<< Предыдущая

стр. 124
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

нейной теории упругости
?2U µ ?+µ
?? · U (1)
= ?U +
?t2 ?0 ?0
является восьмипараметрическая группа Ли [1]. Базисные элементы алгебры Ли
этой группы имеют вид
? ?
Pa = ?a , Ja = ?abc ?xb ?c + U b D = x0 P0 + x?. (2)
P0 = i , ,
?U c
?t
В уравнении (1) U = (U 1 , U 2 , U 3 ) — вектор смещения, ?0 > 0, µ > 0, ? + µ >
0 — коэффициенты Ламе. Запишем это уравнение в матричной форме
? µ ?+µ
LU ? Z ab ?ab ? ?ab ? ? ?a ?b U = 0, (3)
?t ?0 ?0
где U — столбец (U 1 , U 2 , U 3 ), Z ab — матрицы размерности 3 ? 3 с матричными
элементами (Z ab )cd = ?ac ?bd + ?ad ?bc .
Естественно поставить вопрос: обладает ли уравнение (1) скрытой (нелиевской)
симметрией, которая не может быть найдена в классическом подходе Ли? В на-
стоящей статье с использованием методов [2–4] дается положительный ответ на
этот вопрос. А именно, найден полный набор операторов симметрии уравнения (1)
в классе дифференциальных операторов второго порядка
? ?
Q = D(1) ?a + C(1) ?a ?b + A(1) + B(1) ?a + F(1) ,
a ab a
(4)
?t ?t
который значительно шире восьмимерной алгебры Ли (2). По найденным операто-
рам симметрии построены новые законы сохранения для уравнения (1).
Определение. Линейный дифференциальный оператор (4) является операто-
ром симметрии уравнения (3), если
? ?
[L, Q] = D(2) ?a + C(2) ?a ?b + A(2) + B(2) ?a + F(2) L,
a ab a
(5)
?t ?t
a ab a
где символ [ , ] обозначает коммутатор, D(i) , C(i) , A(i) , B(i) и F(i) — матрицы
размерности 3 ? 3, зависящие от t и x, i = 1, 2.
Полное описание операторов симметрии уравнения (3) в классе (4) дает следу-
ющее утверждение.
Доклады Академии наук СССР, 1989, 304, № 2, 333–335.
О новых системах и законах сохранения для упругих волн 537

Теорема. Для уравнения (3) существует 61 линейно независимый оператор
симметрии в классе дифференциальных операторов второго порядка. В их чи-
сло входят генераторы (2) и их произведения, а также следующие операторы

Q0 = 2S · J (S · J ? 1) ? J 2 ,
1 1
Sb ?c , S · J ? ? [Jb , ?c ]+ ,
Qa = ?abc (6)
2 2
+
1
= [?adc Sd ?c , ?bkl Sk ?l ]+ ? ?ab (5? ? 2(S · ?2 ),
Qab
3
где J = ?x ? ? + S — операторы (2), записанные в матричной форме, S —
матрицы с матричными элементами (Sa )bc = ?abc , S = (S1 , S2 , S3 ), [A, B]+ =
AB + BA.
Доказательство теоремы сводится к решению довольно громоздкой системы опре-
a ab a
деляющих уравнений для матриц D(i) , C(i) , A(i) , F(i) , B(i) , следующей из (5) после
приравнивания коэффициентов при линейно независимых матрицах и дифферен-
циальных операторах.
Замечание 1. Вычисления в левой и правой частях уравнения (5) удобно прово-
дить с использованием базиса в пространстве матриц размерности 3 ? 3, обра-
зуемого матрицами Z ab и S ab = ?abc Sc . Эти матрицы удовлетворяют следующим
коммутационным антикоммутационным соотношениям:

[Z ab , Z cd ] = ?bc S ad + ?ad S bc + ?ac S bd + ?bd S ac , (7)

[S ab , S cd ] = ?bc S ad + ?ad S bc ? ?ac S bd ? ?bd S ac , (8)

[S ab , Z cd ] = ?bc Z ad + ?ad Z bc ? ?ac Z bd ? ?bd Z ac , (9)

[Z ab , Z cd ]+ = ?bc Z ad + ?ad Z bc + ?ac Z bd + ?bd Z ac , (10)

[S ab , S cd ]+ = ?bc Z ad + ?ad Z bc ? ?ac Z bd ? ?bd Z ac , (11)

