<< Предыдущая

стр. 14
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
?
Подалгебры алгебры AE(4) исчерпываются относительно O(1, 5)-сопряженнос-
ти такими алгебрами:
L0j = O : O, V (1), V (1, 2), V (1, 3), V (1, 4), (j = 1, . . . , 5);
L1j = J12 : O, V (3), V (1, 2), V (3, 4), V (1, 3), V (1, 4) (j = 1, . . . , 6);
?
L1j = J12 + G3 : O, V (4), V (1, 2), V (1, 2) ? V (4) (j = 1, . . . , 4);
L2j = J12 + J34 : O, V (1, 2), V (, 1, 4) (j = 1, 2, 3);
L3j = J12 + ?J34 : O, V (1, 2), V (3, 4), V (1, 4) (0 < ? < 1; j = 1, . . . , 4);
L4j = J05 : O, V (1), V (1, 2), V (1, 3), V (1, 4) (j = 1, . . . , 5);
L5j = J12 + ?J05 : O, V (3), V (1, 2), V (3, 4), V (1, 3), V (1, 4)
(? > 0; j = 1, . . . , 6);
L6j = J12 + J34 + ?J05 : O, V (1, 2), V (1, 4) (? > 0; j = 1, 2, 3);
L7j = J12 + ?J34 + ?J05 : O, V (1, 2), V (3, 4), V (1, 4)
(0 < ? < 1; ? > 0; j = 1, 2, 3, 4);
L8j = J12 , J34 : O, V (1, 2), V (1, 4) (j = 1, 2, 3);
L9j = J12 , J05 : O, V (3), V (1, 2), V (3, 4), V (1, 3), V (1, 4) (j = 1, . . . , 6);
L10j = J12 + J34 , J05 : O, V (1, 2), V (1, 4) (j = 1, 2, 3);
L11j = J12 + ?J34 , J05 : O, V (1, 2), V (3, 4), V (1, 4) (0 < ? < 1; j = 1, 2, 3, 4);
L12j = J12 + ?J05 , J34 + ?J05 : O, V (1, 2), V (3, 4), V (1, 4)
(? > 0; ? ? 0; ? > ?; j = 1, 2, 3, 4);
L12j = J12 + ?J05 , J34 + ?J05 : O, V (1, 2), V (1, 4) (? > 0; j = 1, 2, 3);
L13j = J12 , J13 , J23 : O, V (4), V (1, 3), V (1, 4) (j = 1, 2, 3, 4);
L14j = J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 : O, V (1, 4) (j = 1, 2);
L15j = J12 , J34 , J05 : O, V (1, 2), V (1, 4) (j = 1, 2, 3);
L16j = J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 ? J12 ? J34 : O, V (1, 4) (j = 1, 2);
L17j = J12 , J13 , J23 , J05 : O, V (4), V (1, 3), V (1, 4) (j = 1, . . . , 4);
L18j = J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 , J05 : O, V (1, 4) (j = 1, 2);
L19j = J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 ? J12 ? J34 + ?J05 : O, V (1, 4)
(? = 0; j = 1, 2);
L20j = J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 ? J12 ? J34 , J05 : O, V (1, 4) (j = 1, 2);
L21j = AO(4) : O, V (1, 4) (j = 1, 2);
L22j = AO(4) ? J05 : O, V (1, 4) (j = 1, 2).
Предложение 2.6 вытекает из леммы 3.4 [10] и теоремы 3 [11].
60 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Предложение 2.7. Пусть L — одна из алгебр, выписанных в предложении 2.6.
ПСИ алгебры L в пространстве M (1, 5) составляют следующие функции:
L4,5 , L5,6 , L6,3 , L7,4 , L9,6 , L10,3 , L11,4 , L12,4 , L15,3 , L17,4 , L18,2 , L19,2 , L20,2 ,
L22,2 : µ(x; 0, 1, . . . , 5);
?
L0,5 , L1,6 , L1,4 , L2,3 , L3,4 , L8,3 , L13,4 , L14,2 , L16,2 , L21,2 : x0 ? x5 , µ(x; 0, 1, . . . , 5);
L4,4 , L5,5 , L9,5 , L17,3 : µ(x; 0, 1, 2, 3, 5), x4 ;
L9,4 , L11,3 , L12,3 (? > 0): ?(1, x), µ(x; 0, 3, 4, 5);
L10,2 , L11,2 , L12,2 , L15,2 : ?(2, x), µ(x; 0, 1, 2, 5);
L17,2 : h(x; 1, 2, 3), µ(x; 0, 4, 5);
L18,1 , L19,1 , L20,1 , L22,1 : h(x; 1, 2, 3, 4), µ(x; 0, 5);
L0,4 , L1,5 , L13,3 : x0 ? x5 , x4 , µ(x; 0, 1, 2, 3, 5);
?
