<< Предыдущая

стр. 112
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
? ? ?C0 + C1 ?,
?
?A0 , ?B0 + iB1 ?, ?
C0 + iC1 ,
A(?) = A0 ?, B(?) = B0 + iB1 , C(?) =
? ? ?C0 + C1 ? 2 ,
?
?
A0 (? 2 + 1), (B0 + iB1 )?,
C0 + C1 /?,
484 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

A0 , B0 , B1 , C0 , C1 — действительные постоянные или параметры. Конкретный
вид функций A(?), B(?), C(?) и переменной ? в каждом случае определяется
соответствующим набором инвариантов ?1 , ?2 , ?3 (см. табл. 1).
4. Формулы размножения решений. Для построения таких формул восполь-
зуемся преобразованиями инвариантности, генерируемыми базисными оператора-
ми (2) при n = 3 алгебры AG2 (1, 3). Прежде всего найдем преобразования, поро-
ждаемые операторами Ga (2с) и ? (2е). Решая соответствующие уравнения Ли,
получаем преобразования Галилея
Ga : t = t, xa = xa + ?a t, a = 1, 2, 3,
(32)
i?a ?a t
? = ? exp ? ?a ? R1 ,
xa + ,
2k 2
и проективные преобразования
t xa
p ? R1 ,
?: t = , xa = ,
1 ? pt 1 ? pt
(33)
ip|x|2
? = ?(1 ? pt)3/2 exp ? , a = 1, 2, 3.
4k(1 ? pt)
Пусть W (t, x) — решение уравнения (6) или (7). Применяя к нему преобразо-
вания (32), получаем новое решение (штрихи ниже опускаем)
|?|2 t
i
(34)
? = W (t, x + ?t) exp ?x + ,
2k 2
где ? = (?1 , ?2 , ?3 ), |?|2 = ?a ?a , ?a ? R1 . После применения к решению (34) пре-
образований (33), находим четырех параметрическое семейство решений
p|x|2 + 2?x + |?|2 t
t x + ?t
(1 ? pt)?3/2 . (35)
?=W , exp i
1 ? pt 1 ? pt 4k(1 ? pt)
Нетрудно убедиться, что повторное применение формул (32), (33) к решению (35)
приводит к этому же семейству решений, т. е. оно неразмножаемо относительно
галнлеевских и проективных преобразований.
Выражение (35) естественно назвать формулой размножения решений уравне-
ний (6), (7), построенной по операторам Ga (2c) и ? (2e). Обобщим эту формулу,
применив остальные преобразования группы G2 (1, 3) — сдвиги по переменным t,
x, вращения в пространстве R3 , растяжения (сжатия) по переменным t, x, ? и
вращения компонент Re ? и Im ? (см. оператор J (2c)). Совокупность этих пре-
образований задается формулами
? = e?i? m?3/2 ?,
t = m2 t + d 1 , x = mAx + d1 , (36)
0

где m > 0, d1 , d1 = (d1 , d1 , d1 ), ? — действительные параметры, A = (cab )3
a,b=1 —
0 123
действительная матрица вращений.
Воспользовавшись группой преобразований (36) из (35) получаем 13-парамет-
рическое семейство решений
pm2 |x|2 + 2m?1 x m2 |?|2 t + b0
m3/2
?
i?
?=e exp i +
4k(d0 ? pm2 t) 4k(d0 ? pm2 t)
(d0 ? pm2 t)3/2
(37)
m2 t + d1 mAx + m2 ?t + d
?W 0
, ,
d0 ? pm d0 ? pm2 t
2t
Галилей-инвариантные нелинейные уравнения 485

где d0 = 1?pd1 , d = d1 +?d1 , ?1 = ?A+pd1 A, b0 = p|d1 |2 +2?d1 +|?|2 d1 , |d1 |2 = d1 d1 ,
aa
0 0 0
a = 1, 2, 3.
Таким образом, если W (t, x) — решение нелинейного уравнения (6) или (7), то
формула (37) определяет неразмножаемое семейство решений этого же уравнения.
Если в формуле (37) выбрать параметры d0 = 1/p, ? = 0, ? = 0 (A = E —
единичная матрица) и сделать предельный переход при p > ?, m > 0, pm > ?1,
то получим решение уравнения (6) или (7):

i|x|2 1x
?3/2
exp ? ?, (38)
?(t, x) = t W .
4kt tt
Замечание 2. Построенные формулы размножения решений позволяют получать
из действительных стационарных решений уравнений (6), (7) комплексные неста-
ционарные peшения. Они справедливы для любого уравнения вида (5).
В заключение рассмотрим частный случай формулы (37)

? = W (t, Ax) = W (t, C (1) x, C (2) x, C (3) x), (39)

где C (a) x = cab xb , a, b = 1, 2, 3, C (a) = (ca1 , ca2 , ca3 ) — векторы-строки матрицы
вращений A.
Таблица 2

