<< Предыдущая

стр. 113
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? 3/4
? ? d2
? exp(i(d1 + d2 t)), ? ? R1 , d1 , d2 ? R1 ,
?
? ?
(5)
?=
? ? 3 (1?i ? )
?
? 4 ?
? d3 ? 4 ?t exp(id1 ), ? = ? + i?, ? = 0, ? ? R1 ,
?
3

которое является частным решением нелинейного уравнения (1).
Множитель eid1 в дальнейшем будем опускать, так как любое решение уравне-
ния (1) или (2), умноженное на eid1 , будет снова решением этого же уравнения.
Укр. мат. журн., 1989, 41, № 12, 1687–1694.
488 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

Редукция уравнения (1) по оператору X2 = J приводит к линейному уравнению
(19) [1] с дополнительным нелинейным условием ??? = ? 2 , ? > 0. Используя пред-
ставление комплексной функции ? через пару действительных функций R(t, x) и
P (t, x), получаем

(6)
? = ? exp(iP (t, x)).

Подставляя (6) в уравнение (19) [1], после некоторых преобразований приходим
к системе
?P 1 ?P 1 ?P 1
(7)
=k , ?P1 = 0,
?t ?xa ?xa
где

P 1 (t, x) = P (t, x) + ?? 4/3 t. (8)

В предположении Pt1 = ? = const с учетом результатов работы [3] удается
построить общее решение системы (7), которое приводит к решению уравнения
(1) в виде плоской волны

? = ? exp{i((kba ba ? ?? 4/3 )t + ba xa )}, (9)

где b1 , b2 , b3 — произвольные действительные параметры.
Проверкой нетрудно убедиться, что система (7) не имеет радиальных решений
вида P 1 = P 1 (t, |x|2 ).
Редукция уравнения (1) по оператору X3 при ?0 = 0 [1] приводит к нелинейно-
му эллиптическому уравнению

k?? + ??|?|4/3 = 0, (10)
? = ?(x).

Пусть в уравнении (10)

?a ? R1 . (11)
? = ?(w), w = ?a xa ,

Тогда получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго поряд-
ка

|?|2 = ?a ?a .
k|?|2 ?ww + ??|?|4/3 = 0,

В случае действительной функции ? это уравнение является уравнением Эмде-
на–Фаулера, частным решением которого является функция [4] ? = ?/w3/2 , ? =
(?15|?|2 k/4?)3/4 , ?k < 0.
Таким образом, получаем стационарное решение уравнения (1)
3/4
15|?|2 k
?a ? R1 , (12)
?(x) = , ?k < 0.
?4?(?a xa )2
Отметим также, что в случае ?k > 0 выражение (12) задает комплексное решение
уравнения (1).
Если в уравнении (10) положить

r = |x|2 , (13)
? = ?(r),
Галилей-инвариантные нелинейные уравнения 489

то получим ОДУ второго порядка

d2 ? d? ?
+ ?|?|4/3 = 0,
4r +6
2
dr dr k
которое имеет частное решение ? = (?15k/4?r)3/4 .
Следовательно, с учетом (13) находим еще одно стационарное решение уравне-
ния (1)
3/4
15k
(14)
?(x) = .
?4?|x|2

Решение (14) в отличие от предыдущих решений обладает свойством ?(x) > 0
при |x| > ?. Отметим, что решение (12) стремится к нулю при ?a xa > ?.
Для получения солитоноподобных решений уравнения (1) рассмотрим редукци-
онное уравнение (20) [1] при ?a = 0, соответствующее алгебре X3 . С помощью
анзаца (11) в случае действительных ? и ? уравнение (20) [1] сводится к нели-
нейному ОДУ второго порядка

d2 ?
k|?|2 + ?0 ? + ??7/3 = 0. (15)
2
dw
Общее решение уравнения (15) в элементарных функциях получить не удается,
так как его решение сводится к интегрированию выражения

(c1 ? ?1 ?2 ? ?1 ?10/3 )?1/2 d?,
c2 ± w = (16)

c1 , c2 ? R1 .
?0 3?
где ?1 = |?|2 k , 5k|?|2 ,
?1 =
Интеграл в правой части (16) подстановкой ?1 = ??2/3 преобразуется к инте-
гралу ? 3 (c1 ?5 ??1 ?2 ??1 )?1/2 d?1 , который при c1 = 0 в элементарных функциях
1 1
2
не выражается и даже не сводится к эллиптическому [5].
Если c1 = 0, ?1 = 0, (т.е. ?0 = 0), то из соотношения (16) с учетом (11)
получаем решение (12) уравнения (1).
Пусть в выражении (16) c1 = 0 и ?1 ?1 = 0, так как ? — действительная
функция, то возможны три случая:
а) ?1 < 0, ?1 < 0, т.е. ?0 k < 0, ?k < 0;
б) ?1 > 0, ?1 < 0, т.е. ?0 k > 0, ?k < 0;
в) ?1 < 0, ?1 > 0, т.е. ?0 k < 0, ?k > 0.
В случае а) получаем решение нелинейного ОДУ (15)
?3/2
3? 2w
sh c2 ±
?= ,
3|?| ?k/?0
5?0

