<< Предыдущая

стр. 126
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(1 ? x2 ) 1+x
?
?
Пуанкаре-iнварiантнi рiвняння третього та четвертого порядкiв 545
? ?/2
1?x
?1 x+?
? ?
?
? ? t, ? = 1, ?1,
?C
? 1 (1 ? x2 )1/2 (1 ? ?2 ) 1 + x
? ?
?
?
?
?
1?x 1?x
C2 = ? 1 ? ?
? t, ? = 1,
+ ln
? 4C1 1 + x
? ? 1+x ?
?
?
?
?1
?
? 1+x ? 1+x ?
? ? t, ? = ?1,
+ ln
4C1 1 ? x 1?x
? ?
? ?/2
1?x
?1 ?x + 1
? ?
?
? ? x, ? = 1, ?1,
?C
? 1 (1 ? x2 )1/2 (1 ? ?2 ) 1 + x
? ?
?
?
?
?
1?x 1?x
C3 = ? 1 ? ?
? 4C1 ln 1 + x ? 1 + x ? x, ? = 1,
? ? ?
?
?
?
?1
?
? 1+x ? 1+x ?
? ? ln ? x, ? = ?1.
4C1 1 ? x 1?x
? ?
Знання iнтегралiв руху рiвняння (6) дає можливiсть побудувати загальний
розв’язок рiвняння (6) у неявному виглядi
?
(t ? x + C2 ? C3 )(? + 1)
(x + C3 ) ? (t + C2 ) ?? )= , ? = 1, ?1,
2 2 2 2
C1 (1
(t + x + C2 + C3 )(? ? 1)
2C1 (x ? t + C3 ? C2 ) = exp{?2C1 (x + t + C2 + C3 )}, ? = 1,
2C1 (x + t + C2 + C3 ) = exp{2C1 (t ? x + C2 ? C3 )}, ? = ?1.
Iнтегровнiсть у квадратурах рiвняння (6) дозволяє побудувати загальний ви-
гляд операторiв Лi–Беклунда, якi допускаються рiвнянням (6).
Теорема 5. Рiвняння (6) у класi операторiв
?
X = ?(t, x, x, x)
??
?x
має нескiнченну алгебру iнварiантностi, елементи якої завдаються формула-
ми
?/2
1?x
? ?
2 1/2
x? + ? + 1 ? x ? = 1, ?1,
1 2
?3
X= ? ? ,
1+x
? ?x
1?x
? ?
x? 1 + ? 2 + (1 ? x) ln ? 1 ?3
X= ? ? , ? = 1,
1+x
? ?x
1?x
? ?
? 1 ?3 ? = ?1,
x?1 + ?2 + (1 + x) ln
X= ? ? ,
1+x
? ?x
де ?i , ? i , ?i — довiльнi функцiї вiд iнтегралiв руху рiвняння (6) при ? = 1, ?1,
? = 1, ? = ?1 вiдповiдно.
Рiвняння четвертого порядку. Тут описанi рiвняння
.... ...
x = f (t, x, x, x, x) (7)
??
?
iнварiантнi вiдносно алгебри AP (1, 1). Iз знайденого класу рiвнянь видiленi рiвня-
ння, що припускають лагранжеве формулювання.
546 В.I. Фущич, I.В. Ревенко

Теорема 6. Для того щоб рiвняння (7) було iнварiантним вiдносно алгебри
?
AP (1, 1), необхiдно i достатньо, щоб
...
...
x 1 ? x2
15x2 x3 x3 ?
10x? x
?x ?? ?
....
x =? ? (8)
+ 2? + 3x ,
?
1 ? x2 2
(1 ? x2 ) (1 ? x2 ) x2
? ?
? ?

де ? — довiльна достатньо гладка функцiя.
Теорема 7. Рiвняння (8) допускає лагранжеве формулювання лише в тому разi,
коли
2
... ... ...
x 1 ? x2 x 1 ? x2 x 1 ? x2
? ? ?
? + 3x
? =a + 3x
? +b + 3x
? + c,
x2 x2 x2
? ? ?
5?3a
де a, b, c — сталi, якi задовольняють спiввiдношення a = 2, b = 0, c = a?2 ,
a = 2, b = ±2. Вiдповiднi лагранжiани мають вигляд
(3a?5)/2
L(x, x) = K 1 1 ? x2 x2?a ,
?? ? ? a = 1, 2,
?1
L(x, x) = K 1 1 ? x2 x(ln |?| ? 1), a = 1,
?? ? ? x
K 1 (C ? 3) 1?x ?
L(x, x) = ?K (1 + x) ln |?| + ?2 ?
1
?? ? x x ln
?
4 1+x ?
? 6K 1 ln |1 ± x| ? 3(1 ± x)(ln |1 ± x| ? 1)K 1 , a = 2,
? ? ?

C, K 1 — довiльнi сталi.

1. Остроградский М. В., Мемуар о дифференциальных уравнениях, относящихся к изопериметри-
ческим задачам, Полн. собр. соч., Киев, Изд-во АН УССР, 1961, Т.2, 359 с.
2. Фущич В.И., Сегеда Ю.Н., Редченко Г.А,. Инвариантные системы уравнений в обобщенной
механике, Укр. мат. журн., 1980, 32, № 4, 569–576.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 547–551.

