<< Предыдущая

стр. 123
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(115)
?0 = dx H?,
2m 2

?i(aj + a? ) 0 1
[bj ? b? ? (aj + a? )? 4 ]?j
j
? 3 +
(116)
?j = d x? ? Sj + ?
j j
2 4m

(здесь также по повторяющемуся индексу j суммирование не проводится).
Вычисление сохраняющихся величин, соответствующих тем же преобразовани-
ям инвариантности qa = ?µ (114), (114а), по формуле (90) дает результат, отли-
?
чный от (115), (116). Ясно, что генераторам преобразований инвариантности (114),
(114а) следует ставить в соответствие ЗС (115), (116), а не результаты вычислений
по формуле (90).
Заметим также, что сохраняющиеся величины (115), (116) совпадают с ЗС
(34.5) в [11], вычисленными в [11] без использования теоремы Нетер, при aj = 1,
a0 = b0 = bj = i.
Конечно, операторы (114), (114а) суть линейные комбинации (с вещественными
коэффициентами) следующих генераторов преобразований инвариантности:
i? 4
? ? Sj ?
0
(117)
iH, ?j , iSp, ?j ,
2m
?4
? 0
(117a)
H, i?j , S ?, i? Sj + ?j .
2m
Генераторы (117) дают по теореме 1 8 ненулевых независимых ЗС (четыре из
которых совпадают с энергией-импульсом поля ?, а остальные четыре суть допол-
нительные ЗС), тогда как генераторы (117а) дают тривиальные ЗС.
µ
Замечание 5. Вычисление величин Ru и Ru для семейства C(1, 3)-преобразований
с S = ? I и с произвольным ? ? R1 по формулам (35), (36) (т.е. без использования
?
концепции ? как независимой лагранжевой переменной)
?L ? ?L ?
? |Ru ?(x) ? 0 µ
(118)
Ru = dx dxRu (x), Ru = Ru ?,
??,0 ??,µ
532 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

дает следующие выражения для базисных токов:

?L i?
? = ? ?? µ ? = 0,
Iµ = (119)
??,µ 2

1? µ 1?
S?? = ? ?? µ S?? ?, pµ ? i?µ ,
кв
S кв = iS,
µ µ
(120)
P? = ?? p? ?,
? ?
2 2

и, таким образом, законы сохранения получаются в виде

i
I=? d3 x?+ ?, (121)
2

13 +
(122)
P? = d x? p? ?,
?
2

1
d3 x?+ (x? p? ? x? p? + S?? )?,
кв
(123)
J?? = ? ?
2

1
d3 x?+ (x? p? ? ? i)?, (124)
D= ?
2

1
d3 x?+ [2x? (x? p? ? ? i) ? x2 p? + 2S?? x? ]?.
кв
(125)
K? = ? ?
2

2.3. Конечные преобразования из простейших нелиевских групп инвариан-
тности. Запишем инфинитезимальные P (1, 3)-преобразования в Rx в форме
inf
x > x = ?(x, ?) = ?µ (x, ?)?µ x, (126)

где ?µ (x, ?)?µ = aµ ?µ (для трансляций), а ?µ (x, ?)?µ = 1 ? µ? Mµ? (для вращений).
2
Рассмотрим преобразования ?? P (1, 3), ?? = ?, ? , где

? = {I, ? 2 C, i? 2 C, i? 4 }, ?2 = I, (127)

? = {i, ? 4 , ? 0 ? 3 ? 1 C, i? 0 ? 3 ? 1 C}, ? 2 = ?I. (128)

Орбитальные и спиновые части генераторов ?? P (1, 3) коммутируют, поэтому ко-
нечные преобразования в ? имеют вид

?(x) > ? (x) = exp{?aµ ?? ?µ }?(x) ? ?2 (x, a) (129)

для “?? -трансляций” и

1 ?? ?
? > ? (x) = T ?2 (x, ?), T ? exp (130)
? ? S?? ,
2

1
?2 (x, ?) ? exp ? ?? µ? Mµ? (131)
?(x),
2
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 533

