<< Предыдущая

стр. 120
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

.
?xµ x>x+??u (x)

Вычисление нужных величин в линейном по параметру ? приближении (т.е.
инфинитезимально), как легко убедиться, дает
i
Ju (x, ?) = 1 + ??µ ?µ (x),
u
i ?
?u (x + ??u (x), ?) = ?(x) + ?(Ru + ?? (x)?? )?(x),
u
i ?
?µ ?u (x, ?) = ?µ ?(x) + ??µ Ru ?(x),
i ?
(?µ ?u )(x + ??u (x), ?) = ?µ ?(x) + ?(?? (x)?? ?µ + ?µ Ru )?(x),
u
(40)
i ?
Lu (x, ?) = L(x + ??u (x), ?(x) + ?(Ru + ?? (x)?? )?(x),
u
?L µ
i
?
?µ ?(x) + ?(?? ?? ?µ + ?µ Ru )?(x) = L? (x) + ? |? (x) +
u
?xµ u
?L ? ?L ?
|(Ru + ?? (x)?? )?(x) + (?? (x)?? ?µ + ?µ Ru )?(x)
+ u u
?? ?? µ
(суммирование по u не подразумевается).
При выводе приведенных инфинитезимальных равенств существенно использу-
ются условия (12) и (16) на функции ?a и fa , линейность оператора ?b , непре-
?
рывная дифференцируемость первичной функции Лагранжа L (5) и непрерывная
дважды дифференцируемость функции ? ? ?.
С учетом (40) для линейного по ? приращения действия за счет преобразования
(32) получим
?L ?
i
?Wu ? Wu ? W = ? dx ?µ ?µ L? (x) + |Ru ?(x) +
u
??
?
(41)
?L ?
|?µ Ru ?(x) , ? ? ?.
+
??,µ
Сужение этого равенства на подмножество ?0 ? ?, где выполняются уравнения
ЭЛ (8а), дает
?L ?
dx?µ L? (x)?µ (x) + |Ru ?(x) , ? ? Rx , ? ? ?0 .
? 0 Wu = ? (42)
u
?? µ
?

Теперь, ввиду произвольности ? и ? ? Rx , условие ? 0 Wu = 0 теоремы 1 (т.е.
инвариантность сужения действия W (10) на подмножество ?0 ? ? относительно
преобразования (32)) приводит к равенству нулю подинтегрального выражения в
(41) в каждой точке x ? Rx , т.е. к утверждению (34). Интегрируя (34) по dx
520 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

по всему множеству Rx ? Rx , при условии исчезновения на бесконечности в Rx
µ
компонент Ru (x) токов Ru , получаем

dx?µ Ru (x) ? ?0
µ 0 j 0
(43)
0= dxRu (x) + dx?j Ru (x) = ?0 dxRu (x),

что и означает справедливость утверждения (36). Теорема доказана.
Сделаем несколько замечаний в связи с приведенной теоремой.
Замечание 1. Во избежание громоздкости выкладок мы упростили приведенное
выше рассмотрение тем, что в функции Лагранжа L (5) опустили сопряженные
??
переменные ?, ?,µ , которые непременно появляются в случае, когда строится
L-подход для уравнения (3) как уравнения для комплекснозначной функции ?
(2), в этом случае первичная функция Лагранжа есть функция удвоенного числа
переменных (а также переменной x ? Rx ):
? ?
L = L(x, ?, ?, ?,µ , ?,µ ), L : Rx ? C m(2r+3) > R1 . (5a)

При этом и действие W (6) становится функционалом удвоенного числа перемен-
ных

?
W (?, ?) = dxL?? (x) =
?
(6a)
? ? ?
?, ? ? ?,
= dxL(x, ?(x), ?(x), ?µ ?(x), ?µ ?(x)),

