<< Предыдущая

стр. 13
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

??(1, x) + x4 , x5 , . . . , xn?1 ;
?(a, x) (a = 1, . . . , r), ?j ?(1, x) ? ?(j + 1, x) (j = 1, . . . , r ? 1),
Lr :
16
x0 ? xn , (x0 ? xn )?(1, x) + x2r+1 , µ(x; 0, 2r + 1, n),
??(1, x) + x2r+2 , x2r+3 , . . . , xn?1 ;
L17 : x1 , . . . , xn ;
x0 ? xn , x1 , . . . , xn?1 ;
L18 :
L19 : x0 , x2 , . . . , xn ;
x0 ? xn , µ(x; 0, 1, n), x2 , . . . , xn?1 ;
L20 :
x0 ? xn , µ(x; 0, 1, n), (x0 ? xn )?1 x1 ? x2 , x3 , . . . , xn?1 ;
L21 :
L22 : µ(x; 0, n), x1 , x2 , . . . , xn?1 ;
µ(x; 0, n), ? ln(x0 + xn ) ? x1 , x2 , . . . , xn?1 ;
L23 :
Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 55

(x0 ? xn )2 ? 2x1 , (x0 ? xn )3 ? 3x1 (x0 ? xn ) + 3xn , x2 , . . . , xn?1 ;
L24 :
?(1, x), (x0 ? xn )2 ? 2x3 , x4 , . . . , xn?1 ,
L25 :
(x0 ? xn )3 ? 3x3 (x0 ? xn ) + 3xn , ??(1, x) + x0 ? xn ;
?(a, x) (a = 1, . . . , r), ?j ?(1, x) ? ?(j + 1, x) (j = 1, . . . , r ? 1),
L26 :
(x0 ? xn )2 ? 2x2r+1 , (x0 ? xn )3 ? 3x2r+1 (x0 ? xn ) + 3xn ,
??(1, x) + x0 ? xn , x2r+2 , . . . , xn?1 .

§ 2. Разрешие подалгебры и их инварианты
Если n — нечетное число, то AO(1, n) обладает относительно O(1, n)-сопря-
женности только одной максимальной разрешимой подалгеброй V (1, n ? 1)+ ?
(AH(n ? 1) ? J0n ). Если n — четное число, то AO(1, n) обладает двумя макси-
мальными разрешимыми подалгебрами: AH(n), V (1, n ? 1)+ (AH(n ? 2) ? J0n ).
?
?
Максимальные разрешимые подалгебры алгебры AP (1, n) имеют вид W (0, n)+ F ,
где F — максимальная разрешимая подалгебра алгебрыAO(1, n).
В дальнейшем будем предполагать, что каждая рассматриваемая разрешимая
подалгебра алгебры AO(1, n) содержится в одной из выписанных максимальных
разрешимых подалгебр.
? ?
Пусть F — подалгебра AP (1, n). Если M ? F , то для инварианта f (x0 , x1 , . . .,
?
xn ) алгебры F выполняется равенство
?f ?f
+ = 0.
?x0 ?xn
Произведем замену переменных: x0 = y0 + yn , xn = yn , xi = yi (i = 1, . . . , n ? 1).
Очевидно,
? ? ? ? ?
+ = , P0 = , Pi = ,
?x0 ?xn ?yn ?y0 ?yi
? ? ? ?
, J0n = ?y0
Gi = y0 + yi + (y0 + yn ) .
?yi ?yn ?y0 ?yn
Поскольку
?f
= 0,
?yn
?
то инварианты F суть функции от x0 ? xn , x1 , . . . , xn?1 . Следовательно, при нахо-
?
ждении инвариантов алгебры F можно допускать, что
? ? ? ?
J0n = ?y0 ? ya
Ga = y0 , , Jab = yb ,
?ya ?y0 ?ya ?yb
? ?
(a, b = 1, . . . , n ? 1).
P0 = , Pa =
?y0 ?ya
?
Если L = N + K, то фактор-алгебру L/N будем отождествлять с алгеброй K.
Предложение 2.1. Пусть 1 ? m ? [n ? 1/2], L — ненулевая разрешимая по-
далгебра алгебры AO(1, n). Если проекция L на J0n отлична от 0, то L
?
O(1, n)-сопряжена алгебре U + F , где U = 0 или U = V (1, s), а F — подпрямая
сумма J0n и подалгебры алгебры AH(2m). Если проекция L на J0n равна
56 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