для “?? -вращений”. С учетом (?? ? 0 ? k )2 = ±I для ??2 = ±I и (?? ? k ? l )2 = ?I
для ??2 = ±I ряды (130) для ?? -вариаций в фиксированной плоскости ?? на угол
? ?? = ? имеют вид
?
??
?ch + ??0 ?k sh ? ,
? (130а)
1? 2 2
T ? exp ?? ?0 ?k =
?
2 ?cos ? + ? ? ? sin ? ,
? (130б)
0k
2 2
?
?
?cos ? + ??k ?l sin ? ,
? (130в)
1? 2 2
T ? exp ?? ?k ?l =
??
2 ?ch + ? ? ? sh ? ,
? (130г)
kl
2 2
а ряды ?2 (x, ?), ? = a, ?, имеют вид

[ch ?µ (x, ?)?µ ? ? sh ?µ (x, ?)?µ ]?(x), (131а)
?2 (x, ?) =
[cos ?µ (x, ?)?µ ? ? sin ?µ (x, ?)?µ ]?(x). (131б)

Формулу (131а) через конечные преобразования аргумента можно записать в виде
1 1
(1 ? ?)?(?(x, ?)) + (1 + ?)?(??1 (x, ?)), (132)
?2 (x, ?) =
2 2
4
а для функций ?(x), аналитических в окрестности Rx , формула (131б) выражается
через конечные преобразования с чисто мнимым параметром:
1 1
(1 + i? )?(?(x, i?)) + (1 ? i? )?(??1 (x, i?)).
?2 (x, ?) =
2 2
Восстановление конечных ?? -собственно конформных преобразований значи-
тельно более громоздко, поскольку в этом случае спиновые и орбитальные части
генераторов ?? Kµ не коммутируют. По этой причине конечные ?? -собственно
?
конформные преобразования здесь не приводим.
В заключении укажем, что выделенные из обвертывающих алгебр подалгебр
Ли, порождаемых матрично-дифференциальными операторами первого порядка по
переменной x, целесообразно не только потому, что такие подалгебры восстанав-
ливаются до соответствующих групп инвариантности, но и потому, что, как уже
упоминалось, оператор самого уравнения Дирака принадлежит этому выделенно-
му классу. Наконец, именно таким симметриям соответствуют дополнительные
законы сохранения zilch-типа.

1. Noether E., Invariante Variationsproblem, Kgl. Ges. Wiss., Nachr., G?ttingen Math.-Phys., 1918, 2,
o
235–257.
2. Hill E.L., Hamilton’s principle and the conservation theorem of mathematical physics, Rev. Mod.
Phys., 1951, 23, № 3, 253–260.
3. Schr?der U.E., Noether’s theorem and the conservation laws in classical field theories, Fortschr.
o
Phys., 1951, 16, № 6, 357–372.
4. Ибрагимов Н.Х., Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения (замечания к теоре-
ме Нетер), Теор. и мат. физика, 1969, 1, № 3, 350–359.
5. Plybon B.F., New approach to the Noether theorem, J. Math. Phys., 1971, 12, № 1, 57–60.
534 В.И. Фущич, И.Ю. Кривский, В.М. Симулик