?
причем независимые переменные ?, ? без каких-либо ограничений можно считать
пробегающими одно и то же множество ?. С учетом этого, кроме уравнения ЭЛ
(8) = (8a), появляется “сопряженное” к нему уравнение
?L ?L ?L ?
? ? | ? ?µ ? |, ?, ? ? ?0 . (8б)
?
?? ?? ? ?,µ
?
Независимые переменные ?, ? ? ? на подмножестве ?0 ? ? экстремалей действия
?
W (6а) становятся зависимыми, причем для ? ? ?0 применяется надлежащее
“правило сопряжения”

?+ (x) ? (?(x))?T ;
?
?(x) > ?(x) = ?+ (x)?0 , (44)

здесь матрица ?0 выбирается такой, чтобы уравнение (8б) было эквивалентным
уравнению (8а) = (8) и следовательно, исходящему уравнению (3a) = (3).
При формулировке теоремы Нетер о ЗС с учетом указаного уточнения прио-
?
бразование (31) в ? дополняется преобразованием переменной ? ? ? следующим
образом:
<
?
?
Ru ? ??1 Ru ?0 ,
? ? ? ? ? ? ?+
?(x) > ?u (x) = ?(x) + ??(x)Ru , (31б)
0

?
?
где стрелка “<” в (31б) обозначает, что дифференциальная часть оператора Ru
действует налево, т.е.
<
? <
?
df
(?(x)Ru )s = ?s (x)(??1 R+ ?0 )s ? (??1 Ru ?0 )s ?s (x).
? ? ? ?+ ? (45)
u s s
0 0
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 521

µ
Нетрудно убедиться, что с учетом этого уточнения для компонет Ru токов в
ЗС (34) вместо формулы (35) теорема Нетер дает

<
? ?L
?L ? ? ?
|Ru ?(x) + ?(x)Ru ? |,
µ
?µ (x)L?? (x) (35a)
Ru (x) = +
?
u
??,µ ? ?,µ
0
причем конструкция (36) именно с Ru (x) и (35а) есть сохраняющаяся величина.
Приведенное уточнение существенно по крайней мере в двух пунктах. Во-
?
первых, именно привлечение концепции ? как независимой лагранжевой перемен-
ной дает возможность корректно рассматривать в L-подходе такие преобразования
инвариантности уравнения (3), как преобразования из алгебры A8 (см. раздел 2
и замечание 5). Во-вторых, — и это, по-видимому, наиболее существенно, — да-
же в случае вещественных многокомпонентных функций ? иногда невввозможно
построить удовлетворительный L-подход, не привлекая концепцию сопряженных
?
переменных ?. Подобная ситуация возникает при построениии релятивистски ин-
вариантного L-подхода для электромагнитного поля в терминах напряженностей
(E, H) = (B µ? ) [17–24].
Замечание 2. Хорошо известно, что функция Лагранжа L (5а), для которой урав-
нения ЭЛ (8а, б) эквивалентны даному уравнению (3a) = (3), не единственна,
причем различные функции Лагранжа (5а) могут отличаться друг от друга бо-
лее чем на слагаемое, которое во вторичной функции Лагранжа L?? совпадает
?
с дивергенцией ?µ F (x) некоторой функции F : Rx > R . Функции Лагранжа,
1

для которых уравнения ЭЛ хотя и различны, но эквивалентны даному уравне-
нию, в работах [29–31] названы s-эквивалентными. Примеры таких существенно
различных функций Лагранжа для электромагнитного поля приведены в работах
[17–24]. Ясно, что одно и то же преобразование инвариантности (31) уравнения
(3) при различных s-эквивалентных функциях Лагранжа дает по данной теореме
Нетер разные сохраняющиеся величины. Ситуация здесь аналогичны той, которая
возникает при вычислении законов сохранения другими методами (см. например,
[11–13, 32–34]), т.е. не по теореме Нетер, а, например, по формулам

