<< Предыдущая

стр. 129
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ?
j?l
Sl (?aa )j?l ,
Rj = Rl (?aa ) , Sj =
l!(j ? l)! (l + 1)!(j ? l)!
l=0 l=0

Sj , Rj определяются соотношениями (6), ?a имеют вид (7).
558 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

Случай µ = 0 для алгебры AGI (1, n) требует специального рассмотрения. Кова-
2
риантными будут тензоры ?a и ?ab ; тензор ?a в записи инвариантов определяется
соотношением ?bt = ?a ?ab .
Теорема 2. Функциональный базис дифференциальных инвариантов второго
порядка алгебры AGI (1, n), µ = 0 имеет вид
M1 = ?t ? ?a ?a , M2 = ?tt ? ?at ?a , (9)
Sj , Rj = Rj (?a , ?ab ).
Базис инвариантов алгебры AGI (1, n), µ = 0:
1

?(j+1) ?(j+1) ?1
2
R j M1 , Sj M 1 , M1 M2 ,
алгебры AGI (1, n), µ = 0:
2
1 1
Rj M ? 2 (j+1) , Sj M ? 2 (j+1) ,
где Rj , Sj имеют вид (9),

M = (?t ? ?a ?a )2 + (?tt ? ?at ?a )(? + ?a ?b rab ),
{rab } = {?ab }?1 , ?a = rab ?bt .
Замечание. Вместо M1 , M2 в (9) можно использовать инварианты
· · · ?n ···
?t ?1 ?tt ?1t ?nt
· · · ?1n ···
? ?11 ? ?11 ?1n
? ?
M1 = 1t M2 = 1t
, ,
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
· · · ?nn ···
?nt ?n1 ?nt ?n1 ?nn
найденные в [5] как решение задачи о нахождении уравнений второго порядка,
инвариантных относительно алгебры Галилея при µ = 0.
Перейдем к описанию базиса инвариантов алгебры AGII (1, n).
2
Теорема 3. Любой абсолютный дифференциальный инвариант порядка f ? 2
алгебры AGII (1, n), m = 0 будет функцией следующих выражений:
? + ?? , M1 = 2im?t + ?a ?a , M1 ,?

?
M2 = ?m2 ?tt + 2im?a ?at + ?a ?b ?ab , 1
M2 , Sjk , Rj = Rj (?a , ?ab ),
?
Rj = Rj (?a + ?? , ?ab );
a 3
Rj = Rj (?a , ?ab ), a

ковариантные тензоры имеют вид
?a = im?at + ?a ?ab , ?ab .
AGII (1, n), m = 0:
1
?3?j
?1 ?2 ?2
? ? l
M1 M1 , M2 M 1 , M2 M 1 , R j M1 (l = 1, 2),
?(1+j) ?1?j ?
2
? + ?? при ? = 0,
3
M1 l ? (?+? )
при ? = 0.
R j M1 Sjk M1 ,

AGII (1, n), m = 0, ? = ? n :
2 2

?l ?3 ?
Rj Rj
N1 N2 Sjk
? n (?+?? )
4
N1 e , ?, ?2 , (l = 1, 2), ,
3+j 1+j 1+j
N1 N1 N1 N1 N1
Дифференциальные инварианты алгебры Галилея 559

где
N1 = 2im?t + ?aa + ?a ?a ,
1 1 12
N2 = ?m2 ?tt + 2im ?a ?at + ?t ?aa + ?a ?b ?ab + ?a ?a ?bb + ?,
2n aa
n n
j k
(?aa )k?r (?? )j?l?k?r + j(?aa )k (?? )j?k?1,
? r l+1?r
Slr (?n)l Ck Ck
Sjk = aa aa
l=0 r=0, r?l
j
(?n)k j!
?l Rk (?aa )j?k
l
Rj = , l = 1, 2, 3.
k!(j ? k)!
k=0

