<< Предыдущая

стр. 121
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

матрицами Sµ? = (Sµ?s ; s, s = 1, m), удовлетворяющими соотношениям
[Sµ? , S?? ] = g(µ? S??) ? gµ? S?? + g?? S?µ + g?? Sµ? + g?µ S?? . (52)
Пусь некоторая m ? m-матрица коммутирует со всеми матрицами Jµ? ,
(53)
[Sµ? , S] = 0.
Теорема 2. Операторы в ?
?
?µ? = Mµ? ? Sµ? , d = d ? S,
?µ = ?/?xµ , (54a)
j

?
?
Kµ = Kµ ? 2Sµ? x? ? 2Sxµ = 2xµ d ? x2 ?µ ? 2Sµ? x? , (54б)

задаваемые операторами (51) и любыми m ? m-матрицами Sµ? , S, удовлетво-
ряющими соотношениям (52), (53), являются образами в ? C(1, 3)-генераторов
(51), т.е. удовлетворяют тем же соотношениям (в ковариантной форме), что
и генераторы (51):
[?µ , ??? ] = gµ? ?? ? gµ? ?? , (55a)
[?µ , ?? ] = 0, j

[?µ? , ??? ] = ?g(µ? ???) ? ?gµ? ??? ? g?? ??µ ? g?? ?µ? ? g?µ ??? , (55б)
jj j j j j j

? ?j ?
?
[?µ , K? ] = 2(gµ? d ? ?µ? ), [?µ? , d] = 0, (55в)
[?µ , d] = ?µ , j

??
?j ? ? ? ??
[Kµ , ??? ] = gµ? K? ? gµ? K? , (55г)
[d, Kµ ] = Kµ , [Kµ , K? ] = 0.

Доказательство. Непосредственная проверка убеждает, что операторы (54) удо-
влетворяют соотношениям (55) при условиях (52), (53).
Инфинитезимальные C(1, 3)-преобразования в ?, порождаемые генераторами
(54), запишем в виде
1 ?
?
? (x) = (1 ? ?a qa )?(x) ? 1 ? aµ ?µ ? ? µ? ?µ? ? bµ Kµ ? ? d ?(x). (56)
? j
2
Здесь знаки выбраны так, чтобы орбитальные слагаемые (54), задаваемые опера-
торами (51), порождались обратным к (50) преобразованиям аргумента x функций
? ? ?. Слагаемое Sµ? в операторе ?µ? в (54а) называют оператором спина пре-
j
?
+
образований Лоренца O (1, 3). Аналогично этому слагаемое S в операторе d в
(54а) называют спином дилатации, а слагаемое Sµ ? 2Sµ? x? + 2Sxµ в (54б) на-
зываем конформным спином. Заметим, что каждое уравнение для поля ? нулевой
массы может быть инвариантно относительно C(1, 3)-преобразований (56) лишь с
некоторым фиксированным спином дилатации S.
Приведм удобную методику вычисления ЗС для C(1, 3)-преобразований (56) в
? и их определенных обобщений в виде легко проверяемого следствия теоремы 1.
Теорема 3. Пусть C(1, 3)-преобразования (56), порождаемые генераторами (54)
с некоторой матрицей S, суть преобразования инвариантности ЭЛ (8а, б) для
некоторого безмассового поля ? и выполняются все условия теоремы 1. Тогдя
524 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

µ
15 сохраняющихся величин Ra (35а), порождаемые C(1, 3)-алгеброй инвариан-
тности теории, имеют следующую структуру (в матричной форме записи):
?L ? ?L
P? = ??? L + |?? ? + (?? ?) ? |,
µ µ
(57)
??,µ ? ?,µ
µ µ µ
Dµ = S µ + x? P? ,
µ
(58)
J?? = M?? + S?? ,

K? = 2x? Dµ ? x2 P? + 2x? S?? ,
µ µ µ
(59)

где
?L ? ? ?L
Sµ ? ? |S? ? ?S ? |, (60)
??,µ ? ?,µ

M?? ? x? P? ? x? P? ,
µ µ µ
(61)

?L ? ? ?L
S?? ? ? |S?? ? ? ?S?? ? |.
µ
(62)
??,µ ? ?,µ

Пусть некоторый оператор ? коммутирует со всеми генераторами (54)
C(1, 3)-преобразований (56) в ? и является генератором преобразований ин-
вариантности уравнений ЭЛ (8а, б), так что преобразования (называемые
?C(1, 3)-преобразованиями)

?(x) > ? (x) = (1 ? ?a qa )?(x), (63)
? qa = ? q ,
? ?