6. Lie S., Transformationgruppen, Leipzig, 1883, Bd. 3, 400 s.
7. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
8. Fushchych W.I., On additional invariance of the Dirac and Maxwell equations, Lett. Nuovo Cim.,
1974, 11, № 10, 508–512.
9. Fushchych W.I., Nikitin A.G., On the new invariance groups of the Dirac and Kemmer–Duffin-Petia
equations, Lett. Nuovo Cim., 1977, 19, № 9, 347–352.
10. Фущич В.И., Никитин А.Г., О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака,
Элементар. частицы и атом. ядро, 1983, 14, вып. 1, 5–57.
11. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наук. думка, 1983, 200 с.
12. Kibble T.W.B., Conservation laws for free fields, J. Math. Phys., 1965, 6, № 7, 1022–1026.
13. O’Connel R.F., Tompkins D.R., Generalized conservation laws for free fields with mass, Nuovo
Cim., 1965, 39, № 1, 391–394.
14. Ибрагимов Н.Х., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1983, 280 с.
15. Кривский И.Ю., Симулик В.М., О теореме Нетер для преобразований трех типов, Препринт №
85-12, Киев, Ин-т ядерных исследований АН УССР, 1985, 61 с.
16. Кривский И.Ю., Теорема Нетер о законах сохранения для нелиевских преобразований инвари-
антности, в Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Киев, Ин-т
математики АН УССР, 1985, 134–139.
17. Кривский И.Ю., Симулик В.М., О лагранжевом подходе для электромагнитного поля в терминах
напряженностей и законы сохранения, Препринт № 85-13, Киев, Ин-т ядерных исследований АН
УССР, 1985, 53 с.
18. Кривский И.Ю., Симулик В.М., Лагранжиан электромагнитного поля в терминах напряженно-
стей и законы сохранения, Укр. физ. журн., 1985, 30, № 10, 1457–1459.
19. Симулик В.М., Лагранжев и теоретико-алгебраический анализ диракоподобной формы уравне-
ний Максвелла, в Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1985, 130–133.
20. Кривский И.Ю., Симулик В.М., Инвариантный лагранжиан в электродинамике без потенциалов,
Вопросы атомной науки и техники. Сер. Общ. и ядерн. физ., 1986, вып. 1, 29–30.
21. Кривский И.Ю., Симулик В.М., Скалярная функция Лагранжа и законы сохранения для эле-
ктромагнитного поля в терминах напряженностей, Препринт № 86-35, Киев, Ин-т ядерных
исследований АН УССР, 1986, 49 с.
22. Кривский И.Ю., Симулик В.М., Релятивистски инвариантная формулировка лагранжева под-
хода в электродинамике в терминах напряженностей, Препринт № 86-36, Киев, Ин-т ядерных
исследований АН УССР, 1986, 39 с.
23. Фущич В.И., Кривский И.Ю., Симулик В.М., О векторных лагранжианах для электромагни-
тного и спинорного полей, Препринт № 87.54, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1987, 39 с.
24. Кривский И.Ю., Симулик В.М., Лагранжев и нетеровский анализ поляризационных законов
сохранения для электромагнитного поля, Вопросы атомной науки и техники. Сер. Общ. и
ядерн. физ., 1988, вып. 1, 44–46.
25. Heaviside O., On the forces, stresses and fluxes of energy in the electromagnetic field, Phill. Trans.
Roy. Soc. London A, 1982, 183, 423–480.
26. Larmor I., Collected papers, London, Clarendon Press, 1928, 275 p.
27. Rainich G.Y., Electrodynamics in the general relativity theory, Trans. Amer. Math. Soc., 1925, 27,
106–136.
28. Pohjanpelto J., First order generalized symmetries of Maxwell equations, Phys. Lett. A, 1988, 129,
№ 3, 148–150.
29. Hojman S., Problem of the identical vanishing of Euler–Lagrange derivatives in field theory, Phys.
Rev. D, 1983, 27, № 2, 451–453.
30. Hojman S., Symmetries of Lagrangians and their equations of motion, J. Phys. A, 1984, 17, № 12,
2399–2412.
Нелиевские симметрии и нетеровский анализ законов сохранения 535

31. Hojman S., First-order equivalent Lagrangians and conservation laws, J. Math. Phys., 1983, 25,
№ 6, 1776–1779.
32. Good R.H., Particle aspect of the electromagnetic field equations, Phys. Rev., 1957, 105, № 6,
1914–1919.
33. Fradkin D.M., Conserved quantities assotiated with symmetry transformations of relativistic free-
particle equation of motion, J. Math. Phys., 1965, 6, № 6, 879–890.
34. O’Connel R.F., Tompkins D.R., Generalized solutions for free Maxwell fields and consequent
generalized conservation laws, J. Math. Phys., 1965, 6, № 12, 1952–1954.
35. Хамитов Р.С., Структура группы и базис законов сохранения, Теор. и мат. физика, 1982, 52,
№ 2, 244–251.
36. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б., Квантовая электродинамика, М., Наука, 1981, 431 с.
37. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теорию квантовых полей, М., Наука, 1984, 600 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 536–538.

О новых системах и законах сохранения для
упругих волн
В.И. ФУЩИЧ, А.Г. НИКИТИН

1. Максимальной локальной группой инвариантности основного уравнения ли-

<< Предыдущая

стр. 123
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>