<< Предыдущая

стр. 125
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2? e ? C4
(15)
A2 dy1
y2 = ? + C6 ,
2?
де C0 , C4 , C5 , C6 — постiйнi iнтегрування.
Про точнi розв’язки рiвнянь Лоренца–Максвелла 541

Таким чином, точнi розв’язки системи рiвнянь (1), (2) задаються формулами
(4), (10), (12), (15).
2. Для побудови другого класу точних розв’язкiв рiвнянь (1), (2) задамо еле-
ктромагнiтний потенцiал наступними формулами:
A0 = ?(?)? + ??1 {?(?)?1 + ?(?)?1 + ?(?)}, A1 = 2?(?)?1 + ?(?),
2

A2 = A2 (?), A3 = ?(?)? ? ??1 {?(?)?1 + ?(?)?1 + ?(?)},
2
(16)
? = x0 + x3 , ?1 = x1 ? ? ln |?|, ? = x2 ? ? ln |?|,
?, ?, ?, A2 — довiльнi функцiї вiд ?.
При такому виборi електромагнiтного потенцiалу лагранжiан (5) iнварiантний
вiдносно алгебри

(x0 + x3 )?1 + x1 (?0 ? ?3 ), x0 ?3 + x3 ?0 + ??1 + ??2 , ?0 ? ?3 ,

i тому рiвняння (1) мають три iнтеграли руху
(x0 + x3 )(?mu1 ? eA1 ) + x1 (mu0 + eA0 + mu3 + eA3 ) = C1 ,
(17)
mu0 + eA0 + mu3 + eA3 = C3 ,
x0 (?mu3 ? eA3 ) + x3 (mu0 + eA0 ) + ?(?mu1 ? eA1 ) + ?(?mu2 ? eA2 ) = C2 .

Пiдставляючи вирази (16) у рiвняння (2), знаходимо вектор 4-швидкостi ui
eu0 = ?? ? + ??1 {?? ?1 + [?? ? 2? + ?(A2 + 4? ? 2?? )] ? ?1 ? },
2

eu1 = ?2? ?1 ? ? , eu2 = 4? ? 2?? , (18)
eu1 = ?? ? ? ??1 {?? ?1 + [?? ? 2? + ?(A2 + 4? ? 2?? )] ? ?1 ? }.
2


Спiввiдношення нормування 4-швидкостi uµ (3) накладає на функцiї ?, ?, ?,
A2 умову

4? (? ? ?A2 ) + 8? ? + 8?2 ? ?? ? 16?
2 2 2
= e2 . (19)

Для того, щоб рiвняння (17) та (18) були сумiснi, необхiдно i достатньо, щоб
функцiї ?, ?, ?, A2 задовольняли рiвняння
e2 e2
? ? ? = 0, ? ? ? = 0, C1 = 0, C2 = 0,
m m (20)
e2 e
(? ? ?A2 ) ? (? ? ?A2 ) = C3 .
m m
Загальними розв’язками рiвнянь (20) є функцiї
e e
v? + b0 exp ? v ? ,
? = a0 exp
m m
e e
v? + b1 exp ? v ? , (21)
? = a1 exp
m m
e e C3
v? + b2 exp ? v ?
? ? ?A2 = a2 exp ? ,
e
m m
де ai , bi — довiльнi постiйнi.
542 В.I. Фущич, I.В. Ревенко

Для того, щоб виконувалось рiвняння (19), постiйнi ai , bi повиннi задовольняти
умови
m m
4 a0 a2 + 2a2 ?2 ? ? a2 = 0, 4 b0 b2 + 2b2 ?2 ? ? b2 = 0,
0 1 0 1
e2 e2
(22)
e2 e2 ?2 e2
3
? 2 2 a1 b1 = 1.
4 2 (a0 b2 + b0 a2 ) + 16a0 b0 +
m2
m m m
В криволiнiйнiй системi координат
x1
y2 = x2 ? ? ln |x0 + x3 |, y3 = x0 ? x3
y0 = x0 + x3 , y1 = ,
x0 + x3
рiвняння руху частини, враховуючи формулу (18), набувають вигляду
2? ? ln |y0 | ? ?
dy0 2? y0 dy1 dy2 4?
=? , = , = ,
d? e d? ey0 d? e
dy3 2 (23)
= {?? [y1 y0 ? ? ln |y0 |] +
d? y0
+ (?? ? 2? + ?(A2 + 4? ? 2?? )) ? (y1 y0 ? ? ln |y0 |)2 ? }.
Розв’язки рiвнянь (22) знаходимо у квадратурах
dy2 ?
y0 = C4 (? )?1/2 ,
= + C0 ,
d? e
2? ? ln C4 (? )?1/2 ? ? dy2
+ C5 ? K(y2 ) + C5 ,
y1 =
4C4 (? )?1/2
(24)
(K + C5 )C4 (? )?1/2 ? ? ln C4 (? )?1/2
??
y3 = +

+ (?? ? 2? + ?(A2 + 4? ? 2?? )) ?
2 dy2
(K + C5 )C4 (? )?1/2 ? ? ln C4 (? )?1/2
?? + C6 .
2C4 (? )?1/2
Таким чином, точнi розв’язки системи рiвнянь задаються формулами (16), (21),
(22), (24).