?
0, то L O(1, n)-сопряжена алгебре U + F , где U = 0 или U = V (1, s), а F —
подалгебра AH(2m) или F — подпрямая сумма подалгебры алгебры AH(2l) и
V (2l + 1, t), причем F ? V (2l + 1, t) = 0 (l ? [n ? 2/2], t ? n ? 1).
Предложение 2.1 доказывается на основании предложения 1.1 из [10] и теоремы
Витта о подпространствах псевдоевклидова пространства.
?
Предложение 2.2. Пусть L = U + F — одна из разрешимых подалгебр ал-
гебры AO(1, n), описанных в предложении 2.1. Если U = V (1, s) и проекция L
на J0n совпадает с J0n , то ПСИ алгебры L составляют µ(x; 0, . . . , s, n) и
основные инварианты абелевой алгебры L + AH(s)/U + AH(s) от переменных
x0 ? xn , xs+1 , . . . , xn?1 . Если U = V (1, s) и проекция L на J0n равна 0, то
ПСИ алгебры L составляют x0 ? xn , µ(x; 0, 1, . . . , n) и основные инварианты
абелевой алгебры L + AH(s)/U + AH(s) от переменных x0 ? xn , xs+1 , . . . , xn?1 .
Доказательство. Ранг алгебры V (1, s) равен s. Генераторы этой алгебры действу-
ют нетривиально в пространстве функций от s + 2 переменных x0 , x1 , . . . , xs , xn .
Допустим, чтo L содержит подпрямую сумму ? алгебр V (1, s), J0n и проекции
F на AH(s). Поскольку ранг ? равен s + 1, то алгебра ?, а значит и алгебра
L, имеет только один основной инвариант, зависящий от x0 , x1 , . . . , xs , xn . Им яв-
ляется функция µ(x; 0, 1, . . . , s, n). Если проекция L на J0n отлична от 0, но L
не содержит ? и J0n ? L, то согласно предложению 1.6 инвариантом алгебры L
является функция вида
[n?1/2]
?a ?(a, x) ? ln(x0 ? xn ).
a=[s+2/2]

Если проекция L на J0n равна 0, то x0 ? xn также будет инвариантом ал-
гебры L. Во всех случаях остальные инварианты суть функции от переменных
x0 ? xn , xs+1 , . . . , xn?1 . Предложение доказано.
Пусть
?(0) = M , ?(i) = M, P1 , . . . , Pi ,
?(0) = M, P0 , ?(i) = M, P0 , P1 , . . . , Pi ,
?r+1,k+1 (j) = Pr+d + ?d Pk+d | d = 1, 2, . . . , ,

где 0 < ?1 ? · · · ? ?j (1 ? j ? k ? r).
Предложение 2.3. Пусть L = V (1, k). Подпространства пространства W (0, n),
инвариантные относительно L исчерпываются относительно O(1, n)-сопря-
женности такими пространствами:
O, ?(i), ?(k), W (k + 1, t), ?(i) ? W (k + 1, t), ?(k) ? W (k + 1, t),
(2.1)
?(r) ? ?r+1,k+1 (j), ?(r) ? ?r+1,k+1 (j) ? W (k + j + 1, s),
где i = 0, 1, . . . , k; t = k + 1, . . . , n ? 1; r = 0, 1, . . . , k ? 1; j = 1, . . . , k ? r; s =
k + j + 1, . . . , n ? 1.
? ?
?
Пусть U — одно из пространств (2.1), L = U + L. ПСИ алгебры L состав-
ляют такие функции:
L : x0 ? xn , µ(x; 0, 1, . . . , k, n), xk+1 , . . . , xn?1 ;
?(i)+ L : x0 ? xn , xk+1 , . . . , xn?1 ;
?
Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 57