Условная инвариатность и точные решения
уравнения Буссинеска
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ
Исследована условная инвариантность уравнения Буссинечка. Найдены инвариан-
тные анзацы, редуцирующие данное уравнение к обыкновенным дифференциальным
уравнениям.

Известно, что максимальной алгеброй инвариантности уравнения Буссинеска
1
x = (x0 , x) ? R1+n
u00 + ?u2 + ?2 u = 0, (1)
u = u(x),
2
?
является расширенная алгебра Евклида E(1, n) с операторами
? ?
Jab = xa ?b ? xb ?a , D = 2x0 ?0 + xa ?a ? 2u?u . (2)
?0 = , ?a = ,
?x0 ?xa
Все не эквивалентные анзацы, редуцирующие двумерное (n = 1) уравнение (1)
к обыкновенному дифференциальному уравнению, которые можно построить по
алгебре инвариантности (2), имеют вид
u = ?(?), ? = ?0 x0 + ?1 x1 , ?0 , ?1 = const,
(3)
?1/2
u = x?1 ?(?), ? = x1 x0 .
0

В работе [1] показано, что двумерное уравнение (1) с помощью анзаца

u = ?(?) ? 4µ2 x2 , ? = x1 + µx2 , (4)
µ = const
0 0

редуцируется к обыкновенному дифференциальному уравнению

? + ?? + 2µ? = 8µ2 ? + C1 , (5)
C1 = const.

Оператор, соответствующий этому анзацу,

Q = ?0 ? 2?x0 ?1 ? 8?2 x0 ?u , ? = ?2µ (6)

не пренадлежит алгебре (2). Анзацы вида (4) естественно назвать нелиевскими,
так как они не следуют из групповых свойств уравнения (1).
В настоящей работе с использованием понятия условной инвариантности, вве-
денного в работах [2–6], описаны анзацы вида [7]

(7)
u(x) = f (x)?(?) + g(x), ? = ?(x),

которые редуцирующие уравнение (1) к обыкновенному дифференциальному урав-
нению.
Симметрия и решения уравнений математической физики, Киев, Институт математики АН УССР,
1989, 95–102.
548 В.И. Фущич, Н.И. Серов

В работе [8] без исполъзования понятия условной инвариантности, описаны ан-
зацы вида (7), редуцирующие двумерное уравнение Буссинеска (1) к обыкновен-
ным дифференциальным уравнениям. Существенное отличие нашего подхода от
метода [8] состоят в том, что понятие условной инвариатности вскрывает причину
возникновения неожиданных анзацев и дает регулярную процедуру для отыска-
ния нелиевских анзацев для произвольных уравнений. Кроме того, условная ин-
вариантность дает возможность построить такие анзацы, которые не могут быть
получены способом, предложенным в [8].
Рассмотрим двумерное уравнение (1)
u00 + uu11 + u2 + u1111 = 0. (8)
1

Теорема 1. Уравнение (8) Q-условно инвариантно относительно оператора
(9)
Q = A(x)?0 + B(x)?1 + [?(x)u + ?(x)]?u ,
если функция A(x), B(x), ?(x), ?(x) удовлетворяют следующей системе диф-
ференциальных уравнений:
Случай 1. A = 0. Не умаляя общности можно положить A = 1.
? = ?2B1 , ? = B11 = 0, ? = ?2B(B0 + 2BB1 ),
1
?1 = B00 + (?B)0 + B1 (B0 ? 2BB1 + 4?B),
(10)
2
?11 = ?(?0 + 4B1 )(?0 + ?2 ),
?00 ? 2B0 ?1 + 4B1 (?0 ? B?1 + ??) + 2?0 ? = 0.
Случай 2. A = 0, B = 1.
?0 = 0, ?11 + 5??1 + 2?3 = 0,
?11 + 3??1 + 4?2 ? + 5?1 ? + 5?11 (?2 ? ?1 ) + 5??1 (?1 + 2?2 ) = 0,
(11)
?1111 + 4?111 ? + 6?11 (?1 + ??) +
+ 4?1 [(?2 + ?1 )? + (?1 + ??)1 ] + ?00 + 3??1 + 2?? 2 = 0.
Доказательство проводится при помощи формулы (5, 7, 8) из [6].
В случаи 1 существует общее решение уравнений (10), которое дает следующий
оператор:
Q = ?0 + [a(x0 )x1 + b(x0 )]?1 ?
(12)
? 2[a(x0 )u + a(a + aa2 )x2 + (a b + ab + 4a2 b)x1 + b(b + 2ab)]?u ,
1

где функции a = a(x0 ), b = b(x0 ) являются решениями дифференциальных урав-
нений
a = 2aa ? 4a3 = 0, b + 2ab ? 4a2 b = 0. (13)
В зависимости от значений функций a(x0 ), b(x0 ) имеем несколько неквивален-
тных операторов

<< Предыдущая

стр. 126
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>