1. Меллер К., Теория относительности, М., Атомиздат, 1975, 400 с.
2. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И.М., Халилов В.Р., Шаповалов В.Н., Точные решения реля-
тивистских волнових уравнений, Новосибирск, Наука, 1982, 144 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 543–546.

Пуанкаре-iнварiантнi рiвняння третього
та четвертого порядкiв у механiцi
Остроградського
В.I. ФУЩИЧ, I.В. РЕВЕНКО
A class of the nonlinear Poincar?-invariant ordinary differential equations is obtained.
e
The ordinary differential equation admitting the extended Poincar? group is integrated
e
in the closed form.

Варiацiйний принцип на випадок, коли лагранжiан залежить вiд вищих похi-
дних, узагальнив М. Остроградський [1]. У механiцi Остроградського, на вiдмiну
вiд механiки Ньютона–Лагранжа, природно виникають рiвняння високого поряд-
ку. Для цих рiвнянь повинен виконуватись принцип вiдносностi. Тобто, рiвняння
в механiцi Остроградського повиннi бути iнварiантними або вiдносно перетворень
Галiлея, або вiдносно перетворень Лоренца [2].
Нижче описанi звичайнi диференцiальнi рiвняння третього та четвертого по-
рядкiв, якi є iнварiантними вiдносно груп Пуанкаре та конформної групи. Зобра-
ження вiдповiдної конформної алгебри задамо операторами
? ? ? ? ? ?
(1)
P0 = , P1 = , I01 = t +x , D=t +x ,
?t ?x ?x ?t ?t ?x
12 ? ? 12 ? ?
x + t2 x + t2 (2)
K0 = + xt , K1 = + xt .
2 ?t ?x 2 ?x ?t
Оператори P0 , P1 , I01 утворюють алгебру Пуанкаре AP (1, 1). Оператори P0 ,
?
P1 , I01 , D — узагальнену алгебру Пуанкаре AP (1, 1).
Рiвняння третього порядку. Розглянемо рiвняння
...
x = f (t, x, x, x). (3)
??
Мають мiсце такi теореми.
Теорема 1. Рiвняння (3) iнварiантне вiдносно алгебри AC(1, 1) з базисними
елементами (1), (2) лише у тому випадку, коли
x?2
?x
...
x = ?3 (4)
.
1 ? x2
?
Теорема 2. Рiвняння (3) iнварiантне вiдносно алгебри Пуанкаре AP (1, 1) лише
тодi, коли

x?2
?x x
?
... 2
x = ?3 + 1 ? x2 (5)
? ? ,
1 ? x2 3/2
(1 ? x2 )
? ?
де ? — достатньо гладка функцiя своїх аргументiв.
Доповiдi АН УРСР, Сер. А, Фiз.-мат. та техн. науки, 1989, № 11, 25–28.
544 В.I. Фущич, I.В. Ревенко

Теорема 3. Рiвняння (3) iнварiантне вiдносно узагальненої алгебри Пуанкаре
?
AP (1, 1) тодi, якщо
x?2 ??2
?x x
...
x = ?3 (6)
+ ,
1?x 1 ? x2
2
? ?
? — довiльна стала.
Серед знайдених рiвнянь слiд видiлити рiвняння (6). Симетрiйнi властивостi
цього рiвняння не вичерпуються лише точковою симетрiєю. Рiвняння (6) має до-
статньо широку контактну симетрiю, а також симетрiю Лi–Беклунда.
Теорема 4. Алгеброю iнварiантностi рiвняння (6) в класi операторiв
? ?
X = ?(t, x, x)
? + ?(t, x, x)
?
?t ?x
є алгебра
AP (1, 1) + Q? при ? = 0,
AC(1, 1) + Sa при ? = 0,
де оператори Q? , Sa задаются формулами
1) ? = ?1, 0, 1
?/2 ?/2
1?x 1?x
x+?
? ? ? 1 + ?x ? ? ?
Q? = + ,
1/2 ?t (1 ? x2 )1/2
(1 ? x2 ) 1+x
? 1+x
? ?x
? ?
2) ? = 1
1?x 1?x 1?x 1?x
? ? ? ? ? ?
?
Q1 = + ln + ln ,
1+x
? 1+x
? ?t 1+x
? 1+x
? ?x
3) ? = ?1
1?x 1?x
1+x
? ? ? ? 1+x
? ?
? + ? ln ?
Q?1 = + ln ,
1?x 1?x
? 1+x
? ?t 1+x
? ? ?x
4) ? = 0
? ?1/2 ?
?1/2
S1 = 1 ? x2 + x 1 ? x2
? ? ? ,
?x ?t
?1/2 ? ?1/2 ?
S2 = xx 1 ? x2 + x 1 ? x2
? ? ? ,
?t ?x
?1/2 ? ?1/2 ?
S3 = tx 1 ? x2 + t 1 ? x2
? ? ? ,
?t ?x
?1/2 ? ?
?1/2
S4 = x2 ? t2 x 1 ? x2 + x2 ? t2 1 ? x2
? ? ? .
?t ?x
Така широка симетрiя рiвняння (6) дає можливiсть проiнтегрувати його у ква-
дратурах. Iнтеграли руху рiвняння (6) мають вигляд
?/2
1?x
x
? ?
C1 = ,
3/2

<< Предыдущая

стр. 125
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>