? arctg t ·
, ?(?)
t2 +1 t2 +1
t2 +1


Используя найденные инварианты и анзацы вида [7] ? = f (t, x)?(?), ? =
(?1 , ?2 , ?3 ), где f (t, x) — известная функция (см. табл. 1), проведем редукцию
четырехмерных нелинейных уравнений (6), (7) к трехмерным ДУЧП. Ниже при-
ведены редукционные уравнения для искомой функции ? (индексы ?1 , ?2 , ?3 у
функции ? обозначают дифференцирование по этим переменным):
X1 : i?t = k(??2 ?2 + ??3 ?3 ) + ??|?|4/3 , (18)
?1 = t,

??? = ? 2 ,
X2 : i?t = k?? + ?? 4/3 ?, (19)
? > 0,

X3 : k?? + ?0 ? + ??|?|4/3 = 0, (20)
?a = xa , a = 1, 2, 3,

k?2
+ ??3 ?3 ) ? ? + ??|?|4/3 , (21)
X4 : i?t = k(4?2 ??2 ?2 + 4??2 ?1 = t,
?2
? ? 3 ?? 3
X 5 : i ?t + + =
2t t
(22)
t2 4/3
= k 4?2 ??2 ?2 + 1+ ?? 3 ? 3 + ??|?| , ?1 = t,
?2

1
? ?0 ? + ??|?|4/3 , (23)
X6 : i??1 = k ?? ? + 4??2 + 4?2 ??2 ?2 + ??3 ?3
?2 1 1
Галилей-инвариантные нелинейные уравнения 483

? ? 2 ?? 2
X 7 : i ?t + + =
2t t (24)
2 4/3
= k(1 + t )??2 ?2 + k??3 ?3 + ??|?| , t = ?1 ,

?1
? + ??|?|4/3 = 0, (25)
X8 : k(4??1 ?1 + ??2 ?2 + ??3 ?3 ) +
4k

1 ?
??1 ?1 + 4(?2 ??2 ?2 + ??2 ) + 4??3 ?3 ? ?3 ?+??|?|4/3,(26)
X9 : i??1 = k
?2 4k

i
X10 : k(??1 ?1 + ??2 ?2 + ??3 ?3 ) + ?a ??a +
2
(27)
3 ?
? + ??|?|4/3 = 0,
+i+
4 4k
?
X11 : k(??1 ?1 + ??2 ?2 + ??3 ?3 ) + (2? ? ?a ?a ) + ??|?|4/3 = 0, (28)
4k

3
X12 : ?i ? + ? 2 ?? 2 ? ? ? 1 =
4
(29)
4? 2 k ?
? + ??|?|4/3 ,
= 4k(?2 ??2 )?2 + ??1 ?1 + k??3 ?3 +
?2 4k?

k
X13 : ?i???1 = ?? ? + 4k??2 + 4k?2 ??2 ?2 ?
?2 1 1 (30)
? (2? + 2 2 4/3
?2 + ?3 )?/4k + ??|?| ,

X14 : i(???1 + ?1 ??2 ? ?2 ??1 ) = ??1 ?1 + ??2 ?2 + ??3 ?3 ?
(31)
1
? (2??2 + ?a ?a )? + ??|?|4/3 .
4k

Замечание 1. Редукционные уравнения, соответствующие уравнению (7), отлича-
ются от уравнений (18)–(31) только тем, что вместо нелинейности ??|?|4/3 они
содержат нелинейные слагаемые, порожденные членом ?? ?|?| ?|?| |?|?2 .
?xa ?xa
Каждое из уравнений (18)–(31) последующей редукцией можно свести к
ДУЧП от двух независимых переменных, а затем и к обыкновенному диффе-
ренциальному уравнению (ОДУ). В результате такой последовательной редукции
получаем, как правило, нелинейное ОДУ второго порядка вида

d2 ? d?
+ C(?)? + ??|?|4/3 = 0,
A(?) 2 + B(?)
d? d?
где

<< Предыдущая

стр. 111
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>