?
?(k)+ L : xk+1 , . . . , xn?1 ;
W (k + 1, t)+ L : x0 ? xn , µ(x; 0, 1, . . . , k, n), xt+1 , . . . , xn?1 ;
?
(?(i) ? W (k + 1, t))+ L : x0 ? xn , xt+1 , . . . , xn?1 ;
?
(?(k) ? W (k + 1, t))+ L : xt+1 , . . . , xn?1 ;
?
(?(r) ? ?r+1,k+1 (j))+ L : x0 ? xn , xk+j+1 , . . . , xn?1 ;
?
(?(r) ? ?r+1,k+1 (j) ? W (k + j + 1, s))+ L : x0 ? xn , xs+1 , . . . , xn?1 .
?
Первая часть предложения 2.3 доказана в [10]. Вторая часть доказывается по
той же схеме, что и предложение 1.1.
?
Предложение 2.4. Пусть L = V (1, k), K = L+ J0n . Подпространства про-
странства W (0, n), инвариантные относительно K, исчерпываются относи-
тельно O(1, n)-сопряженности подпространствами, инвариантными относи-
? ?
? ?
тельно L. Пусть U — пространство вида (2.1), L = U + L, K = U + K. Если из
? исключить инвариант x0 ? xn (при его наличии), то получим
ПСИ алгебры L
?
ПСИ алгебры K.
Лемма 2.1. Полную систему инвариантов алгебры
P0 + Gk + ?Gk+1 , G1 , . . . , Gk?1 , P1 , . . . , Pk?1 , Pk+1 , M
составляют функции
(x0 ? xn )2 ? 2xk , xk+2 , . . . , xn?1 (? ? 0).
Предложение 2.5. Пусть L — подалгебра алгебры M(1, n ? 1), обладающая
ненулевой проекцией на P0 , и ?1 (L) = V (1, a). Если P0 ? L, то с точностью
до P (1, n)-сопряженности, сохраняющей ?1 (L), имеем ?2 (L) = ?(b), где b ? a.
ПСИ алгебры L составляют xb+1 , . . . , xn?1 .
Если P0 ? L и a > 1, то L сопряжена алгебра
t
?
L = K+ P0 + Ga + ?i Gi ,
i=a+1

где K (как векторное пространство) — подпрямая сумма ?(a ? 1) + µW (a) +
?W (a + 1, s) (µ, ? ? {0, 1}) и V (1, a ? 1), причем ?(a ? 1) ? K и ?i Pi ? ?2 (K)
(i = a + 1, . . . , t). ПСИ алгебры L составляют такие функции: xs+1 , . . . , xn?1
при µ = ? = 1; xa+1 , . . . , xn?1 при µ = 1, ? = 0; (x0 ? xn )2 ? 2xa , xs+1 , . . . , xn?1
при µ = 0, ? = 1; (x0 ? xn )2 ? 2xa , xa+1 , . . . , xn?1 при µ = ? = 0.
Если P0 ? L и a = 1, то L сопряжена одной из алгебр
?
N = (?(0) + µW (1) + ?W (2, s))+ P0 + G1 + ?G2 ,
где µ, ? ? {0, 1}, ?P2 ? N ;
? ? {0, 1}.
N = P0 + G1 + ?W (2, s),
Если в ПСИ алгебры L положить a = 1, то получим ПСИ алгебры N .
ПСИ алгебры N составляют функции (x0 ? xn )2 ? 2x1 , (x0 ? xn )3 ? 3(x0 ?
xn )x1 + 3xn , x2 , . . . , xn?1 при ? = 0; (x0 ? xn )2 ? 2x1 , (x0 ? xn )3 ? 3(x0 ? xn )x1 +
3xn , xs+1 , . . . , xn?1 при ? = 1.
Доказательство предложения 2.5 проводим на основании предложения 3.2 из
[10].
58 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Теперь найдем основные инварианты алгебры L = X1 , . . . Xm , где
m+t
Xa = Ga + ?aj Pj (a = 1, . . . , m).
j=1