в случае б) —
?3/2
?3? 2w
cos c2 ±
?= ,
5?0 3|?| k/?0
490 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

в случае в) —
?3/2
?3? 2w
ch c2 ±
?= .
3|?| ?k/?0
5?0

Следовательно, с учетом (11) и соответствующего оператору X3 анзаца (см.
таблицу 1 [1]) из этих решений при c2 = 0 получаем решения исходного уравне-
ния (1)
exp(i?0 t)
(17a)
?(t, x) = v , ?k < 0, ?0 k < 0,
3/2
? sh (?a xa )

exp(i?0 t)
(17b)
?(t, x) = v , ?k < 0, ?0 k > 0,
3/2
[ ?? cos(?a xa )]
exp(i?0 t)
(17a)
?(t, x) = v , ?k > 0, ?0 k < 0,
3/2
[ ?? ch (?a xa )]
где ? = 3?/5?0 , ?a ?a = 4|?0 |/9|k|, ?a — произвольные действительные параметры.
Редукция нелинейного уравнения (1) по оператору X4 = J12 + ?J, ? ? 0,
приводит к трехмерному нелинейному уравнению (21) [1], которое в случае дей-
ствительной функции ? = ?(w), w = x2 + x2 сводится к ОДУ второго порядка
1 2

d2 ? ?2
d? ?
? ? ? R1
w2 w?7/3 = 0,
+w ?+
2
dw dw 4 4k
с частным решением
3/4
k ?2 ? 9
4
(18)
?= .
?w

Воспользовавшись табл. [1] и формулой (39) [1] из решения (18) получим ре-
шение нелинейного уравнения (1)
?3/4
C (2) x
|x|2 ? (C (3) x)2
3/4
(19)
?(t, x) = A exp i? arctg (1) ,
Cx
где A = k(?2 ? 9/4)/? > 0, C (1) , C (2) , C (3) — трехмерные ортонормированные
действительные векторы.
Ко всем построенным решениям уравнения (1) можно применить формулу ра-
змножения (37) [1] и тогда получим неразмножаемые многопараметрические се-
мейства решений. Поскольку выражения получаются довольно громоздкими, мы
приводим в таблице результаты размножения построенных решений с помощью
более простых формул (34) и (38) [1].
В случае ?2 = ?3 = ?2 = ?3 = 0, ?1 = v, k = ?1 из решения (?) (см. таблицу)
получаем решение
9?2
exp ?iv x1 + v ? 2v1 t
2 2
(20)
?(t, x1 ) = v 3/2
[ ?? ch (?1 x1 + ?1 vt)]
№ формулы
№ Новое решение полученное Новое решение полученное
исходного
п/п применением формулы (34) [1] применением формулы (38) [1]
решения
(5) 3 i? 2
3
? 3 1? i? |?|2
i 4? ? 4 1? ?
4 ?
? = ? + i?, t
exp
1 t? 2 d2 +
?a xa +
d2 ? 4 ?t exp ? i|x|
3 2k 2 3t 4kt
?=0
(9) |x|2
?? 4/3 ?kba ba +ba xa
?t?3/2 exp i
2 ? exp i ba xa + kba ba ? ?? 4/3 t ? 4kt
t
? ? R1
3/4 3/4 2
(12) 15k|?|2 15k|?|2
|?|2 t
i
exp
3 ?a xa + exp ? i|x|
2k 2 4kt
?4?(?x)2
?4?(?a xa +?a ?a t)2
? ? R1
3/4 3/4 2
(14) 15k 15k
|?|2 t
i
exp
4 ?a xa + exp ? i|x|
2k 2 4kt
?4?|x+?t|2 ?4?|x|2
? ? R1
|?|2
(17a) i
Галилей-инвариантные нелинейные уравнения




exp i
?a x a + +2k?0 t
2k 2 exp[? 4kt (|x|2 +4?0 )]

<< Предыдущая

стр. 113
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>