<< Предыдущая

стр. 114
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?k < 0,
5
[v? sh (?a xa +?a ?a t)]3/2 (v? t sh ?atxa )3/2
?0 k < 0
|?|2
(17b) i
exp i
?a x a + +2k?0 t
2k 2 exp[? 4kt (|x|2 +4?0 )]
?k < 0,
6 v v
[ ?? cos (?a xa +?a ?a t)]3/2 ( ?? t cos ?atxa )3/2
?0 k > 0
|?|2
(17c) i
exp i
?a x a + +2k?0 t
2k 2 exp[? 4kt (|x|2 +4?0 )]
?k > 0,
7 v v
3/2
[ ?? ch (?a xa +?a ?a t)] ( ?? t ch ?atxa )3/2
?0 k < 0
(2) (2)
|?|2 t |x|2
i +2k?
A3/4 exp ?a x a +
2k 2
arctg C (1) x A3/4 exp i ? arctg C (1) x ? 4kt
(18) C x C x
8
[|x+?t|2 ?(C (3) (x+?t))2 ]3/4 [|x|2 ?(C (3) x)2 ]3/4
? ? R1
491
492 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

одномерного (n = 1) нелинейного уравнения

?2?
i?t = ? 4/3
2 + ??|?| , ? < 0.
?x1

Решение (20) естественно назвать солитонным по аналогии с известным реше-
нием Захарова–Шабата [6]
2?2
exp ? iv x1 + ?
v 1
t
? 2 2 v
? ?1
?(t, x1 ) =
2 ch (?1 x1 + ?1 vt)
нелинейного уравнения Шредингера

?2?
i?t = ? 2 + ??|?|2 , ? < 0.
?x1

2. Точные решения уравнения (2). Редукция уравнения (2) по оператору
X2 [1] преобразует его к свободному уравнению Шредингера (1) [1] с дополни-
тельным условием (6). Подстановка (6) в уравнение (1) [1] приводит к системе (7)
для функции P (t, x). Следовательно, получаем плосковолновое решение нелиней-
ного уравнения (2)

ba ? R1 . (21)
? = ? exp{i(kba ba t + ba xa )},

Рассмотрим теперь нелинейное эллиптическое уравнение

?|?| ?|?| ?2
|?| = 0, (22)
k?? + ??
?xa ?xa
которое получается из уравнения (2) редукцией по оператору X3 при ?0 = 0 [1].
Любое решение уравнения (22) будет стационарным решением уравнения (2). Но
из этих стационарных решений, применяя формулы размножения, полученные в
[1], мы можем построить многопараметрические семейства нестационарных реше-
ний. Таким образом, представляется важным построить классы точных решений
уравнения (22).
Пусть в уравнении (22)

ca ? C1 , (23)
? = ?(w), w = ca xa ,

тогда для ? получаем ОДУ второго порядка
2
d2 ? ? d|?|
|?|?2 = 0. (24)
ca ca +?
dw2 k dw

Если ca ca = 0, то уравнение (24) превращается в тождество и получаем реше-
ние уравнения (2)

(25)
? = F (ca xa ),

где F — произвольная дважды дифференцируемая комплексная функция.
Галилей-инвариантные нелинейные уравнения 493

Если ca ca > 0, ca ? R1 , то уравнение (24) в случае ?/k = ?1 удается полностью
проинтегрировать и получить решение исходного нелинейного уравнения (2)
v
exp d3 ? d1 w ± i 2 arctg exp(2d1 w + d2 /2)
(26)
?(x) = ,
1 + exp(4d1 w + d2 )
где d1 > 0, d2 , d3 ? R1 , w = ca wa .
Если ca ca > 0 и ?/k = ?1, то нетрудно построить частное решение уравнения
(24), которое приводит к решению
? = (ca xa + c0 )1/?1 , (27)
?1 = 1 + ?/k = 0
уравнения (2).
Для построения новых решений уравнения (22) преобразуем его к системе двух
действительных уравнений с помощью замены
(28)
? = R(x) exp{iP (x)},
где R, P — действительные функции.
Подставляя (28) в уравнение (22), получаем систему нелинейных уравнений
?
?R = RPa Pa ? Ra Ra /R,
(29)
k
R?P = ?2Pa Ra ,
которая заменой
?/k = ?1,
exp{R1 (x)},
(30)
R=
?/k = ?1, ?1 = 1 + ?/k
(R1 )1/?1 ,
сводится соответственно к системам
?P = ?2Ra Pa ,
?R1 = Pa Pa , 1
(31)
?1 = 0,
21
R1 ?P = ?
?R1 = ?1 R1 Pa Pa , (32)
R Pa , ?1 = 0
?1 a
(индексы a = 1, 2, 3 у функций P , R, R1 обозначают дифференцирование по пере-
менным xa ).
Так как в случае P (x) = const, ?R1 = 0, т.е. R1 — решение уравнения Лапласа,
системы уравнений превращаются в тождества, воспользовавшись (28) и (30),
получим семейство стационарных решений уравнения (2)
exp{R1 (x)}, ?1 = 0,
(33)
?(x) =
(R1 (x))1/?1 , ?1 = 0.
1
В частности, для фундаментального решения R1 = трехмерного уравнения
|x|
Лапласа получаем решение уравнения (2)
?
?exp 1 , ?
? = ?1,
? |x| k
(34)
?(x) =
? ?1/?
? ?
?|x| = ?1.
1
,
k
494 В.И. Фущич, Р.М. Чернига

