<< Предыдущая

стр. 119
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

??s ?>?(x)

а функции
fa ? (fa )m : C m ? Rx > C m
s
(15)
s=1

непрерывны, т.е. удовлетворяют условиям

f0 (? + ?a fa (?, x), x + ?a ?a (x)) = fa (?, x) + Ra (?, x, ?), (16)

(?, x) ? C m ? Rx . (16a)
lim Ra (?, x, ?) = 0,
?>0

? ? ?
Слагаемые в Qa = Q1a ? Q2a :
??
?
Q1a ?(x) = fa (?, x) s| ? fa (?(x), x)?s (x),
s s
(17)
??
µ
Q2a ?(x) = ?a (x)?µ ?(x)
называем, соответственно, “спиновой”, и “орбитальной” частями преобразования
(13).
Б. Прообразованиями второго типа называем инфинитезимальные n -парамет-
рические преобразования
?(x) > ? (x) = ?(x) + ? b (?b ?)(x) ? ?(x) + (?(?)?)(x), (18)
? ? b = 1, n ,
задаваемые по существу произвольными линейными операторами ?b , b = 1, n в ?,
?
не связанными с преобразованиями аргумента функции ? ? ?.
В. Преобразованиями третьего типа называем следующую специфическую
композицию преобразований первого и второго типов:
??
?(x) > ? (x) = ?(x) + ?a (? Qa ?)(x) = ?(x) + (?Q)(x), (19)
?
где
?
Q(x, ?) ? ?a Qa ?(x), (20)
а ? — любой из операторов ?b в (18).
? ?
Смысл преобразований (19) в ? как специфической композиции преобразова-
ний (13) первого типа и преобразований (18) второго типа в том, что оператор ?
?
применяется не к преобразованной по закону (13) функции ? ? ?, а только к
“?-малой” добавке (20) к функции ? в формуле (13).
Сделаем несколько разъясняющих замечаний.
Преобразования (13) первого типа задаются функциями ?a в (11a) и fa (15),
удовлетворяющими условиям (12) и, соответственно, (16), и суть стандартные пре-
образования Ли в ?. При этом “орбитальные” операторы
?a (·) ? ?µ (·)?/?xµ (21)
? ?a
516 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

— генераторы преобразований аргумента функций ? ? ? — можно считать за-
данными на подходящей области, например, в гильбертовом пространстве L2 (Rx )
? C k с любым k, где можно корректно решать вопрос о коммутационных соотно-
шениях для операторов ?a (21), а также о восстановлении конечных “орбитальных”
преобразований по экспоненциальному ряду
?
?(x, ?) = exp(?a ?a (x)) ? exp(?a ?µ (x)?µ ). (22)
? a

