<< Предыдущая

стр. 127
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Q1 = ?0 + x0 ?1 ? 2x0 ?u (a = 0, b = x0 );
x2
Q2 = x0 ?0 ? (x1 + 6x5 )?1 + 2 u + 3 2 + 2x1 x0 ? 24x0
1 3 8
(14)
?u
0
x0
(a = ?x0 , b = 6x0 );
1 5
Условная инвариатность и точные решения уравнения Буссинеска 549

1 3x0
Q3 = 2x0 ?0 + (x1 ? 3x2 )?1 ? 2(u ? 3x1 + 9x2 )?u , b=?
a= ;
0 0
2x0 2
?
Q4 = ??0 + ? x1 ?1 ? ? (2u + ?x2 )?u a=
, b=0 ;
1
2?
Q5 = 2??0 + ? (x1 + ?)?1 ? [2? u + ?? (x1 + ?)2 + x1 + ?]?u ,
?
, b = a?, ? = ?(x0 ) = ?(? )?2 dx0 ,
a=
2?
? = ?(x0 ) — функция Вейерштраса, являющаяся решением уравнения ? = ?2 или
(? )2 = 2 (?3 + ?), ? = const.
3
В случае 2 мы нашли только несколько частных решений уравненний (11), т.е.
получили следующие операторы:
Q6 = x2 ?1 + (x5 ? 2x1 )?u (? = 0, ? = x3 ? 2x1 x?2 );
0 0 0 0
1 1
Q7 = ?1 + ? ?x1 + ? ?u ? = 0, ? = ?x1 + ? ;
3 3 (15)
?1
Q8 = x1 ?1 + 2u?u (? = 2x1 , ? = 0);
(? = 2x?1 , ? = 48x?3 ),
Q9 = x3 ?1 + 2(x2 u + 24)?u
1 1 1 1

где ? = ?(x0 ) — функция Ламе, удовлетворяющая уравнению ? = ??.
Используя операторы (14)–(15), находим анзацы:
u = ?(?) ? 4x2 , ? = x1 + x2 ;
1) 0 0
x1
u = x2 ?(?) ? + 6x4 , ? = x0 (x1 + x5 );
2) 0 0 0
x0
?1/2
u = x?1 ?(?) + 2(x1 ? x2 ), ? = x0 (x1 + x2 );
3) 0 0
0
12
u = ??1 ?(?) ? ?x1 , ? = ??1/2 x1 ;
4)
6
(16)
1 1
u = ??1 ?(?) ? ??2 ?2 (x1 + ?)2 , ? = ??1/2 x1 ? ??3/2 ??dx0 ;
5) ? ?
4 2
?2 2
u = ?(?) ? x0 x1 + x0 x1 , ? = x0 ;
3
6)
1
u = ?(?) ? x2 ?(x0 ) + ?(x0 )x1 , ? = x0 ;
7)
61
u = x2 ?(?), ? = x0 ;
8) 1
u = x2 ?(?) ? 12x?2 ,
9) ? = x0 .
1 1
Подставляя анзацы (16) в уравнение (8), получим следующие редуцированные
уравнения:
1) ? + ?? + 2? = 8? + C1 ;
2) ? + ?? + 30? = 1800? + C2 ;
?2 7
IV
? + (? )2 + ?? + 2? = 0;
3) ? + ?+
2 4
(17)
?
?IV + ?? + (? )2 + (? 2 ? + 7?? + 8?) = 0;
4)
6
?
?IV + ?? + (? )2 + (?? + 2? ? ??) = 0;
5)
2
? ? 2? ?2 ? + ? 6 = 0;
6)
550 В.И. Фущич, Н.И. Серов

1
? ? ?? + ?2 = 0;
7)
3
? + 6?2 = 0;
8)
? + 6?2 = 0,
9)

где C1 , C2 — постоянные интегрирования.
Решая уравнение (17), по формуле (16) получаем решения уравнения (8). При-
ведем некоторые из них:
1 1
u = ?12x?2 , u = ? x2 ?(x0 ) ? 12x?2 ,
u = ? x2 ?(x0 ), (18)
61 61
1 1


u = 2(x1 ? x2 ) ? 12(x1 + x2 )?2 ,
u = 2(x1 ? x2 ),
0 0 0
(19)
u = ?x?2 x2 ? 6C3 x8 + 18C3 x3 x1 + C4 x?1 + C5 x2 ,
2
C3 , C4 , C5 = const.
1 0 0 0
0 0

Замечание 1. Поскольку уравнение (8) инвариантно относительно преобразова-
ний сдвигов и растяжений, то справедлива следующая формула размножения его
решений:
u = ?2 f (?2 x0 + ?0 , ?x1 + ?1 ), (20)
где f (x0 , x1 ) — решение уравнения (8), ?, ?0 , ?1 — постоянные групповые параме-
тры.
Замечание 2. Решения (18) обладает той особенностью, что третье из них равно
сумме двух первых. В общем случае сумма u = v + w двух решений v и w
уравнения Буссинеска (1) будет его решением, если их произведение vw является
решением уравнения Лапласа ?(vw) = 0. Это следует из соотношения
L(v + w) = Lv + Lw + ?(vw),
где Lu — левая часть уравнения (1).
Приведем теперь некоторые результаты исследований условной инвариантности
уравнения Буссинеска.
Теорема 2. Уравнение (8) инвариантно относительно оператора
(21)
Q = ?(x1 )?1 + ? (x1 )u?u
при условии
(22)
u + 2?(x1 ) = 0.
Анзац, полученный при помощи оператора (21), имеет вид
(23)
u = ?(x1 )?(?), ? = x0 .
Подставляя (23) в (8), имеем
?(x1 )? + [?3 (x1 ) + (? )2 ]?(? + 2) = 0. (24)
Из (24) следует, что для выполнения редукции необходимо требовать
(25)
? = 0, ?(? + 2) = 0,
т.е. анзац (23) редуцирует уравнение (8) к системе двух уравнений (25).
Условная инвариатность и точные решения уравнения Буссинеска 551