Рассмотрим теперь систему (31) с дополнительным условием
(35)
?P = 0.
Как известно, частное решение уравнения (35) задается формулой
P = f (ca xa ) + f (c? xa ), (36)
a

где ca ca = 0, f — произвольная дважды дифференцируемая действительная фун-
кция.
Подставляя выражение (36) в систему (31), после соответствующих преобразо-
ваний, в предположении, что R1 = R1 (ca xa , c? xa ) получаем ОДУ
a

d2 R 1
= 1, V (x) = if (ca xa ) ? if (c? xa ). (37)
a
dV 2
Решая уравнение (37) и пользуясь формулами (28), (30), получаем еще одно
семейство решений уравнения (2) при ?/k = ?1, которое содержит произвольную
функцию
1
? (f (ca xa ) ? f (c? xa ))2 +
?(x) = exp a
2
+ id1 (f (ca xa ) ? f (c? xa )) + i(f (ca xa ) + f (c? xa )) ,
a a

где ca ca = 0, d1 , d2 ? R1 .
Подстановка выражения (36) в систему (32) после соответствующих выкладок
позволяет получить решение нелинейного уравнения (2)
? v v
? d1 exp ?1 V (x) + d2 exp ? ?1 V (x) 1/?1 ?
?
?
?
? ? exp{i(f (ca xa ) + f (c? xa ))}, ?1 > 0,
a
?(x) = v v
? d cos ?? V (x) + d sin ?? V (x) 1/?1 ?
?1
?
? 1 2 1
?
? exp{i(f (ca xa ) + f (c? xa ))}, ?1 < 0,
a

где ca ca = 0, d1 , d2 ? R1 , V (x) см. (37).
Все построенные выше стационарные решения нелинейного уравнения (2) легко
розмножить с помощью соответствующих формул [1] до многопараметрических
семейств нестационарных решений.
В заключении отметим, что в данной работе мы воспользовались только неско-
лькими редукционными уравнениями из четырнадцати, полученных в [1], для на-
хождения точных решений нелинейных уравнений (1), (2). С большим или мень-
шим успехом можно воспользоваться и другими редукционными уравнениями.
К сожалению, при дальнейшей редукции этих уравнений очень часто получаю-
тся нелинейные ОДУ второго порядка, которые не интегрируются в элементарных
функциях.
3. Нелинейные ДУРП с логарифмической нелинейностью. В работе [7]
доказано, что уравнение теплопроводности с нелинейным источником
? ? R1 , (38)
?Ut = ?U + ?U ln U, U = U (t, x1 , . . . , xn )
инвариантно относительно алгебры Ли AG(1, n) с базисными операторами
Jab = xa ?b ? xb ?a , (39a)
P t = ?t , Pa = ?a , a, b = 1, n,
Галилей-инвариантные нелинейные уравнения 495

?t
Ga = et ?a ? xa I. (39b)
I= e U ?U ,
2
Алгебра AG(1, n) (39) принципиально отличается от алгебры Галилея AG(1, n)
коммутационными соотношениями [Pt , Ga ] = Ga , [Pt , I] = I. Операторы Ga гене-
рируют группу преобразований
xa = xa + va et , a = 1, n,
t = t,
? va va
U = U exp ? et xa va + et ,
2 2
где va — произвольные действительные параметры.
Представляется полезным найти системы нелинейных ДУЧП, инвариантных
относительно алгебры AG(1, n). С этой целью рассмотрим системы нелинейных
эволюционных уравнений вида (3) [1]
(1) (1) (1)
= Aab (? (1) , ? (2) )?ab + B (1) (? (1) , ? (2) , ? (1) , ? (2) ),
? 1 ?t
1 1
(40)
(2) (2) (2)
Aab (? (1) , ? (2) )?ab (2) (1) (2) (1)
, ? (2) ),
?2 ?t = +B (? ,? ,?
1 1

(m)
где Aab , B (m) , m = 1, 2, — произвольные дифференцируемые комплексные или
действительные функции.
Теорема. Система уравнений (40) инвариантна относительно алгебры AG(1, n)
с базисными операторами (39а) и
et
Ga = et ?a ? xa I?
(?1 ? (1) ??(1) + ?2 ? (2) ??(2) ),

<< Предыдущая

стр. 114
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>