L1,3 : x0 ? x5 , µ(x; 0, 1, 2, 3, 5), x4 ;
L2,2 , L3,2 , L8,2 : µ(x; 0, 1, 2, 5), x0 ? x5 , ?(2, x);
L4,3 , L5,3 , L9,3 : µ(x; 0, 1, 2, 5), x3 , x4 ;
L5,4 , L7,3 : µ(x; 0, 3, 4, 5), ?(1, x), ??(1, x) ? ln(x0 ? x5 );
L12,3 (? = 0): ?(1, x), µ(x; 0, 3, 4, 5), ??(1, x) ? ln(x0 ? x5 );
L6,2 : ?(2, x), µ(x; 0, 1, 2, 5), ??(2, x) ? ln(x0 ? x5 );
L7,2 : ?(2, x), µ(x; 0, 1, 2, 5), ??(2, x) ? ? ln(x0 ? x5 );
L9,2 : ?(1, x), µ(x; 0, 3, 5), x4 ;
L13,2 : x0 ? x5 , h(x; 1, 2, 3), µ(x; 0, 4, 5);
L14,1 , L16,1 , L21,1 : h(x; 1, 2, 3, 4), x0 , x5 ;
L15,1 : ?(a, x) (a = 1, 2), µ(x; 0, 5);
L17,1 : h(x; 1, 2, 3), µ(x; 0, 5), x4 ;
L0,3 , L1,3 : x0 ? x5 , µ(x; 0, 1, 2, 5), x3 , x4 ;
L1,2 : ?(1, x), x0 ? x5 , µ(x; 0, 3, 5), x4 ;
?
L1,2 : ?(1, x), x0 ? x5 , µ(x; 0, 3, 4, 5), (x0 ? x5 )?(1, x) + x3 ;
L4,2 : µ(x; 0, 1, 5), x2 , x3 , x4 ;
L5,2 : ?(1, x), µ(x; 0, 3, 5), x4 , ??(1, x) ? ln(x0 ? x5 );
L8,1 : ?(a, x) (a = 1, 2), x0 , x5 ;
L9,1 : ?(1, x), µ(x; 0, 5), x3 , x4 ;
L10,1 : ?(a, x) (a = 1, 2), ?(1, x) ? ?(2, x), µ(x; 0, 5);
L11,1 : ?(a, x) (a = 1, 2), ??(1, x) ? ?(2, x), µ(x; 0, 5);
L12,1 : ?(a, x) (a = 1, 2), µ(x; 0, 5), ??(1, x) + ??(2, x) ? ln(x0 ? x5 );
L13,1 : h(x; 1, 2, 3), x0 , x4 , x5 ;
L0,2 : x0 ? x5 , µ(x; 0, 1, 5), x2 , x3 , x4 ;
L1,1 : ?(1, x), x0 , x3 , x4 , x5 ;
?
L1,1 : ?(1, x), x0 ? x5 , µ(x; 0, 3, 5), x4 , (x0 ? x5 )?(1, x) + x3 ;
L2,1 : ?(a, x) (a = 1, 2), ?(1, x) ? ?(2, x), x0 , x5 ;
L3,1 : ?(a, x) (a = 1, 2), ??(1, x) ? ?(2, x), x0 , x5 ;
L4,1 : µ(x; 0, 5), x1 , x2 , x3 , x4 ;
L5,1 : ?(1, x), µ(x; 0, 5), ??(1, x) + ln(x0 + x5 ), x3 , x4 ;
L6,1 : ?(a, x) (a = 1, 2), µ(x; 0, 5), ?(1, x) ? ?(2, x), ??(1, x) + ln(x0 + x5 );
L7,1 : ?(a, x) (a = 1, 2), µ(x; 0, 5), ??(1, x) ? ?(2, x), ??(1, x) + ln(x0 + x5 ).
?
Предложение 2.8. Пусть Ga = J0a ? Ja6 (a = 1, . . . , 5), AE(5) = V (1, 5)+ ?
?
(AO(5) ? J06 ). Подалгебры алгебры AE(5) исчерпываются относительно
Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 61

?
O(1, 6)-сопряженности подалгебрами алгебры AE(4) = V (1, 4)+ (AO(4) ? J06 ) ?
и такими алгебрами:
?
