<< Предыдущая

стр. 118
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

c
Z? (x), Z? ?x Z? )
µ 3 ? µ µ 3 ? µ 2 µ
Z= d xx = d x (2x? x
Z?

of conserved quantities having polarization nature. In (34) the densities Z of con-
served quantities are expressed in the terms of Lipkin’s Zilch tensor [7] (in Kibble’s
notation [8])

Z? ? Z? , Z? = F ?? ?F?? ? ?F ?? F?? .
µ 0|µ 0|µ ,µ ,µ
(35)

The conservation laws (34) were found in [4–10] without using the L-approach and
Noether theorem (except in ref. [10], where a parameter-dependent Lagrangian in
terms of potentials was used).

1. Krivsky I.Yu., Simulik V.M., Ukr. Fiz. Zh., 1985, 30, 1457.
2. Krivsky I.Yu., Simulik V.M., Voprosy Atomn. Nauki Tehn., Series: Obshchaya Yad. Fiz., 1986,
1(34), 29.
3. Sudbery A., J. Phys. A, 1986, 19, L33.
4. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Simulik V.M., On vector Lagrangians for the electromagnetic and
spinor fields, Preprint 87.54, Inst. Mathematics Acad. Sci. Ukr. SSR., 1987.
5. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Kyiv, Naukova Dumka, 1983
(English translation: Dordrecht, D. Reidel, 1987).
6. Bessel-Hagen E., Math. Ann., 1921, 84, 258.
7. Lipkin D.M., J. Math. Phys., 1964, 5, 696.
8. Lipkin D.M., J. Math. Phys., 1965, 6, 879.
9. Kibble T.W.B, J. Math. Phys., 1965, 6, 1022.
10. Fairlie D.B., Nuovo Cimento, 1965, 37, 897.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 511–535.

Нелиевские симметрии и нетеровский
анализ законов сохранения
для уравнения Дирака
В.И. ФУЩИЧ, И.Ю. КРИВСКИЙ, В.М. СИМУЛИК
Сформулировано и доказано обобщение теоремы Нетер о законах сохранения на слу-
чай произвольных преобразований инвариантности уравнений математической физи-
ки. Найдены новые алгебры инвариантности уравнения Дирака (128-мерная алгебра
инвариантности уравнения с m = 0 и 44-мерная алгебра инвариантности уравнения
с m = 0). Соответствующие законы сохранения вычислены по теореме Нетер и по
приведенному обобщению этой теорема.

Введение
Цель настоящей работы — провести нетеровский анализ законов сохранения
для уравнения Дирака, порождаемых различными (как лиевскими, так и нели-
евскими) симметриями, на основе теоремы Нетер [1–5] и ее обобщения. Под
нетеровским анализом мы понимаем следующее. Если некоторое уравнение ма-
тематической физики получено как следствие вариационного принципа, а именно,
если найдена функция Лагранжа такая, что для нее уравнения Эйлера–Лагранжа
совпадают с данным уравнением (или эквивалентным ему), то законы сохранения
вычисляются по известной формуле, задаваемой теоремой Нетер.
Нетеровский анализ законов сохранения применялся до сих пор только в случае
лиевских симметрии (т.е. преобразований инвариантности уравнений математиче-
ской физики, задаваемых лиевскими операторами, которые порождают локальные
преобразования).
Нетеровский анализ законов сохранения для уравнения Дирака — следствий
локальных лиевских алгебр инвариантности, задаваемых генераторами из класса
операторов Ли [6, 7], — выполнен в [4] . Сохраняющиеся величины — следствия
нелиевских [8–11] алгебр инвариантности уравнения Дирака — найдены в [11] без
использования теоремы Нетер, поскольку соответствующее обобщение теоремы
Нетер отсутствовало среди известных обобщений этой теоремы [2–5]. Также не по
теореме Нетер находились и бесконечные серии законов сохранения zilch-типа [12,
13] для уравнения Дирака, поэтому нетеровская связь этих законов с симметрий-
ными свойствами уравнения Дирака не исследована и представляет интерес. Толь-
ко сравнительно недавно [14] теорема Нетер обобщена на случай преобразований
из групп Ли–Беклунда, а в [15, 16] теорема Нетер обобщена для произвольных
нелиевских преобразований инвариантности, которые включают преобразования
Ли–Беклунда в качестве частного случая. Многочисленные примеры нелиевских
преобразований инвариантности уравнений Дирака и Максвелла найдены в [8–11].
Даже для такого хорошо известного объекта, как спинорное поле, существует
много методик нахождения сохраняющихся величин, соответствующих той или
иной симметрии уравнения Дирака, например, [4, 12, 13]. Иначе говоря, одному
Препринт 89.49, Киев, Институт математики АН УССР, 1989, 39 c.
512 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