суть пребразования инвариантности третьего типа (19). Тогда, наряду с то-
ками (57)–(59), сохраняющимися являются также токи

T?µ , µ
K?µ , D µ, (64)
J?? ,

которые вычисляются по формулам (57)–(59) с заменой в них базисных вели-
чин P? , S?? , S µ базисными величинами
µ µ


?L ? ? ?L
P?µ ? ??? ? + (?? ?)? ? ? ?? L,
µ
(65)
??,µ ? ?,µ

?L ? ? ? ?L
S?? ? ? ?S?? ? ? ?S?? ? ? ,
µ
(66)
??,µ ? ?,µ

?L ? ?? ?L
Sµ?? ?S? ? ?S? ? . (67)
??,µ ? ?,µ

В случае m = 0 очевидным образом сужается симметрия и число сохраня-
ющихся величин.
Доказательство теоремы проводится подстановкрй генераторов q (54) и генера-
?
торов q = ? q в формулу (35а) теоремы 1.
? ?
В следующем разделе иллюстрируется применение теоремы 1 и ее следствия —
теоремы 3 — в случае спинорного поля, удовлетворяющего уравнению Дирака.
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 525

Замечание 4. Отметим, что понятие базисных величин используется здесь только
для выработки простой и удобной методики нахождения ЗС и не связано с выде-
лением линейно или функционально независимых ЗС. Используемое нами понятие
базисных величин отличается от понятия базиса ЗС, введеного в [35]; последние
понятие, кстати, также не выделяет линейно или функционально независимые за-
коны сохранения.
2. Законы сохранения как следствия
нелиевских симметрий уравнений Дирака
2.1. Алгебры инвариантности уравнения Дирака в классе L1 . Класс L1 мат-
рично-дифференциальных операторов первого порядка по переменной x является
простейшим классом нелиевских операторов. Целесообразность выделения именно
этого класса для анализа симметрийных свойств уравнений Дирака и Максвелла
обусловлена двумя причинами. Во-первых, именно такому классу операторов при-
надлежат сами операторы этих уравнений, тогда как класс L0 операторов Ли явля-
ется более узким классом, чем класс L1 матрично-дифференциальных операторов,
которому принадлежат операторы уравнений Максвелла и Дирака. Во-вторых, ал-
гебра инвариантности в классе L1 легко восстанавливается до соответствующей
группы инвариантности (см. п. 2.3).
В [17] предложен способ расширения алгебры инвариантности уравнения (3),
задаваемой операторами Ли, до алгебры, задаваемой простейшими нелиевскими
операторами (см. теорему 6 в [17]). Проиллюстрируем применение этой методики
для спинорного поля, удовлетворяющего уравнению Дирака
(i? µ ?µ ? m)?(x) = 0, m ? 0, (68)
где для определенности выбрано представление Дирака–Паули ?-матриц:
?k
10 0
0 k
?4 = ?0?1?2?3, (69)
?= , ?= ,
0 ?1 ?? k 0

0 ?i
01 10
?1 = ?2 = ?3 = (70)
, , .
0 ?1
10 i0

В [4] показано, что максимальной алгеброй инвариантности уравнения Дирака
с m = 0 в классе L0 операторов Ли является 23-мерная алгебра C(1, 3) ? A8 , а в
случае m = 0 — 14-мерная алгебра P (1, 3) ? A4 .
Если параметры ? = (?a ) соответствующих групп преобразований веществен-
ны и в окрестности единицы задают преобразование ? ? ? в виде
?(x) > ? (x) = (1 ? ?a qa )?(x), (71)
?
то генераторы qa указанных преобразований имеют следующий явный вид: C(1, 3)-
?
генераторы — вид (54) с
1 3
S = ? I, (72)
Sµ? = (??µ ?? + ?? ?µ ),
4 2
(где I — единичная матрица, которую часто опускаем), а генераторы алгебры
A8 ? A4 (в случае, если выбрано представление (69) для ?-матриц) имеют вид
i? 2 C, ? 2 C; (73)
I, i,
526 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

?4, i? 4 , ? 0 ? 3 ? 1 C, i? 0 ? 3 ? 1 C, (74)