V (1, 5), V (1, 5)+ J06 ; J12 : V (3, 5), V (1, 5);
J12 + G5 : V (3, 4), V (1, 4); J12 + ?J06 : V (3, 5), V (1, 5) (? > 0);
J12 + J34 + ?J06 : V (5), V (1, 2) ? V (5), V (1, 5) (? ? 0);
J12 + ?J34 + ?J06 : V (5), V (1, 2) ? V (5), V (3, 5), V (1, 5) (0 < ? < 1, ? ? 0);
J12 + J34 + G5 : O, V (1, 2), V (1, 4);
J12 + ?J34 + G5 : O, V (1, 2), V (3, 4), V (1, 4) (0 < ? < 1);
J12 , J06 : V (3, 5), V (1, 5); J12 + G5 , J34 + G5 : O, V (1, 2), V (1, 4);
J12 + J34 , J06 : V (5), V (1, 2) ? V (5), V (1, 5);
J12 + ?J34 , J06 : V (5), V (1, 2) ? V (5), V (3, 5), V (1, 5) (0 < ? < 1);
J12 , J34 : V (5), V (1, 2) ? V (5), V (1, 5);
J12 + ?J06 , J34 + ?J06 : V (5), V (1, 2) ? V (5), V (3, 5), V (1, 5) (? > 0, ? ? 0,
? > ?);
J12 + ?J06 , J34 + ?J06 : V (5), V (1, 2) ? V (5), V (1, 5) (? > 0);
J12 + G5 , J34 + ?G5 : V (1, 2), V (3, 4), V (1, 4) (? ? 0, ? = 1);
J12 , J13 , J23 : V (4, 5), V (1, 5);
J12 , J34 , J06 : V (5), V (1, 2) ? V (5), V (1, 5);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14v J23 : V (5), V (1,v
+ 5);
2J12 + J34 , J13 + J24 ? 3J45 , J23 ? J14 + 3J35 : O, V (1, 5);
J12 , J13 , J23 , J06 : V (4, 5), V (1, 5);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14v J23 , J06 : V (5), V (1, 5);
+ v
2J12 + J34 , J13 + J24 ? 3J45 , J23 ? J14 + 3J35 , J06 : O, V (1, 5);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 , J12 ? J34 + ?J06 : V (5), V (1, 5) (? ? R);
J12 , J13 , J23 , J45 + ?J06 : O, V (4, 5), V (1, 3), V (1, 5) (? ? 0);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 , J12 ? J34 + G5 : O, V (1, 4);
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 , J12 ? J34 , J06 : V (5), V (1, 5);
J12 , J13 , J23 , J45 , J06 : O, V (4, 5), V (1, 3), V (1, 5);
AO(4): V (5), V (1, 5); AO(4) ? J06 : V (5), V (1, 5);
AO(5) : O, V (1, 5); AO(5) ? J06 : O, V (1, 5).
Предложение 2.8 доказывается на основании теоремы 3 из [11] и леммы 3.4
из [10].
Предложение 2.8 описывает все те подалгебры алгебры AO(1, 6), которые ос-
тавляют неизменным изотропное подпространство P0 + P6 пространства M (1, 6).
Остальные подалгебры алгебры AO(1, 6) исчерпываются относительно O(1, 6)-
сопряженности подалгебрами алгебры AO(6), несопряженными подалгебрам ал-
гебры AO(5), неприводимыми подалгебрами алгебр AO(1, 5) и AO(1, 6), а та-
кже такими алгебрами: AO(1, 2) ? L1 , L1 ? AO(4); AO(1, 3) ? L2 , L2 ? AO(3);
AO(1, 4) ? L3 , L3 ? AO(2).
Предложение 2.9. Пусть L пробегает множество представителей классов со-
пряженных разрешимых подалгебр алгебры AO(1, 6), не содержащих подалге-
?
бры алгебры AE(4). ПСИ алгебры L образуют следующие функции:
J12 + ?J34 + ?J56 : ?(a, x) (a = 1, 2, 3), ??(1, x) ? ?(2, x), ??(1, x) ? ?(3, x),
x0 , (0 < ? ? ? ? 1);
J12 + ?J56 , J34 + ?J56 : ?(a, x) (a = 1, 2, 3), x0 , ??(1, x) + ??(2, x) ? ?(3, x)
(0 ? ? ? ? ? 1; ? > 0);
J12 , J34 , J56 : ?(a, x) (a = 1, 2, 3), x0 ;
62 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

V (1, 5): x0 ? x6 , µ(x; 0, . . . , 6); V (1, 5)+ J06 : µ(x; 0, . . . , 6);
?