№ Инвариантные переменные Анзацы
??? ? = (? 1 , ?2 , ?3 )
? ???
п/п ?1 , ?2 , ?3
t, C (2) x, C (3) x ?(t, x) = ?(? )
1 ?
t, C (1) x, C (2) x, C (3 )x ? = ?(t, C (1) x, C (2) x, C (3) x), ??? = ? 2
2
C (1) x, C (2) x, C (3) x ? = exp(i?0 t)?(? )
3 ?
C (2) x
t, |x|2 , C (3) x ? = exp i? arctg ?(? )
4 ?
C (1) x
(3) 2
C (2) x
t, |x|2 ? (C (3) x)2 , C (3) x ? t arctg ? = exp ? i(C4ktx) ?(? )
5 ?
C (1) x
(2)
, |x|2 , C (3) x
t + arctg ? = exp(?i?0 t)?(? )
C x
6 ?
C (1) x
(1) 2
t, C (1) x ? C (2) (3)
? = exp ? i(C4ktx) ?(? )
7 xt, C x ?
t2
2C (1) x + t2 , C (2) x, C (3) x C (1) x +
? = exp ?(? )
it
8 ?
2k 3
2
C (2) x
C (3) x +
t + arctg ? = exp ?(? )
i?t ?t
9 , ?
C (1) x 2k 3
(1) 2 (2) 2 (3) 2
(C x) + (C x) , 2C x + ?t
(1) (2) (3) 3 ?
? = t? 4 +i 4k ?(? )
Cv x Cv x Cv x
10 , , ?
t t t
C (1) x C (2) x C (3) x
? = (t2 + 1)?3/4 ?
v v v
11 , ,
1+t2 1+t2 1+t2
|x|2 t
? exp ? 4k + 2? arctg t ?(? )
i
?
1+t2
2
C (1) x |x| (3) 3 ?
? = t? 4 +i 4k ?(? )
ln t + 2? arctg , t , Cvt x
12 ?
C (2) x
(1)
? = (t2 + 1)?3/4 ?
arctg t ? arctg C (2) x ,
13 ? C x
|x|2 t|x|2
C (3) x
,v 2 ? exp ? 4k + 2? arctg t ?(? )
i
?
1+t2 1+t2
1+t
t|x|2
tC (1) x+C (2) x
? = (t2 + 1)?3/4 exp ? 4k
+ ? arctg t, +
i
14 1+t2 1+t2
tC (2) x?C (1) x (3)
tC (2) x?C (1) x
v +2? arctg t · ?(? )
C x
, ?
1+t2 t2 +1
1+t2
486 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

Формула размножения решений (39) позволяет симметризовать по инвариан-
тные переменные и анзацы из табл. 1. Результаты такой симметризации приведены
в табл. 2. Отметим, что векторы C (a) , a = 1, 2, 3, которые фигурируют в табл. 2,
1, a = b,
являются ортонормированными, т.е. C (a) C (b) = ?ab = a, b = 1, 2, 3.
0, a = b,

1. Niederer U., The maximal kinematical invariance group of the free Schr?dinger equation, Helv.
o
Phys. Acta, 1972, 45, № 5, 808–816.
2. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, D. Reidel Publ.
Соmр., 1987, 214 p.
3. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математи-
ческой физики, в Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
4. Fushchych W.I., Cherniha R.M., The Galilean relativistic principle and nonlinear partial differential
equations, J. Phys. A: Math. and Gen., 1985, 18, № 18, 3491–3503.
5. Fushchych W.I., Serov N.I., On some exacht solutions of the three-dimensional nonlinear Schr?din-
o
ger equation, J. Phys. A: Math. and Gen., 1987, 20, L929–L933.
6. Хакен Г., Синергетика, M., Мир, 1980, 408 с.
7. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в Теоретико-алгебраические иссле-
дования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
8. Овсянников Л.В., Групповый анализ дифференциальных уравнений, M., Наука, 1978, 400 с.
9. Фущич В.И., Чернига Р.М., О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений
шредингеровского типа, Препринт № 86.85, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1986, 44 с.
10. Баранник Л.Ф., Фущич В.И., О непрерывных подгруппах обобщенных групп Шредингера, Пре-
принт 87.16, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1987.—48 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 487–496.


Галилей-инвариантные нелинейные
уравнения шредингеровского типа
и их точные решения. II
В.И. ФУЩИЧ, Р.М. ЧЕРНИГА


Данная работа является продолжением [1] и посвящена в основном построе-
нию многопараметрических семейств точных решений нестационарных 3-мерных
уравнений (обозначения см. в [1])

k ? R1 , ? ? C1 ,
i?t = k?? + ??|?|4/3 , (1)

?|?| ?|?| ?2
|?| . (2)
i?t = k?? + ??
?xa ?xa

Приведены также некоторые результаты симметрийного анализа систем нели-
нейных уравнений с логарифмической нелинейностью.
1. Точные решения уравнения (1). Редукция уравнения (1) по оператору X1 =
P1 [1] приводит к нелинейному трехмерному уравнению

i?t = k?2 ? + ??|?|4/3 , (3)

где ?2 = ? 2 /?x2 + ? 2 /?x2 , ? = ?(t, x2 , x3 ). Для получения частных решений
2 3
уравнения (3) рассмотрим систему [2]

i?t = ??|?|4/3 , ? = 0,
(4)
?2 ? = 0.

Очевидно, что произвольное решение системы (4) удовлетворяет уравнению (3),
а следовательно, и (1). Представляя комплексную функцию ? через пару действи-
тельных функций R(t, x2 , x3 ) и P (t, x2 , x3 ) по формуле ? = R exp(iP ), получаем
общее решение системы (4)
?

<< Предыдущая

стр. 112
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>