? ??
dx?+ (x)M Ru ?(x) (46)
Ru =

?
с различными метрическими операторами M , при которых конструкция (46) есть
сохраняющаяся величина.
В этой связи возникают вопросы, например, о том, какой из различных со-
храняющихся величин отдать предпочтение в качестве соответствующей данному
преобразованию инвариантности (31). Или, какая из сохраняющихся величин, со-
ответствующих генератору ?0 трансляций во времени при различных способах
их вычисления является энергией системы. Наконец, какая из s-эквивалентных
функций Лагранжа является предпочтительной и чем именно.
В случае некоторых известных полей удается дать вполне определенные ответы
на эти вопросы. Например, в случае спинорного поля из всех способов нахождения
сохраняющихся величин можно отдать предпочтение способу вычисления сохра-
няющихся величин по данной теореме Нетер и по скалярной функции Лагранжа
(см. ниже L (80)), поскольку именно при таком соглашении временному сдвигу
522 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

t > t = t + a0 в Rx с вещественным положительным параметром a0 , порождаю-
щему преобразование инвариантности (31) уравнения Дирака в виде
?
?(x) > ?a0 (x) = (1 + a0 Ra0 )?(x) ? (1 ? a0 ?0 )?(x), (47)

соответствует энергия спинорного поля, т.е.
?L ? ?L | =
? ?
Ra0 ? |(??0 )? + (??0 ?) dx?+ H?,
dx
??,0 ??,0 (48)
?
?
H ? ?p + ?m, pj = ?i?j .

В случае электромагнитного поля указанный критерий дает возможность найти
подходящую функцию Лагранжа в терминах напряженностей E и H в релятивис-
тки инвариантном L-подходе для этого поля [20–24].
Замечание 3. Условие (33) данной теоремы Нетер о ЗС, эквивалентное требова-
нию, чтобы преобразование (31) было преобразованием инвариантности уравнения
(3), является, конечно, достаточным, но не необходимым.
В разделе 2 приведен пример однопараметрического семейства преобразований
(31) для спинорного поля, которые не являются преобразованиями инвариантности
уравнения Дирака (с m = 0), но для которых утверждение (36) выполняется. Одна-
ко, во-первых, этот факт обнаружен лишь для специфических преобразований, а
именно, собственно конформных преобразований, генераторы которых выражаю-
тся через генераторы группы Пуанкаре (см. [11], а также теорему 4 в [15]), и,
во-вторых, вычисление ЗС по формулам (35а), (36) даже в таких случаях разум-
но называть нетеровскими, поскольку результат таких вычислений оказывается
совпадающим с вычислением этих ЗС по теореме Нетер (т.е. по формулам (35а),
(36) с использованием соответствующих преобразований инвариантности уравне-
ния Дирака). Таким образом, если для некоторого поля ? величина, вычисленная
по нетеровским формулам (35а), (36), оказывается сохраняющейся, то нетеровская
формула (36) в этом смысле “восстанавливает” преобразование инвариантности
уравнения движения (3) для этого поля.
Конкретизируем теорему в случае конформной группы C(1, 3) преобразований
и некоторых ее обобщений.
Через 15 вещественных параметров

? = (?a )15 = (a, ?, b, ?), a = (aµ ), ? = (? µ? ), b = (bµ ), (49)
a=1

(где aµ — сдвиг вдоль оси µ = 0, 3, ? µ? = ?? ?µ — угол поворота в плоско-
сти µ?, bµ и ? — параметры собственно конформных и масштабных преобра-
зований) запишем инфинитезимальные C(1, 3)-преобразования в пространстве-
времени Rx ? {x = (xµ )}, µ = 0, 3, в виде

1
x>x = 1 + aµ ?µ + ? µ? Mµ? + bµ Kµ + ?d x, (50)
2

?
?µ ? Mµ? = xµ ?? ? x? ?µ , (51a)
,
?xµ

Kµ = 2xµ d ? x2 ?µ , d = xµ ?µ . (51б)
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 523

Пусть в пространстве ? = {?} m-компонентных функций ?: Rx > C m (или в
C m ) задано некоторое локальное представление собственной ортохронной группы
Лоренца L+ = O+ (1, 3), определяемое матричными генераторами — (m ? m)-
s

<< Предыдущая

стр. 120
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>