V (3, 5) ? J12 : ?(1, x), x0 ? x6 , µ(x; 0, 3, 4, 5, 6);
V (1, 5)+ J12 : x0 ? x6 , µ(x; 0, . . . , 6);
?
V (3, 4)+ J12 + G5 : ?(1, x), µ(x; 0, 3, 4, 5, 6), x0 ? x6 , (x0 ? x6 )?(1, x) + x5 ;
?
V (1, 4)+ J12 + G5 : x0 ? x6 , µ(x; 0, . . . , 6);
?
V (3, 5)+ J12 + ?J06 : ?(1, x), µ(x; 0, 3, 4, 5, 6), ??(1, x) ? ln(x0 ? x6 ) (? > 0);
?
?
V (1, 5)+ J12 + ?J06 : µ(x; 0, . . . , 6) (? > 0);
V (5)+ J12 + ?J34 : ?(a, x) (a = 1, 2), x0 ? x6 , ??(1, x) ? ?(2, x), µ(x; 0, 5, 6)
?
(0 < ? ? 0);
(V (1, 2) ? V (5))+ J12 + ?J34 : ?(2, x), x0 ? x6 , µ(x; 0, 1, 2, 5, 6) (0 < ? ? 1);
?
V (3, 5)+ J12 + ?J34 : ?(1, x), x0 ? x6 , µ(x; 0, 3, 4, 5, 6) (0 < ? < 1);
?
V (1, 5)+ J12 + ?J34 : x0 ? x6 , µ(x; 0, . . . , 6) (0 < ? ? 1);
?
J12 + ?J34 + G5 : ?(a, x) (a = 1, 2), x0 ? x6 , ??(1, x) ? ?(2, x), µ(x; 0, 5, 6),
(x0 ? x6 )?(1, x) + x5 (0 < ? ? 1);
V (1, 2)+ J12 + ?J34 + G5 : ?(2, x), x0 ? x6 , µ(x; 0, 1, 2, 5, 6),
?
(x0 ? x6 )?(2, x) + ?x5 (0 < ? ? 1);
V (3, 4)+ J12 + ?J34 + G5 : ?(1, x), x0 ? x6 , µ(x; 0, 3, 4, 5, 6),
?
(x0 ? x6 )?(1, x) + x5 (0 < ? < 1);
V (1, 4)+ J12 + ?J34 + G5 : x0 ? x6 , µ(x; 0, . . . , 6) (0 < ? ? 1);
?
G5 , J12 + ?J34 + ?J06 : ?(a, x) (a = 1, 2), ??(1, x) ? ?(2, x), µ(x; 0, 5, 6),
??(1, x) ? ln(x0 ? x6 ) (0 < ? ? 1; ? > 0);
G1 , G2 , G5 , J12 + ?J34 + ?J06 : µ(x; 0, 1, 2, 5, 6), ?(2, x),
??(2, x) ? ? ln(x0 ? x6 ) (0 < ? ? 1; ? > 0);
?
V (3, 5)+ J12 + ?J34 + ?J06 : µ(x; 0, 3, 4, 5, 6), ?(1, x),
??(1, x) ? ln(x0 ? x6 ) (0 < ? < 1; ? > 0);
V (1, 5)+ J12 + ?J34 + ?J06 : µ(x; 0, . . . , 6) (0 < ? ? 1; ? > 0);
?
? ?
V (3, 5)+ J12 , J06 : ?(1, x), µ(x; 0, 3, 4, 5, 6); V (1, 5)+ J12 , J06 : µ(x; 0, . . . , 6);
J12 +?J34 , J06 , G5 : ?(a, x) (a = 1, 2), µ(x; 0, 5, 6), ??(1, x)??(2, x) (0 < ? ? 1);
J12 + ?J34 , J06 , G1 , G2 , G5 : ?(2, x), µ(x; 0, 1, 2, 5, 6) (0 < ? ? 1);
?
V (3, 5)+ J12 + ?J34 , J06 : ?(1, x), µ(x; 0, 3, 4, 5, 6) (0 < ? < 1);
V (1, 5)+ J12 + ?J34 , J06 : µ(x; 0, . . . , 6) (0 < ? ? 1);
?
J12 , J34 , G5 : ?(a, x) (a = 1, 2), x0 ? x6 , µ(x; 0, 5, 6);
J12 , J34 , G1 , G2 , G5 : ?(2, x), x0 ? x6 , µ(x; 0, 1, 2, 5, 6);
V (1, 5)+ J12 , J34 : x0 ? x6 , µ(x; 0, . . . , 6);
?