Инварианты алгебр AGII (1, n), AGII (1, n), m = 0 строятся аналогично случаю
1 2
действительной функции. Приведем функциональный базис инвариантов алгебры
AGII (1, n), m = 0
2
1) ? = 0:
?2 (Rj )2
l
2
(Sjk )2
N1 N1
?
?+? , , , , (l = 1, 2, 4);
j+1 j+1
N2 N2 N1 N1
2) ? = 0:
? (Rj )2
l
(Sjk )2
N1
? ?
4 3
? (?+? ) ? (?+? )
N1 e , , N3 e , (l = 1, 2, 3), ,
j+1 j+1
N1 N1 N1
где
N1 = (?t ? ?a ?a )2 + (?tt ? ?a ?at )(? + ?a ?b rab )
({rab } = {?ab }?1 , ?a = rab ?bt ),
N2 = (?t ? ?c ?c )?? ?? rab ? (?? ? ?? ?c )?a ?b rab ,
? ?
ab t c
N3 = ?t ? ?? ? ?a (?a ? ?? )
t a
(?a = (?b ?t + ??bt )?ab , {?ab } = {??ab + ?a ?b }?1 ),
r r
Rj = Rj (?a , ?ab ), Rj = Rj (?? , ?ab ), Rj = Rj (?a ? ?a , ?ab ),
?
1 2 3
a
(?a = (?t ? ?b ?b )(?? rac ? ?c rac ) ? ?b ?d rbd (?a ? ?a )).
? ?
4
Rj = Rj (?a , ?ab ) c

Замена (5) в приведенных инвариантах позволяет получить базисы для алгебр
AGI (1, n) и AGII (1, n) в представлениях (2) и (4). Эти результаты легко обобщить
2 2
на случай нескольких скалярных функций.
Подробные доказательства полноты и независимости найденных базисов инва-
риантов будут приведены в последующих работах.
Примеры инвариантных уравнений:
1) относительно алгебры AGI (1, n), µ = 0:
2
1 1 1 12
?tt + 2µ ?t ?aa + ?a ?at + ?a ?b ?ab + ?a ?a ?bb + ? =
2n bb
µ2 n n
= (2µ?t + ?aa + ?a ?a )2 F ;
2) относительно алгебры AGII (1, n), m = 0:
2
1
?m2 ?tt + 2im ?a ?at + ?t ?aa + ?a ?b ?ab +
n
1 12
+ ?a ?a ?bb + ? = (2im?t + ?a ?a + ?aa )F.
2n aa
n
560 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

Здесь F — произвольные функции инвариантов соответствующих алгебр.

1. Goff J.A., Transformations leaving invariant the heat equation of physics, Amer. J. Math., 1927, 49,
117–122.
2. Фущич В.И., Никитин А.Г., Нерелятивистские уравнения движения для частиц с произвольным
спином, Физика элем. частиц и атом. ядра, 1981, 12, 1157–1219.
3. Tresse A., Sur les invariants differentiels des groupes continus des transformations, Acta Math.,
1894, 18, 1–88.
4. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
5. Fushchych W.I., Cherniha R.M., The Galilean relativistic principle and nonlinear PDE, J. Phys. A,
1985, 18, 3491–3503.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 561–562.

Диференцiальнi iнварiанти алгебри
Пуанкаре та конформної алгебри
В.I. ФУЩИЧ, I.А. ЄГОРЧЕНКО
The bases of the second-order differential invariants of the Poincar? and conformal
e
algebras for a set of scalar functions in the n-dimensional Minkowsky space are
constructed. New classes of the nonlinear conformal-invariant equations are found.

