<< Предыдущая

стр. 12
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

L15 = J12 + G3 + ?P4 (n ? 5); Lr = Xr + G2r+1 + ?P2r+2 (r = [n ? 3/2]);
16
L17 = P0 ; L18 = M ; L19 = P1 ; L20 = G1 ; L21 = G1 + P2 ; L22 = J0n ;
L23 = J0n + ?P1 ; L24 = G1 + P0 ; L25 = J12 + ?(G3 + P0 ) (n ? 4);
r
R26 = Xr + ?(G2r+1 + P0 ) .
Описание ПСИ абелевых подалгебр алгебры AP (1, n) содержится в доказыва-
емых ниже предложениях.
Пусть
1/2 1/2
s s
gki ki x2i x2i
µ(x; k1 , . . . , ks ) = , h(x; k1 , . . . , ks ) = ,
k k
i=1 i=1
x2k
1/2
?(k, x) = x2 2
2k?1 + x2k , ?(k, x) = arcsin .
1/2
x2 x2
+
2k?1 2k

m
?aj J2j?1,2j ; (a = 1, . . . , r; m ?
Предложение 1.1. Пусть Xa = J2a?1,2a +
j=r+1
[n/2]). ПСИ алгебры L = X1 , . . . , Xr составляют функции:

?(d, x) (d = 1, . . . , m), x0 , x2m+1 , . . . , xn ,
r
(1.1)
?bq ?(b, x) ? ?(q, x) (q = r + 1, . . . , m).
b=1
Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 51

Доказательство. Hепосредственными вычислениями получаем, что
J2d?1,2d (?(b, x)) = 0, J2d?1,2d (?(c, x)) = 0 при c = d, J2d?1,2d (?(d, x)) = ?1.
Значит, функции (1.1) суть инвариантны алгебры L. Очевидно, codim L = n+1?r.
Число функций (1.1) также равно n + 1 ? r. Остается доказать их функциональную
независимость.
Пусть ?(k) — функциональная матрица, соответствующая
r
?bl ?(b, x) ? ?(l, x) (l = r + 1, . . . , k).
?(t, x) (t = 1, . . . , k),
b=1

Легко видеть, что с точностью до нумерации строк и столбцов
? ?
?(k) 0 0
? ?
x2k+1 x2k+2
?0 ?
? ?
1/2 1/2
?(k + 1) = ? ?.
x2 2 x2 2
2k+1 + x2k+2 2k+1 + x2k+2
? ?
? ?
x2k+2 x2k+1
?2
* 2 2 x2k+1 + x2
x2k+1 + x2k+2 2k+2

Так как
x2k+1 x2k+2
= x2 2
2k+1 + x2k+2 ,
?x2k+2 x2k+1
то ранг ?(k + 1) = ранг ?(k) + 2. Очевидно, ранг ?(r + 1) = r + 2. Следовательно,
ранг ?(m) = 2m ? r. Предложение доказано.
Предложение 1.2. ПСИ алгебры
L = G1 , G2 + ?2 P2 , . . . , Gt + ?t Pt
составляют функции
t
x0 ? xn
x0 ? xn , xt+1 , . . . , xn?1 , ?x2 x2 x2 + x2 . (1.2)
+ +
x0 ? xn + ?i i
0 1 n
i=2

Доказательство. Очевидно, Ga (x0 ?xn ) = 0, (Ga +?a Pa ) x2 ? x2 = 2xa (xn ?x0 ).
n 0
Отсюда вытекает, что функция (1.2) суть инварианты алгебры L. Очевидно, эти
инварианты являются функционально независимыми. Остается установить, что их
число совпадает с codim L. Составляем матрицу ? из функций при ?0 , ?1 , . . . , ?t , ?n
в генераторах алгебры L:
? ?
x1 x0 ? xn ···
0 0 x1
? x2 x2 ?
x0 ? xn + ?2 · · ·
0 0
? ?.
?· ·?
· · ··· ·
· · · · x0 ? xn + ?t xt
xt 0
Обведенный минор порядка t равен
(x0 ? xn )(x0 ? xn + ?2 ) · · · (x0 ? xn + ?t ).
Значит, ранг ? = t, а потому codim L = n + 1 ? t. Предложение доказано.
52 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Предложение 1.3. Пусть
s
Xi = Gi + ?i Pi + ?ij Pj (i = 1, . . . , m),
j=m+1