Если L — коммутативная алгебра, то в силу теоремы 1.1 можно предполагать,
что ?aj = 0 для всех j ? {1, . . . , m} и не равных a. В этом случае ПСИ алге-
бры L описывает предложение 1.3. Теперь допустим, что L — некоммутативная
алгебра. Тогда M ? L и codim L = n ? m. Очевидно, инвариантами L являются
функции x0 ? xn , xm+t+1 , . . . , xn?1 , их число равно n ? m ? t. Для нахождения не-
достающих t инвариантов от переменных x0 ? xn , x1 , . . . , xm+t перейдем в системе
дифференциальных уравнений, соответствующей алгебре L, к новым переменным
y0 = x0 ? xn , yn = xn , yi = xi (i = 1, . . . , m + t). Получаем систему дифференци-
альных уравнений
m+t
?f
?aj = 0 (a = 1, . . . , m),
?yj
j=1 (2.2)
?f
= 0,
?yn
где ?aj = ?aj при a = j, ?aa = ?aa + y0 . Решение системы (2.2) ищем в виде:
m+t
(2.3)
f= ?j yj .
j=1

Подставив f в систему (2.2), получим систему линейных алгебраических уравне-
ний
m+t
(2.4)
?aj ?j = 0 (a = 1, . . . , m).
j=1

Существуют такие значения y0 , для которых ранг матрицы системы (2.4) равен m.
В этом случае система (2.4) имеет t линейно независимых решений. Соответ-
ствующие им функции вида (2.3) являются искомыми основными инвариантами
алгебры L.
Если U — невырожденное подпространство пространства W (0, n), то через
AO(U ) обозначим алгебру Ли группы O(U ) изометрий пространства U , а через
AH(U ) — картановскую подалгебру алгебры AO(U ). Если U ? W (1, n), то будем
предполагать, что AH(U ) ? AH(n).
?
Пусть L — расщепляемая разрешимая подалгебра алгебры AP (1, n). Предло-
? ?
жения 2.3, 2.4 описывают ПСИ алгебры L в случае, когда проекция L алгебры L
?
на AO(1, n) имеет вид V (1, k) или V (1, k)+ J0n . Пусть L — вполне приводимая
алгебра. В силу предложения 2.3 из [10] L ? AH(2l) (1 ? l ? [n/2]) или L —
подпрямая сумма L1 ? AH(2m) и J0n (1 ? m ? [n ? 1/2]). Подпространство
U пространства W (0, n), инвариантное относительно L, совпадает с U1 ? U2 , где
U1 = 0 или U1 = W (1, 2r), a U2 — одно из таких пространств: 0, W (0), ?(0),
?(0), W (s, t), W (0) ? W (s, t), ?(0) ? W (s, t), ?(0) ? W (s, t). Если U = M ? U —
? ?
вырожденное пространство, то ПСИ алгебры L = U + L составляют основные
Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 59

инварианты абелевой алгебры L + AH(U )/AH(U ) ? M от переменных x0 ? xn ,
xa , где a = 1, . . . , n?1 и Pa ? U . Если U — невырожденное пространство, то ПСИ
алгебры L составляют основные инварианты абелевой алгебры L + AH(U )/AH(U )
от переменных xa , где a = 0, 1, . . . , n и Pa ? U .
? ? ?
Если речь идет о расщепляемых подалгебрах U1 + Fi , U2 + Fi , . . . , Us + Fi
?
алгебры U + F , то будем употреблять обозначение Fij = Fi : U1 , . . . , Us (j =
? ?
1, . . . , s). Пусть Fi — такая подалгебра алгебры U + F , что ее проекция на F
?i + Uj означает, что Uj ? U , [Fi , Uj ] ? Uj и Fi ? U ?
?
совпадает с Fi . Запись F
? ?
Uj . Если речь идет о нерасщепляемых алгебрах Fi + U1 , . . . , Fi + Us , то будем
? ?
употреблять обозначение Fij = Fi : U1 , . . . , Us (j = 1, . . . , s).
Предложение 2.6. Пусть
?
Ga = J0a ? Ja5 (a = 1, 2, 3, 4), AE(4) = V (1, 4)+ (AO(4) ? J05 ).

<< Предыдущая

стр. 13
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>