Наведенi функцiональнi базиси абсолютних диференцiальних iнварiантiв дру-
гого порядку для набору з m скалярних функцiй ur = ur (x0 , x1 , . . . , xn ), n ? 3.
Алгебра Пуанкаре AP (1, n) задається базисними операторами
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ , (1)
pµ = igµ? ,
?x?
де µ, ? = 0, 1, . . . , n, пiд повторюваними iндексами мається на увазi пiдсумовування
(x? x? = x2 ? x2 ? · · · ? x2 ), gµ? = diag (1, ?1, . . . , ?1).
n
0 1
Квазiлiнiйнi iнварiанти другого порядку алгебри Пуанкаре та конформної ал-
гебри описанi в [1].
Теорема 1. Функцiональний базис диференцiальних iнварiантiв другого поряд-
ку алгебри Пуанкаре (1) для скалярної функцiї u складається з 2n + 3 iнварi-
антiв
u, Sk (uµ? ) = uµ0 µ1 · · · uµk µ0 ,
(2)
Rk (uµ , uµ? ) = uµ0 uµk uµ0 µ1 · · · uµk?1 µk , k = 0, 1, . . . , n.
?2u
?u
Тут uµ = ?xµ , ?xµ ?x? .
uµ? =
В тому, що вирази (2) є абсолютними iнварiантами алгебри AP (1, n) можна
переконатися, перевiривши, що має мiсце рiвнiсть [2]
2
X F (xµ , u, uµ , uµ? ) = 0,
2
де X — другi продовження базисних операторiв цiєї алгебри.
Доведення повноти та функцiональної незалежностi набору iнварiантiв (2) до-
сить громiздке, тому тут його наводити не будемо.
Теорема 2. Для набору з m скалярних функцiй ur базис iнварiантiв другого
порядку алгебри AP (1, n) складається з m(2n + 3) + (m ? 1) n(n?1) iнварiантiв
2

Rk (ur , u1 ) = ur 1 ur k u1 1 µ2 · · · u1 k?1 µk ,
ur , µ µ? µµ µ µ
(3)
Sjk (ur , u1 ) = u1 1 µ2 · · · u1 j?1 µ1 ur j µj+1 · · · ur k µ1 ,
µ? µ? µ µ µ µ

j = 0, . . . , k, k = 1, . . . , n + 1, r = 1, . . . , m, по r пiдсумовування немає.
Доповiдi АН УРСР, Сер. А, Фiз.-мат. та техн. науки, 1989, № 5, 21–22.
562 В.I. Фущич, I.А. Єгорченко

?
Для розширеної алгебри Пуанкаре AP (1, n) = {pµ , Jµ? , D},
D = xµ pµ + ?ur pur , (4)
(pur = i?/?ur , по r пiдсумовування вiд 1 до m) вiдповiдний базис має вигляд
коли ? = 0
ur 2 2k
, Sjk (ur , u1 )(u1 )k( ? ?1) , Rk (ur , u1 )(u1 ) ? ?k?1 ;
µ? µ? µ µ?
u1
коли ? = 0
Sjk (ur , u1 )(u1 )?k , Rk (ur , u1 )(u1 )?k ,
ur , µ? µ? ?? µ µ? ??

де Sjk , Rk визначаються спiввiдношеннями (3), j = 0, 1, . . . , k, k = 1, . . . , n + 1,
r = 1, . . . , m, по r пiдсумовування немає.
Наведемо аналогiчнi результати для конформної алгебри
AC(1, n) = {pµ , Jµ? , D, Kµ }, Kµ = 2xµ D ? x? x? pµ
(D — оператор дилатацiї (4)).
Базис iнварiантiв другого порядку алгебри AC(1, n), коли ? = 0
ur
2 2
Sjk (?µ? , ?µ? )(u1 )k( ? ?1) , , Rk (?µ , ?µ? )(u1 )k( ? ?1)?1 ,
r 1 r 1
u1
j = 0, . . . , k, k = 1, . . . , n + 1, r = 2, . . . , m, по r пiдсумовування немає.
Конформно-коварiантнi тензори мають вигляд

<< Предыдущая

стр. 129
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>