<< Предыдущая

стр. 122
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

P? = ?? µ p? ? ? ?? ?? µ ?,
S µ = 0, µ
(81)
2
i? µ
?{? , S?? }+ ?, p? ? i?? , {A, B}+ ? AB + BA,
µ
(82)
S?? = ?
2
после чего легко выписать все 15 сохраняющихся токов по формулам (57)–(59).
Это приводит к хорошо известным C(1, 3)-сохраняющимся величинам для поля ?

d3 xPµ (x), (83)
Pµ =


d3 x(xµ P? ? x? Pµ + ?+ iSµ? ?), (84)
Jµ? =


d3 xD(x), (85)
D=


d3 x(2xµ D ? x2 Pµ + 2ix? ?+ Sµ? ?), (86)
Kµ =

где плотности энергии-импульса и дилатации имеют вид
Pµ (x) ? ?+ i?µ ? ? ?+ pµ ?, (87)
?

3
D(x) ? xµ Pµ + i?+ ?. (88)
2
?
Заметим, что результат (86) получается для оператора Kµ из (54б) не только
?
при S = ? 3 I (когда Kµ является генератором преобразования инвариантности
2
уравнения Дирака), но и в случае произвольного S = ? I с ? = ? 3 (т.е. когда
2
528 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

?
Kµ не является генератором преобразования инвариантности уравнения Дирака).
Это — конкретный пример, иллюстрирующий приведенное выше замечание 3 о
достаточности условий теоремы 1.
Из структуры ЗС (83)–(86) видно, что теорема Нетер дает следующую об-
щую формулу для C(1, 3)-сохраняющихся величин, реализующих определенное
соответствие “генератор — закон сохранения” для генераторов преобразований,
задаваемых вещественными параметрами:
?L ? q ?L
df
q a > qa = ?кв
d3 x d3 x?+ qa ?,
? ? qa ? + ??a ?
? =
??,0 ? ?,0 (89)
j, ? ?
? i?a , (?a ) = (?, ? K, d).
?кв
qa q q
Интересно отметить, что правая часть формулы (89) универсальна в том смыс-
ле, что подстановка в правую часть этой формулы любого генератора qa (77) ал-
гебры A128 дает сохраняющуюся величину:

d3 x?+ (x)?a ?(x) ? Q1a (t) = const, qa ? A128 (90)
i q ?

(в этой связи см. [32]). Однако вычисление сохраняющихся величин непосред-
ственно по обобщенной теореме Нетер (теорема 1, т.е. по формулам (35а), (36))
j, ? ?
для всех генераторов qa (77), кроме, конечно, C(1, 3)-генераторов q = (?, ? K, d),
? ?
дает сохраняющиеся величины, отличные от (90). В этой связи напомним, что
полученные в работах [12, 13, 32–34] формулы для бесконечных серий законов со-
хранения zilch дают, вообще говоря, другие методики вычисления ЗС для любого
из генераторов q ? A128 . Таким образом, одному и тому же преобразованию ин-
?
вариантности уравнения Дирака по разным методикам соответствуют различные
сохраняющиеся величины.
Очевидно, что физически адекватным соответствием генератор — закон со-
хранения можно считать соответствие, даваемое (обобщенной) теоремой Нетер, в
которой используется скалярная функция Лагранжа, поскольку именно этот путь
непротиворечивым образом реализует три основных физических принципа — прин-
цып наименьшего действия, принцип релятивизма и принцип, согласно которому
из однородности и изотропности пространства-времени следует такие хорошо изве-
стные сохраняющиеся величины, как энергия-импульс и 4-мерный момент коли-
чества движения спинорного поля. Законы сохранения, вычисленные по формулам
(35а), (36) с использованием скалярной функции Лагранжа (80), будем называть
нетеровскими.
Нетеровский ЗС q , соответствующий генераторам qa ? A8 , имеют вид
? ?

d3 x?+ ?, (91)
i=

1 ??
i? 2 C = ? d3 x(?+ ? 2 ? + ?? 2 ?+ ), (92)
2
i ??
?2C = ? d3 x(?+ ? 2 ? ? ?? 2 ?+ ), (93)
2

? 4 = ?i d3 x?+ ? 4 ?, (94)
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 529

i ? ?
?0?3?1C = ? d3 x(?+ ? 0 ? 3 ? 1 ? + ?? 0 ? 3 ? 1 ?+ ), (95)
2
1 ? ?
i? 0 ? 3 ? 1 C = ? d3 x(?+ ? 0 ? 3 ? 1 ? ? ?? 0 ? 3 ? 1 ?+ ) (96)
2

(генераторы I, i? 4 дают тривиальные сохраняющиеся величины). Нетеровские ЗС
для генераторов q ? A8 не совпадают с ЗС, получаемыми для этих генераторов по
?
формуле (90).
Вычислим теперь сохраняющиеся величины, соответствующие простейшим не-
лиевским преобразованиям инвариантности из A128 (77). Заметим, что ? 4 q , ? 2 C q ,
? ?
i? C q с q ? C(1, 3) дают тривиальные серии сохраняющихся величин, каждый
2
??
из 45 элементов которых равен нулю, поэтому токи, соответствующие указанным
генераторам, не выписываем.
Базисные i? 4 C(1, 3)-токи имеют вид
S µ ? (i? 4 )µ = 0, (97)
1?
?
P?µ ? (?i? 4 ?? )µ = ?? 4 ? µ ?? ? + ?? ?? µ ? 4 ?, (98)
2
1?
S?? ? (i? 4 S?? )µ = ? ?{? µ , S?? }? 4 ?.
µ
(99)
2
На основе полученных выражений 15 сохраняющихся токов этой серии выписыва-
ются без затруднений по формулам (98), (58), (59). Соответствующие законы со-
хранения имеют вид

d3 xPµ (x), (100)
Pµ =


d3 x(xµ P? ? x? Pµ ? ?+ ? 4 Sµ? ?), (101)
Jµ? =


d3 xD (x), (102)
D=


d3 x(2xµ D ? x2 Pµ ? 2x? ?+ ? 4 Sµ? ?), (103)
Kµ =

где
Pµ (x) ? ??+ ? 4 ?µ ? ? ?+ i? 4 pµ ?, (104)
?