и тому же преобразованию инвариантности уравнения Дирака по разным мето-
дикам соответствуют различные сохраняющиеся величины. И поэтому из разли-
чных соответствий “оператор симметрии — закон сохранения” необходимо выбрать
физически адекватное соответствие для всего множества преобразований инвари-
антности уравнения Дирака, соответствующих как лиевским, так и нелиевским
симметриям.
Выбор физически адекватного соответствия “оператор симметрии — закон со-
хранения” можно осуществить с помощью теоремы Нетер в рамках лагранжева
подхода (L-подхода) для спинорного поля ?, поскольку этот подход основан на
релятивистски инвариантной форме принципа наименьшего действия, который яв-
ляется более общим, чем сами уравнения движения. Аргументом в пользу физи-
ческой адекватности устанавливаемого таким путем соответствия “оператор сим-
метрии — закон сохранения” является то, что по этой методике геометрическим
симметриям, связанным о однородностью и изотропностью пространства–времени,
соответствуют хорошо известные энергия-импульс и 4-момент количества движе-
ния. В настоящей работе на основе теоремы Натер установлено, каким симметриям
уравнения Дирака соответствуют законы сохранения zilch-типа, обсуждавшиеся в
[12, 13]. Для этой цели, кроме обобщения теоремы Нетер пришлось установить
новые симметрийные свойства уравнения Дирака. Эти новые симметрии уравне-
ния Дирака аналогичны найденным в [17, 18] симметрия уравнений Максвелла,
которые в [17–24] были использована для нетеровского анализа электромагни-
тных законов сохранения. Для различных форм уравнений Максвелла была уста-
новлена 32-мерная алгебра инвариантности A32 в классе простейших нелиевских
операторов — классе L1 матрично-дифференциальных операторов первого порядка
по переменной x, а также и соответствующая ей группа инвариантности. Именно
такому классу операторов, а не более узкому классу — классу операторов Ли, при-
надлежат сами операторы rot, div и (i? µ ?µ ? m) уравнений Максвелла и Дирака.
Нахождений простейшей нелиевской алгебры инвариантности A32 основыва-
лось на том факте, что генератор преобразования Хевисайда–Лармора–Райнича
[25–27] (НLR) для уравнений Максвелла коммутирует с генераторами других ли-
евских симметрии этих уравнений, что дает возможность значительно расширить
алгебру инвариантности в классе L1 путем привлечения композиции оператора
HLR и операторов других лиевских симметрии. Эта алгебра инвариантности по-
строена в [17, 18], а позже в работе [28].
В этом отношении уравнение Дирака обладает значительно более богатой сим-
метрией, чем уравнение Максвелла, поскольку для него существует 8 операторов,
подобных оператору HLR, в случае m = 0 и 4 оператора в случае m = 0. По-
этому представляет интерес отыскание соответствующей алгебры инвариантности
для уравнения Дирака.
Настоящая работа посвящена нахождению алгебр и соответствующих групп
инвариантности уравнения Дирака в классе L1 и анализу соответствующих со-
храняющихся величин на основе теоремы Нетер и ее обобщения. Установлена
нетеровская связь дополнительных законов сохранения zilch-типа с симметрия
уравнения Дирака, задаваемыми операторами из класса L1 .
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 513

1. Обобщение теоремы Нетер на нелиевские симметрии
1.1. Используемые обозначения, понятия и исходные предположения. Обо-
значим через Rx (r + 1)-мерное многообразие:

Rx = {x}, x = (x0 , x1 , . . . , xr ) = (xµ )r ? (xµ ), µ = 0, r ? 0, 1, . . . , r, (1)
µ=0

через C m — m-мерное комплексное многообразие (m-мерная комплексная пло-
скость); через ? = ?(·) — m-компонентную комплекснозначную функцию над
Rx :

? = (?1 , . . . , ?m ) = (?s )m ? (?s ) : Rx > C m . (2)
s=1

Изложение иллюстрируем на примере (произвольной) системы

s = 1, m ? 1, 2, . . . , m,
F s (x, ?(x), ?µ ?(x), ?µ ?? ?(x)) = 0, (3)

m уравнений в частных производных для ? = ?(·) не выше второго порядка,
которую записываем также в матричной форме

F = (F s )m ? (F s ), (3a)
F (x, ?(x), ?µ ?(x), ?µ ?? ?(x)) = 0, s=1

где
2
F : Rx ? C m(r+2+(r+1) > C m.
)
(4)