где генераторы A4 выделены формулою (73),
C? = ?? . (75)
Коммутационные соотношения генераторов (73), (74) имеют вид
[i, i? 2 C] = ?2? 2 C, [i, ? 2 C] = 2i? 2 C,
[? 2 C, i? 2 C] = ?2i, [i? 4 , ? 0 ? 3 ? 1 C] = 2i? 2 C,
[? 4 , i? 0 ? 3 ? 1 C] = ?2? 2 C, [? 0 ? 3 ? 1 C, i? 0 ? 3 ? 1 C] = 2i,
(76)
[i, ? 0 ? 3 ? 1 C] = ?2i? 0 ? 3 ? 1 C, [i, i? 0 ? 3 ? 1 C] = 2? 0 ? 3 ? 1 C,
[? 2 C, i? 4 ] = 2i? 0 ? 3 ? 1 C, [? 2 C, i? 0 ? 3 ? 1 C] = 2i? 4 ,
[i? 2 C, i? 4 ] = ?2? 0 ? 3 ? 1 C, [i? 2 C, ? 0 ? 3 ? 1 C] = ?2i? 4
(остальные коммутаторы равны нулю). Из теоремы 6 в [17] следует, что справе-
длива такая теорема.
Теорема 4. В классе L1 алгеброй инвариантности уравнения Дирака с m = 0
является 128-мерная алгебра A128 с базисными элементами
i? 2 C, ? 2 C, ? 4 , i? 4 , ? 0 ? 3 ? 1 C, i? 0 ? 3 ? 1 C,
I, i,
(77)
j, ? ?
q = (?, ? K, d), q = (i?, i? 2 C q , ? 2 C q , ? 4 q , i? 4 q , ? 0 ? 3 ? 1 C q , i? 0 ? 3 ? 1 C q ),
? ? q ? ?? ? ? ?
а алгеброй инвариантности уравнения Дирака с m = 0 является 44-мерная
алгебра A44 , натянутая на генераторы
q = (?, ?
i? 2 C, ? 2 C, q = (i?, i? 2 C q , ? 2 C q ), (78)
I, i, ? j), ? q ? ?

j, ? ?
где ?, ? K, d даны формулами (54). Алгебра A128 изоморфна алгебре
C(1, 3) ? C(1, 3) ? C(1, 3) ? C(1, 3) ? C(1, 3) ? C(1, 3) ? C(1, 3) ? C(1, 3) ? A8 ,
а алгебра A44 изоморфна алгебре
P (1, 3) ? P (1, 3) ? P (1, 3) ? P (1, 3) ? A4 .
Пользуясь соотношениями для ?-матриц
? µ ? ? + ? ? ? µ = 2g µ? , (79)
легко показать, что все генераторы (73), (74) алгебры A8 коммутируют или анти-
коммутируют с оператором уравнения Дирака, а именно, операторы I, i, i? 2 C, ? 2 C
из (73) коммутируют, а операторы ? 4 , i? 4 , ? 0 ? 3 ? 1 C, i? 0 ? 3 ? 1 C из (74) антиком-
мутируют с оператором i? µ ?µ . Поскольку вся восьмерка генераторов алгебры A8
коммутирует с массовым членом, то ясно, что только операторы (73) являются пре-
образованиями инвариантности уравнения Дирака при m = 0, а для случая m = 0
все восемь операторов (73), (74) являются преобразованиями инвариантности. Да-
лее, легко установить, что все операторы (73), (74) коммутируют с операторами
j, ? ?
?, ? K, d (54) и, кроме того, генераторы I, ? 2 C, i? 2 C, i? 4 являются эрмитовыми
(их квадраты равны единице), а генераторы i, ? 4 , ? 0 ? 3 ? 1 C, i? 0 ? 3 ? 1 C — анти-
эрмитовыми (их квадраты равны минус единице). Таким образом, выполняются
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 527

условия теоремы 6 в [17]. С учетом этого, а также из хорошо известного факта,
что уравнение Дирака при m = 0 конформно инвариантно, а при m = 0 — инва-
риантно только относительно преобразований из группы P (1, 3), становится ясной
справедливость утверждения теоремы 2.
2.2. Вычисление законов сохранения — следствий алгебр инвариантности
уравнений Дирака в классе L1 . Поскольку лагранжев подход для спинорного
поля, удовлетворяющего уравнению Дирака (68), хорошо известен, см., например,
[36, 37], а скалярная (относительно группы Пуанкаре) функция Лагранжа имеет
сравнительно простой вид
i?µ ? ? ?
L= (?? ?,µ ? ?,µ ? µ ?) ? m??, ? = ?+ ? 0 , (80)
2
то спинорное поле является удобным объектом для иллюстрации конкретного при-
менения приведенного в разделе 1 обобщения теоремы Нетер (тем более, что тео-
рема 2 дает простейшие нелиевские алгебры инвариантности).
Рассмотрим сначала случай m = 0.
Функция Лагранжа (80) приводит к следующему виду базисных величин (60)–
(62) для C(1, 3)-законов сохранения — следствий конформной алгебры инвариан-
тности уравнения Дирака с m = 0 в классе операторов Ли:
i?
??

<< Предыдущая

стр. 121
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>