3
D (x) ? xµ Pµ ? ?+ ? 4 ?. (105)
2
Базисные ? 0 ? 3 ? 1 CC(1, 3)-токи имеют вид
i ? µ 4 2 ? ?? 4 2 µ
? (?? 4 ? 2 C)µ =
µ
(106)
S (?? ? ? ? + ? ? ? ? ?),
2
i?
P? µ ? ? (?? µ ? 4 ? 2 ?? ?? + (?? ?)? 4 ? 2 ? µ ?),
? (107)
2
530 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

i?
S?? ? ? ?(? µ ? 4 ? 2 CS?? ? S?? C + ? 4 ? 2 ? µ )?,
µ
(108)
2
<
где C + = C . 15 сохраняющихся токов выписываются на основе этих выражений
по формулам (107), (58), (59). Соответствующие законы сохранения могут быть
записаны в виде общей формулы

q > q = ?Re d3 x?+ ? 4 ? 2 C q кв ?, q кв = i?, (109)
? ? ? ? q

где q — любой из 15 генераторов ? 0 ? 3 ? 1 CC(1, 3).
?
Наконец, базисные i? 0 ? 3 ? 1 CC(1, 3)-токи имеют следующий вид
i?
? (?i? 4 ? 2 C)µ = ? ?(? µ ? 4 ? 2 C ? C + ? 4 ? 2 ? µ )?,
µ
(110)
I
2
1?µ42
(?? ? ? ?? ?? ? (?? ?)C + ? 4 ? 2 ? µ ?),
?
?
µ
(111)
P?
2
1? µ 4 2
S??µ ? ?(? ? ? CS?? + S?? C + ? 4 ? 2 ? µ )?, (112)
2
а соответствующие законы сохранения – вид

q > q = ?Im d3 x?+ ? 4 ? 2 C q кв ?, q кв = i?, (113)
? ? ? ? q

где q — любой из генераторов i? 0 ? 3 ? 1 CC(1, 3). Остальные генераторы A128 (77)
?
дают тривиальные (нулевые) сохраняющиеся величины.
Как видно, обобщение теоремы Нетер на нелиевские преобразования инвари-
антности и наличие 128-мерной алгебры инвариантности A128 позволяют в случае
спинорного поля с m = 0 получить 45 дополнительных сохраняющихся вели-
чин (100)–(103), (109), (113). Тем самым систематизирован результат [12, 13] о
наличии дополнительных сохраняющихся величин zilch-типа и для безмассового
спинорного поля и указана связь этих законов сохранения с симметриями урав-
нения Дирака для m = 0. Эта связь зафиксирована нетеровским соответствием
“оператор симметрии — закон сохранения”.
Мы нормируем функцию Лагранжа (80) таким образом, чтобы исходным ге-
нератором qA , ассоциируемым с вещественными параметрами ?A преобразований
?
? > ? = (1 ? ?A qA )?, по теореме Нетер соответствовали вещественные сохра-
?
µ
няющиеся токи QA — функции спинорного поля ?. В этом случае интегральные
?
сохраняющиеся величины QA ? d3 xQ0 в представлении вторичного квантова-
A
ния переходят в эрмитовы операторы в пространстве Фока, удовлетворяющие тем
же коммутационным соотношениям, что и квантовомеханические операторы i?A . q
В случае уравнения Дирака (68) с m > 0 список сохраняющихся величин
оказывается значительно короче: алгебры P (1, 3) и A4 дают по теореме 1 известные
ЗС (83), (84), (91)–(93), а генераторы q в (77) алгебры A44 ? P (1, 3) ? A4 дают
?
по этой теореме тривиальные ЗС (нулевые сохраняющиеся величины).
Для получения содержательных дополнительных ЗС в случае m > 0 и для ил-
люстрации существенного различия в сохраняющихся величинах, вычисляемых по
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 531

разным методикам, рассмотрим семейства преобразований инвариантности урав-
нения Дирака (68) с m > 0 в классе матрично-дифференциальных операторов
первого порядка по x, задаваемые операторами:
1 b0 ?
a0 S · ? + p ? (? j ), H ? ? 0 (i? ? + m), (114)
?0 = H,
m 2

i 1 jmn m n
(bj ? aj ? 4 )?j , Sj ?
?j = aj ? 0 Sj + (114a)
? ??
2m 4
(здесь по повторяющемуся индексу j суммирование не проводится, ?123 = 1). Эти
операторы являются преобразованиями инвариантности уравнения Дирака (68) с
m > 0 при любых комплексных числах aµ , bµ , а при aj = i, bj = 1, a0 = b0 они
совпадают с операторами (34.4) в [11]. Сохраняющиеся величины, вычисляемые
по теореме 1, т.е. по формулам (35а), (36) с использованием функции Лагранжа
(80), имеют вид
b? ? b 0 ?
i+ ?
? ? (a0 ? a0 )S ? + 0
3

<< Предыдущая

стр. 122
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>