L = X1 , . . . , Xm . ПСИ алгебры L составляют функции
m
x0 ? xn
x0 ? xn , xs+1 , . . . , xn?1 , ?x2 x2 + x2 ,
+
x0 ? xn + ?i i
0 n
i=1
m
?ij xi
? xj (j = m + 1, . . . , s).
x0 ? xn + ?i
i=1

Предложение 1.4. Пусть
s
Xa = J2a?1,2a + ?aj (Gj + ?j Pj ) (a = 1, . . . , r).
j=2r+1

ПСИ алгебры X1 , . . . , Xr составляют функции
?(a, x) (a = 1, . . . , r), x0 ? xn , xs+1 , . . . , xn?1 ,
r
?aq (x0 ? xn + ?q )?(a, x) + xq (q = 2r + 1, . . . , s),
a=1
s
x0 ? xn
?x2 x2 + x2 .
+
x ? xn + ?q q
0 n
q=2r+1 0

Предложение 1.5. Пусть
t
Xa = J2a?1,2a + ?aj Pj (a = 1, . . . , r),
j=2r+s+1
t
Yb?2r = Gb + ?b Pb + ?bj Pj (b = 2r + 1, . . . , 2r + s).
j=2r+s+1

ПСИ алгебры X1 , . . . , Xr , Y1 , . . . , Ys составляют функции
?(a, x) (a = 1, . . . , r); x0 ? xn , xt+1 , . . . , xn?1 ;
2r+s
x0 ? xn
?x2 + x2 ;
+
x0 ? xn + ?b
0 n
b=2r+1
r 2r+s
xb
?aj ?(a, x) ? ?bj + xj (j = 2r + s + 1, . . . , t).
x0 ? xn + ?b
a=1 b=2r+1

Предложение 1.6. Пусть
s
Xa = J2a?1,2a + ?a J0n + ?aj Pj (a = 1, . . . , r).
j=2r+1
Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 53

ПСИ алгебры X1 , . . . , Xr составляют функции

?(a, x) (a = 1, . . . , r); µ(x; 0, n); xs+1 , . . . , xn?1 ;
r r
?a ?(a, x) ? ln(x0 ? xn ); xj + ?aj ?(a, x) (j = 2r + 1, . . . , s).
a=1 a=1

Предложение 1.7. Пусть
s s
Xa = J2a?1,2a + ?aj Pj (a = 1, . . . , r), X = J0n + ?j Pj .
j=2r+1 j=2r+1

ПСИ алгебры X1 , . . . , Xr , X составляют функции

?(a, x) (a = 1, . . . , r), µ(x; 0, n), xs+1 , . . . , xn?1 ,
r
?aj ?(a, x) + ?j ln(x0 ? xn ) + xj (j = 2r + 1, . . . , s).
a=1

Предложение 1.8. Полную систему инвариантов алгебры J0n + ?P1 , P2 , . . . , Pk
составляют функции

µ(x; 0, n), ? ln(x0 ? xn ) + x1 , xk+1 , . . . , xn?1 .

Предложение 1.9. Пусть Xa = J2a?1,2a (a = 1, . . . , r),

L = M, X1 + ?1 (P0 + G2r+1 ), . . . , Xr + ?r (P0 + G2r+1 ) .

ПСИ алгебры L составляют функции
r
?a ?(a, x) + x0 ? xn ,
?(a, x) (a = 1, . . . , r),
a=1

(x0 ? xn )2 ? 2x2r+1 , x2r+1 , . . . , xn?1 ;

ПСИ алгебры L/ M составляют основные инварианты алгебры L и

(x0 ? xn )3 ? 3(x0 ? xn )x2r+1 + 3xn .