“Спиновые операторы”
? ?s
fa (·, x) ? fa (·, x)?/??s (23)
— генераторы преобразований значений ?(x) функций ? ? ?, обычно называемых
преобразованиями формы, — можно считать заданными на соответствующей обла-
сти в гильбертовом пространстве L2 (C m ) ? C k с любым k, где можно корректно
решать вопрос о коммутационных соотношениях для операторов fa (23), а также о
восстановлении конечных “спиновых” преобразований по экспоненциальному ряду
F1 (?, x, ?) = exp(?a fa (?, x)) ? exp(?a fa (?, x)?/??s ).
s
(24)
Спиновые операторы могут параметрически зависеть от x. Если они не зави-
сят от x, то преобразования (13) (и порождаемые ими конечные преобразования)
называют локальными.
Если операторы (21) удовлетворяют соотношениям
c
(25)
[?a , ?b ] = Cab ?c ,
?? ? a, b, c = 1, n,
с некоторыми числами Cab , то операторы {I, ?a } — суть генераторы алгебры Ли
c
?
c c
A(Cab ), определяемой структурными константами Cab , а конечные преобразования
(22) образуют соответствующую группу Ли G. Если операторы (23) удовлетворяют
?
тем же коммутационным соотношениям (25), то натянутая на орты {I, fa } алгебра
c
есть представление алгебры Ли A(Cab ), а конечные преобразования (24) образуют
либо представление группы Ли G, либо же оба представления (22) и (24) образуют
?
представление некоторой накрывающей группы Ли G.
Здесь мы не будем обсуждать вопросы, связанные с математически корректным
определением и восстановлением конечных преобразований, порождаемых инфи-
нитезимальными преобразованиями (13) с произвольными функциями ?µ и fa , s
a
поскольку формулировка и доказательство теоремы Нетер о ЗС не связана ни
с конечными преобразованиями, ни с вопросом о том, порождают ли инфините-
зимальные преобразования (13) какую-либо группу или даже алгебру, и какую
именно. Тем более, что в простейших случаях, которыми иллюстрируется ниже
данное рассмотрение, конечные преобразования практически легко восстанавли-
ваются.
Замечания последнего абзаца относится также и к преобразованиям (18) вто-
рого и (19) третьего типов. При этом важно подчеркнуть, что в преобразованиях
(18) второго типа операторы ? могут вовсе не быть операторами Ли. Они мо-
?
гут быть преобразованиями Ли–Беклунда или более общими, например, псевдо-
дифференциальными операторами ПИ уравнений математической физики, много-
численные примеры которых рассмотрены в работах [8–11], или даже операторами
дискретных преобразований (например, C-, P -, T -операторами). В этом смысле па-
раметризацию преобразований (18) второго типа можно рассматривать лишь как
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 517

способ нумерации (индексификации) различных операторов ?b в ?, так что термин
?
“инфинитезимальные” в отношении преобразований (18) может оказаться весьма
условным.
В отличие от этого преобразования (13) первого типа ассоциируются с теми
же параметрами, что и преобразования (11) в Rx . Последние хотя бы для неко-
торого подмножества параметров ? обычно ассоциируются с преобразованиями
перехода от одних систем отсчета к другим, и тогда параметры ? = (?a ) (или
хотя бы часть из них) имеют четкий физический смысл. Преобразования (11) в Rx
поэтому называются геометрическими. Параметры ? = (?a ) преобразований (19)
третьего типа не обязательно совпадают с параметрами ? в (11), совпадает лишь
их число; важно, однако, что при формулировке теоремы Нетер о ЗС для преобра-
зований (19) третьего типа область ? в действии (10) преобразуется так же, как
и в случае преобразований (13) первого типа, т.е. лишь за счет геометрических
преобразований (11).
В этой связи может показаться, что нет смысла различать преобразования тре-
тьего и первого типов. Однако существенное отличие преобразований (13) первого
и (19) третього типов хотя бы в следующем. Даже в том случае, когда опера-
?
тор ? в (19) (как и операторы Qa (14), определяющие преобразования (13)) есть
?
операторы Ли, оператор результирующего преобразования (19) уже не есть опе-
ратор Ли [6, 7, 11]. Например, в простейщем случая, когда ? есть пространство
двухкомпонентных функций ? = (?1 , ?2 ), а

?1
0
?=??
Q(x, ?) = ?µ ?µ ?(x), (26)
? ,
1 0

(т.е. в (17) fa (?, ?) = 0, ?µ (x) = ??a ), для (19) получаем
s µ
a

?
? (x) = ?(x) + ?µ ??µ ?(x) ? [? + Q(?, x, ?)?]?>?(x) , (27)

так что нелиевость генератора преобразований (27) очевидна:

?2 ?2
? ??
Q(?, x, ?) = ?µ ?1 2
(27a)
.
??2 ?xµ ??1 ?xµ

В этом частном случае, когда оператор ? — матричный, оператор (27а) есть опе-
?
ратор Ли–Беклунда. Но, конечно, для произвольного оператора ? преобразования
?
(19) выходят за клас Ли–Беклунда.
Заключительное замечание касается возможности объединить преобразования
(13), (18) и (19) всех трех рассматриваемых типов единой формулой. Для этого
введем многомерный параметр

? = (?, ?, ?) ? (? u ), ? = (? c ? ? ab );
? = (?a ), ? = (? b ),
(28)
u = 1, (n + n + nn ), a = 1, n, b = 1, n , c = 1, nn .