Нетривиальным решением системы (25) является функция ? = ?2. Тогда
u = ?2?(x1 ) (26)
— решение уравнения (8).
Теорема 3. Уравнение (1) при n = 6 инвариантно относительно конформной
алгебры C(6) с операторами
?a , Jab = xa ?b ? xb ?a , D = xa ?a ? 4u?u ,
(27)
Ka = 2xa D ? x 2 ?a , a = 1, 6,
при условии
1
?u + u2 = 0. (28)
2
Один из анзацев, полученных при помощи операторов Ka , имеет вид
bx ? b 2 x 2
2 ?2
(29)
u = (x ) ?(?1 , ?2 ), ?1 = x0 , ?2 = ,
x4
где ba — постоянные параметры.
Подставляя (29) в (1), имеем
1
(x 2 )?2 ?11 + ? 2b 2 (x 2 )?4 ?2?2 ?22 ? 5?2 + ?2 (30)
= 0,
4b 2
т.е., как и в предыдущем случае, анзац (29) редуцирует уравнение (1) к системе
двух уравнений
1
?2 . (31)
?11 = 0, 2?2 ?22 + 5?2 =
4b 2
?1
Частным решением уравнений (31) является функция ? = ?4b 2 ?2 . Тогда
4
(? = const, ? 2 = 1) (32)
u=
x 2 ? (?x)2
— решение уравнения (1) при n = 6.

1. Olver P.J., Rosenau Ph., The construction of special solutions to partial differential equation, Rhys.
Lett. A, 1986, 114, № 3, 107–112.
2. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dodrecht, Reidel, 1987, 214 p.
3. Fushсhych W.I, Tsifra I.M., Оn геduction and solutions of nоnlinear wave equations with broken
symmetry, J. Рhуs A., 1987, 20, № 2, L45–L47.
4. Фyщич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
5. Фущич В.И., Серов Н.И., Чопик В.И., Условная инвариантность и нелинейные уравнения те-
плопроводности, Докл. АН УССР, Сер. А., 1988, № 9, 17–20.
6. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
7. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в кн. Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
8. Сlагкsоn Р.А., Кгиskаl М.D., Nеw similarity solutions of the Boussinesq equation, Рrергint, 1988.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 552–555.

On approximate symmetry and approximate
solutions of the non-linear wave equation
with a small parameter
W.I. FUSHCHYCH, W.M. SHTELEN
The concept of approximate symmetry is introduced. We describe all nonlinearities F (u)
with which the non-linear wave equation 2u + ?u3 + ?F (u) = 0 with a small parameter
? is approximately scale and conformally invariant. Some approximate solutions of wave
equations in question are obtained using the approximate symmetry.

Let us consider the non-linear wave equation

2u + ?u3 + ?F (u) = 0, (1)

where 2 = ?µ ? µ is the d’Alembertian, µ = 0, 3; ? is an arbitrary constant; ? 1
is a small parameter; u = u(x), x ? R(1, 3); F (u) is an arbitrary smooth function.
By means of Lie’s method (see [5, 4]) one can make sure that when F (u) = 0 and
F (u) = u3 , equation (1) is invariant under the Poincar? group P (1, 3) only, because
e
the term ?F (u) breaks down the scale and conformal symmetry of the equation
2u + ?u3 = 0.
Below we describe all functions F (u) with which equation (1) is approximately
invariant under the scale and conformal transformations.
Let us represent an arbitrary solution, analytic in ?, of equation (1) in the form

(2)
u = w + ?v,

where w and v are some smooth functions of x. After substitution of (2) into (1) and
equating to zero the coefficients of zero and first power of ? we get the following
system of partial differential equations (PDE):
2u + ?w3 = 0,
(3)
2v + 3?w2 v + F (w) = 0.

Definition. We shall call the approximate symmetry of equation (1) the (exact)
symmetry of the system (3).
Theorem 1. Equation (1) is approximately scale invariant (in the sense of the above
definition) if and only if
?
? 2?b u3 + 3?c u2 + au2?k ,
? k = 0, ?1,
?k + 1 k
(4)
F (u) = 2?bu3 + 3?cu2 ln u + au2 ,
? k = 0,
?
?
2?bu3 ln u ? 3?cu2 + au3 , k = ?1
J. Phys. A: Math. Gen., 1989, 22, L887–L890.
Доклады АН УССР, Сер. А, Физ.-мат. и техн. науки, 1989, № 8, 18–21.
On approximate symmetry and approximate solutions 553

(k, a, b, c are arbitrary constants), with the generator of scale transformations
having the form

D = x? ? w?w + (kv + bw + c)?v . (5)

<< Предыдущая

стр. 127
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>