Предложение 1.10. Пусть

L = M, X1 + ?1 P0 , . . . , Xr + ?r P0 , Xa = J2a?1,2a (a = 1, . . . , r).

ПСИ алгебры L составляют функции
r
?a ?(a, x) + x0 ? xn ,
?(a, x) (a = 1, . . . , r), x2r+1 , . . . , xn?1 ;
a=1

ПСИ алгебры L/ M составляют функции
r
?(a, x) (a = 1, . . . , r), ?a ?(a, x) + x0 , x2r+1 , . . . , xn?1 , xn .
a=1
54 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Теорема 1.2. Пусть Lj (j = 1, . . . , 26) — система представителей классов со-
пряженных одномерных подалгебр алгебры AP (1, n), выписанная в следствии 2
из теоремы 1.1. Полную систему инвариантов алгебры Lj составляют такие
функции:
L1 : ?(1, x), x0 , x3 , . . . , xn ;
?(a, x) (a = 1, . . . , t), ?j ?(1, x) ? ?(j + 1, x) (j = 1, . . . , t ? 1),
Lt :
2
x0 , x2t+1 , . . . , xn ;
L3 : ?(1, x), ??(1, x) + x0 , x3 , . . . , xn ;
Lt : ?(a, x)(a = 1, . . . , t), ??(1, x) + x0 , x2t+1 , . . . , xn ,
4
?j ?(1, x) ? ?(j + 1, x) (j = 1, . . . , t ? 1);
?(1, x), x0 ? xn , 2?(1, x) + x0 + xn , x3 , . . . , xn?1 ;
L5 :
?(a, x) (a = 1, . . . , s), ?j ?(1, x) ? ?(j + 1, x) (j = 1, . . . , s ? 1),
Ls :
6
x0 ? xn , 2?(1, x) + x0 + xn , x2s+1 , . . . , xn?1 ;
L7 : ?(1, x), µ(x; 0, n), ??(1, x) + ln(x0 + xn ), x3 , . . . , xn?1 ;
Ls : ?(a, x) (a = 1, . . . , s), µ(x; 0, n), ??(1, x) + ln(x0 + xn ),
8
?j ?(1, x) ? ?(j + 1, x) (j = 1, . . . , s ? 1), x2s+1 , . . . , xn?1 ;
L9 : ?(1, x), ??(1, x) + x3 , x0 , x4 , . . . , xn ;
?(a, x) (a = 1, . . . , s), ?j ?(1, x) ? ?(j + 1, x) (j = 1, . . . , s ? 1),
Ls :
10
??(1, x) + x2s+1 , x0 , x2s+2 , . . . , xn ;
L11 : ?(1, x), ??(1, x) + x3 , µ(x; 0, n),
??(1, x) + ln(x0 + xn ), x4 , . . . , xn?1 ;
Lr : ?(a, x) (a = 1, . . . , r), ??(1, x) + x2r+1 , µ(x; 0, n),
12
?j ?(1, x) ? ?(j + 1, x) (j = 1, . . . , r ? 1), ??(1, x) + ln(x0 + xn ),
x2r+2 , . . . , xn?1 ;
?(1, x), x0 ? xn , (x0 ? xn )?(1, x) + x3 , µ(x; 0, 3, n), x4 , . . . , xn?1 ;
L13 :
?(a, x) (a = 1, . . . , r), ?j ?(1, x) ? ?(j + 1, x) (j = 1, . . . , r ? 1),
Lr :
14
x0 ? xn , (x0 ? xn )?(1, x) + x2r+1 , µ(x; 0, 2r + 1, n), x2r+2 , . . . , xn?1 ;
?(1, x), x0 ? xn , (x0 ? xn )?(1, x) + x3 , µ(x; 0, 3, n),
L15 :

<< Предыдущая

стр. 12
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>