Используя параметры (28), все три инфинитезимальные преобразования (13), (18)
и (19) можно записать в виде
?
?(x) > ?(x, ?) = ?(x) + ? u (Ru ?)(x) ?
(29)
? ??
? ?(x) + ?a Qa ?(x) + ? b ?b ?(x) + ? ab ?b Qa ?(x).
?
518 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

В сущности, инфинитезимальность рассматриваемых здесь преобразований в
Rx и ? означает, что ввиду независимости параметров ? µ фактически рассматри-
ваются семейства однопараметрических преобразований

x > x = x + ??u (x) ? Rx ; (30)
u = a, b, ab; ?b = 0, ?ab = ?a ;

?
?(x) > ?u (x, ?) = ?(x) + ?Ru ?(x), (31)

где ? ? ?u = ?a при u = a, ? = ? b при u = b и ? = ? ab при u = ab,
? ? ? ? ??
Rb = ?b , Rab = ?b Qa . (31a)
Ra = Qa , ?

1.2. Формулировка и доказательство обобщенной теоремы Нетер о законах
сохранения.
Теорема 1. Пусть при каждом однопараметрическом преобразовании (30) в Rx
функции ? ? ? преобразуются по закону (31), а действие W (10) по закону

W (?, ?) > Wu (?, ?, ?) = (32)
dxL(x, ?u (x, ?), ?µ ?u (x, ?)),
?u

где ?u есть область в Rx , полученная из области ? ? Rx преобразованием
x > x ? ??u (x), обратным к преобразованию (30) (в линейном по параметру ?
приближении). Пусть сужение W 0 = W |?0 действия (10) на множество ?0 ? ?
решений уравнений ЭЛ (8) инвариантно относительно каждого преобразова-
ния (32), т.е.

для ?, ?u ? ?0 , ? ? Rx , (33)
Wu (?, ?, ?) = W (?, ?) u = a, b, ab.

Тогда на подмножестве ?0 ? ? имеют место следующие ЗС в дифференциаль-
ной форме
µ
(34)
?µ Ru (x) = 0, u = a, b, ab,
µ
где компоненты тока Ru = (Ru ) в матричной записи имеют вид
?L ?
Ru (x) ? ?µ (x)L? (x) + |Ru ?(x).
µ
(35)
u
??,µ
Если, кроме того, компоненты (35) токов Ru равны нулю на бесконечности
в Rx ? Rx (где x ? (x1 , . . . , xr ) ? x), то следующие величины сохраняются:

?
Ru (t) ? 0
(36)
dxRu (x) = const, u = a, b, ab, dx = dx,
Rx

где t ? x0 , а dx ? dx1 · · · dxn есть мера Лебега на подмножестве Rx ? Rx .
Доказательство. Прежде всего требуется вычислить правую часть (32) инфините-
зимально, т.е. в линейном по параметру ? приближении. Произведя в (32) замену
переменных интегрирования

x > x + ??u (x) =? ?u > ?,
(37)
dx > Ju (x, ?)dx, Ju ? det |?µ (x? + ??? (x))|,
u
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 519

получаем

(38)
Wu (?, ?, ?) = dxJu (x, ?)Lu (x, ?),
?

где

Lu (x, ?) ? L(x + ??u (x), ?u (x + ??u (x), ?), (?µ ?u )(x + ??u (x), ?)), (39)

??u (x, ?)
(?µ ?u )(x + ??u (x), ?) ? (39a)

<< Предыдущая

стр. 119
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>