[Z ab , S cd ]+ = ?bc S ad ? ?ad S bc + ?ac S bd ? ?bd S ac , (12)

и образуют базис как алгебры (см. (7)–(9)), так и супералгебры (см. (8)–(10) или
(10)–(12)) Ли.
Замечание 2. Формулы (6) задают 9 линейно независимых операторов, поскольку
Qaa = 0. Эти операторы не принадлежат обвертывающей алгебре, порождаемой
a
генераторами (2).
Замечание 3. Операторы (6) не образуют алгебры Ли. Однако операторы симме-
трии

H2 = J · P , 2
H1 = QA , H3 = H1 H2 , H3+a = Ha ,

где a = 1, 2, 3, QA — любой из операторов (6) (A = 0, 1, . . . , 12, 13, . . .) образуют
базис супералгебры Ли, удовлетворяя соотношениям

(13)
[Ha , Hb ]+ = 2?ab H3+b , [Ha , H3+b ] = [H3+a , H3+b ] = 0.
538 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

2. Операторы симметрии (6) используем для построения новых законов сохра-
нения для уравнения (1). Поскольку эти операторы являются дифференциальными
операторами второго порядка, соответствующие токи зависят от вторых произво-
дных.
Выберем сохраняющиеся токи в виде
? ?
j0 = (AU )+ BU + (BU )+ AU , ja = (AV a U )+ BU + (BU )+ AV a U , (14)
где B — любой из операторов (5), а A — любой из генераторов (8),
µ ?+µ ?U
?
?a ?kl + (?ka ?l ? ?al ?k ) ,
V a = Z kl U= .
?0 2?0 ?t
Так как и A, и B удовлетворяют условиям (5) и, кроме того, в силу уравнения
(3) ?a V a U = ? 2 U /?t2 , билинейные комбинации (14) удовлетворяют уравнению
непрерывности
?
(15)
jµ = 0, x0 = t, µ = 0, 1, 2, 3.
?xµ
Следовательно, интегральные величины вида

d3 x j0 (16)
I=

сохраняются во времени. В частности, сохраняются приведенные ниже тензор I ab
и вектор I a :

I ab = d3 x ?ab , Ia = d3 x ?ab xb ,

µ ? ?
? ?
?ab = (rot U )a (rot U )b + (rot U )a (rot U )b .
c ?xc
?0 ?x
He составляет труда вычислить в явном виде и другие сохраняющиеся величи-
ны, задаваемые формулами (14), (16).
Операторы симметрии (6) могут быть использованы для построения новых си-
стем координат, в которых разделяются переменные уравнения (1), а также для
отыскания точных и .приближенных решений этого уравнения.
Нелиевская симметрия уравнения (1) обнаружена в [4]. Явный вид интегро-
дифференциальных операторов симметрии для этого уравнения приведен в [5].
Симметрия стационарного уравнения теории упругости в классе дифференциаль-
ных операторов первого порядка с матричными коэффициентами подробно изучена
в [6, 7].

1. Чиркунов Ю.А., в кн. Динамика сплошной среды, 1973, вып. 14, 128–130.
2. Фущич В.И., ДАН, 1979, 246, № 4, 846–850.
3. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Наук. думка, 1983, 200 с.
4. Фущич В.И., в кн. Теоретико-групповые методы в математической физике, Киев, 1978, 5–43.
5. Фущич В.И., Наконечный В.В., Укр. матем. журн., 1980, 32, № 2, 267–273.
6. Olver P.J., Arch. Rat. Mech. and An., 1984, 85, 131–148.
7. Olver P.J., Applications of the Lie groups to differential equations, N.Y., Springer-Verlag, 1986,
580 p.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 539–542.

Про точнi розв’язки рiвнянь
Лоренца–Максвелла
В.I. ФУЩИЧ, I.В. РЕВЕНКО
New exact solutions for the systems of the classical electrodynamics equations are
obtained.

Рух класичної безспiнової частини в електромагнiтному колi описується систе-
мою звичайних диференцiальних рiвнянь (Лоренца) та системою диференцiальних
рiвнянь (Максвелла) в частинних похiдних вигляду [1]
dxµ
uµ ? xµ =
muµ = eFµ? u? , (1)
? ,
d?
?A? Aµ
?
F µ? = — тензор електромагнiтного поля,
?xµ ?x?