Систему (3) иногда кратко называем уравнением (3a) = (3).
Пусть для уравнения (3) построен L-подход, т.е. найдена такая функция

L = L(x, ?, ?,µ ), L : Rx ? C m(r+2) > R1 , (5)

что множество ?0 ? ? экстремалей действия

W (?) ? ? ? ?, dx ? dx, dx ? dx0 dx1 · · · dxr , (6)
dxL? (x),
Rx

где dx — мера Лебега в Rx ,

L? (x) ? L(x, ?(x), ?µ ?(x)), ? ? ?, x ? Rx , (7)

совпадает с множеством ?0 решений уравнения (3). Иначе говоря, требуется, что-
бы система уравнений (3) совпадала или была эквивалентна системе уравнений
Эйлера–Лагранжа (ЭЛ)
? ?
? ?L ?
?L ?L
? ? ?µ ? s ??
s ??s
?? ??,µ
? > ?(x) ? > ?(x)
(8)
?,µ > ?µ ?(x) ?,µ > ?µ ?(x)

?L ?L
? | ? ?µ | = 0, s = 1, m,
??s ??s,µ

(символ —| обозначает замену

? > ?(·) ? ?, ?,µ > ?µ ?(·),
Cm Cm (9)
514 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

а по дважды повторяющемуся индексу подразумевается суммирование в области
его изменения).
Индекс ? у L? (x) подчеркивает тот факт, что определяемая по (7) функция
L? : Rx > R1 является композицией функций L (5) и ? ? ?, т.е. вид функции L?
(7) зависит как от вида функции L (5), так и от вида функции ? ? ?. Функцию
L (5) естественно назвать первичной функцией Лагранжа, а функцию L? (7) —
вторичной функцией Лагранжа. Здесь достаточно, чтобы функция L (5) была
непрерывно дифференцируема по каждому из своих аргументов в области ее опре-
деления и чтобы область ? определения действия W (6) состояла из некоторого
множества непрерывно дважды дифференцируемых функций ? (2).
Систему уравнений ЭЛ (8) записываем также в матричной форме
m
?L ?L ?L ?L ?L ?L
? | ? ?µ | = 0, ? ? (8a)
??s ??s
?? ?? ??,µ ?? s=1

и кратко называем уравнением ЭЛ (8a) = (8). Подчеркнем еще раз, что точное сов-
падение уравнения ЭЛ (8) с уравнениями (3) не обязательно, требуется лишь их
эквивалентность, т.е. совпадение множества решений уравнений (3) с множеством
?0 ? ? экстремалей действия (6).
Кроме действия W (6) используем также действие

dxL? (x) ? ? ? Rx , ? ? ?, (10)
W (?, ?) = dxL(x, ?(x), ?µ ?(x)),
? ?

где ? — произвольное борелево множество в Rx .
Пусть в Rx заданы n-параметрические инфинитезимальные преобразования
x > x = x + ?a ?a (x) ? x + ?(x, ?) ? Rx , ? ? (?a )n ? Rn , (11)
a=1

покомпонентно
xµ > x µ = xµ + ?a ?µ ? xµ + ?µ (x, ?);
a
(11a)
?a ? (?a )µ=0 : Rx > Rx ,
µr


в которых (2r + 1)n функций ?µ непрерывны, т.е. удовлетворяют условиям
a

?a (x + ?a ?a (x)) = ?a (x) + Ra (x, ?),
(12)
lim Ra (x, ?) = 0, x ? Rx .
?>0

Для обсуждения вопроса о законах сохранения (ЗС), порождаемых различными
преобразованиями инвариантности (ПИ) уравнения (3) или, что все равно, урав-
нения ЭЛ (8) или, наконец, множества ?0 ? ?, достаточно рассматривать инфи-
нитезимальные преобразования в области ? опеределения действия (10). Полезно
различать три типа преобразований в ?.
А. Преобразованиями первого типа называем инфинитезималльные n-парамет-
рические преобразования
?
?(x) > ? (x) = (1 + ?a Qa (x))?(x) ? F (?(x), x, ?), ?, ? ? ?, (13)
покомпонентно
?
?s (x) > ? s (x) = ?s (x) + ?a Qs (x)?s (x) ? F s (?(x), x, ?), (13a)
as
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 515

где
? ?
? ? ?
Qa ? (Qs ), | ? ?µ (x) µ ?(x) ?
s
Qa ?(x) = fa (?, x)
as a
s
?? ?x
(14)
??
? ?
s
?µ (x)?µ ?(x),
fa (?, x) a

<< Предыдущая

стр. 118
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>