?? ? ? Aµ ? ? µ (?? A? ) = jµ , (2)
jµ = euµ ,

uµ uµ = 1, (3)

? — власний час, Aµ — потенцiал електромагнiтного поля. Деякi точнi розв’язки
системи (1), (2) знайдено в [2].
В данiй роботi, використовуючи симетрiйнi властивостi системи (1), (2), отри-
мано новi класи точних розв’язкiв системи Лоренца–Максвелла.
1. Задамо електромагнiтний потенцiал наступними формулами
A0 = ?(?)? + ?(?)??1 , A1 = A1 (?), A2 = A2 (?),
(4)
A3 = ?(?)? ? ?(?)??1 , ? = x1 ? ? ln |?|,
? = x0 + x3 ,
де ?, ?, A1 , A2 — довiльнi досить гладкi функцiї, залежнi лише вiд однiєї змiнної
?. Лагранжiан L рiвняння (1)
m
xµ xµ + exµ Aµ (5)
L= ?? ?
2
для поля (4) iнварiантний вiдносно тривимiрної алгебри Лi з базисними елемента-
ми
x0 ?3 + x3 ?0 + ??1 , ?0 ? ?3 , ?2 . (6)
З теореми Нетер випливає, що iнтегралами руху рiвняння (1) для поля (4) є
функцiї
mu3 + eA3 + mu0 + eA0 = C1 , ?mu2 ? eA2 = C2 ,
(7)
x0 (?mu3 ? eA3 ) + x3 (mu0 + A0 ) + ?(?mu1 ? eA1 ) = C3 ,
де C1 , C2 , C3 — довiльнi постiйнi.
Доповiдi АН УРСР, Сер. А, Фiз.-мат. та техн. науки, 1989, № 6, 27–31.
540 В.I. Фущич, I.В. Ревенко

Рiвняння (2) для поля (4) мають вигляд
eu0 = ?? ? + ??1 {?? + ?(2? ? 2?? + A1 )}, eu1 = 2(? ? ?? ),
(8)
eu2 = ?A2 , eu3 = ?? ? ? ??1 {?? + ?(2? ? 2?? + A1 )}.
Використовуючи iнтеграли руху (7), система (8) перепишеться в наступнiй
формi:
m m
A2 ? eA2 = C2 , ? ? e? = 0, C1 = 0,
e e
(9)
m
(?A1 ? ?) ? e(?A1 ? ?) = C3 .
e
Безпосередньою перевiркою можна переконатися, що розв’язками системи (9)
є функцiї
e e C3
v? + b0 exp ? v ?
?A1 ? ? = a0 exp ? ,
e
m m
e e
v? + b1 exp ? v ? , (10)
? = a1 exp
m m
e e C2
v? + b2 exp ? v ? ?
A2 = a2 exp .
e
m m
Оскiльки вектор uµ задовольняє спiввiдношення (3), то на функцiї ?, ?, A1 , A2
необхiдно накласти додатково умову
4? (? ? ?A1 ) + 4? 2 ?2 ? 4? 2 ? A2 2 = e2 . (11)
Пiдставивши вираз (10) в (11), одержимо спiввiдношення на постiйнi ai
4a1 a0 + 4(?2 ? m)a2 ? a2 = 0,
1 2
4b1 b0 + 4(? ? m)b1 ? b2 = 0,
2 2 2
(12)
2
m
4a1 b0 + 4b1 a0 + 8a1 b1 (?2 + m) ? 2b2 a2 =.
e2
Для побудови розв’язкiв рiвняння (1), (4) робимо замiну змiнних
y1 = x1 ? ? ln |x0 + x3 |, y3 = x0 ? x3 . (13)
y0 = x0 + x3 , y2 = x2 ,
Тодi рiвняння руху частинки має вигляд
dy0 2? y0 dy1 2? dy2 A
= u0 + u3 = ? = u2 = ? 2 ,
, = ,
d? e d? e d? e
(14)
dy3 2
{?? + ?A1 + ?(2? ? 2?? )}.
=
d? ey0
Розв’язки рiвнянь (14) знаходимо квадратурами
dy1 ? C4 1
{?? + ?A1 + ?(2? ? 2?? )} + C5 ,
= + C0 , y0 = , y3 =

<< Предыдущая

стр. 124
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>