J12 + ?J06 , J34 + ?J06 , G5 : ?(a, x) (a = 1, 2), µ(x; 0, 5, 6),
??(1, x) + ??(2, x) ? ln(x0 ? x6 ) (? > 0, ? ? 0);
J12 + ?J06 , J34 + ?J06 , G1 , G2 , G5 : ?(2, x), µ(x; 0, 1, 2, 5, 6) (? > 0, ? ? 0);
?
V (3, 5)+ J12 + ?J06 , J34 + ?J06 : ?(1, x), µ(x; 0, 3, 4, 5, 6) (? > 0, ? > 0, ? > ?);
V (3, 5)+ J12 +?J06 , J34 : ?(1, x), ??(1, x)?ln(x0 ?x6 ), µ(x; 0, 3, 4, 5, 6) (? > 0);
?
V (1, 5)+ J12 + ?J06 , J34 + ?J06 : µ(x; 0, . . . , 6) (? > 0, ? ? 0);
?
J12 + G5 , J34 + ?G5 : ?(a, x), (a = 1, 2), x0 ? x6 , µ(x; 0, 5, 6),
(x0 ? x6 )(?(1, x) + ??(2, x)) + x5 (? ? 0);
V (1, 2)+ J12 + G5 , J34 + ?G5 : ?(2, x), x0 ? x6 , µ(x; 0, 1, 2, 5, 6) (? ? 0);
?
V (3, 4)+ J12 + G5 , J34 + ?G5 : ?(1, x), x0 ? x6 , µ(x; 0, 3, 4, 5, 6) (? > 0, ? = 1);
?
V (3, 4)+ J12 + G5 , J34 : ?(1, x), x0 ? x6 , µ(x; 0, 3, 4, 5, 6), (x0 ? x6 )?(1, x) + x5 ;
?
V (1, 4)+ J12 + G5 , J34 + ?G5 : x0 ? x6 , µ(x; 0, . . . , 6) (? ? 0);
?
J12 , J34 , J06 , G5 : ?(a, x) (a = 1, 2), µ(x; 0, 5, 6);
Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 63

J12 , J34 , J06 , G1 , G2 , G5 : ?(2, x), µ(x; 0, 1, 2, 5, 6);
?
V (1, 5)+ J12 , J34 , J06 : µ(x; 0, . . . , 6).

§ 3. Теоремы о редукции
? — подалгебра AP (1, n), Q — фактор Леви алгебры ?(F ). В силу лем-
?
Пусть F
? ?
мы Уайтхеда предполагаем, что Q ? F . В дальнейшем условие J0n ? F будет
?
означать, что J0n не содержится ни в одной из алгебр, сопряженных алгебре F .
?
Аналогично мы понимаем условие P0 ? F . Будем также предполагать, что ка-
ждая рассматриваемая ненулевая подалгебра алгебры AO(n) является подпрямой
суммой своих неприводимых частей [11]. Это же предполагается и относительно
подалгебр алгебры AO(1, n), не имеющих в W (0, n) инвариантных изотропных
подпространств [10].
? ?
Теорема 3.1. Пусть F — такая подалгебра алгебры AP (1, n), что ?(F ) не име-
?
ет в W (0, n) инвариантных изотропных подпространств. Тогда F сопряжена
?
F = U + L, где L ? W (0, n) = 0, a U совпадает с одним из пространств: O,
?
?
W (0, k), W (1, k). ПСИ алгебры F составляют основные инварианты алгебры
?
F + AO(U )/U + AO(U ) от переменных xa , где a принимает такие значения,
что Pa ? U .
?
Доказательство. Пусть U = F ? W (0, n). По теореме Витта можно предполагать,
что U совпадает с одним из пространств, записанных в формулировке теоремы.
В [10] установлено, что если K — вполне приводимая алгебра Ли линейных пре-
образований векторного пространства V над полем R, V — неприводимый K-
подмодуль модуля V и KV = 0, то алгебра K обладает только расщепляемыми
??
?
расширениями в алгебре V + K. В силу этого F + L, где L — подпрямая сумма
? ? ?
?(F ) и ? ? W (0, n), причем [?(F ), ?] = 0. Если f (x) — инвариант F и Pi ? U , то
?i f = 0. Значит, f (x) не зависит от xi . Это и заканчивает доказательство теоремы.
Если f (x) — инвариант алгебры L ? AP (1, n), то L будем называть алгеброй
инвариантности функции f (x).
? ?
Следствие. Пусть F = U + L — алгебра, введенная в теореме 3.1. Если
? = 1, то с точностью до P (1, n)-сопряженности инвариантом алгебры
codim F
?
F является одна из следующих функций: x0 , xn , µ(x; 0, . . . , m), h(x; 1, . . . , m)
(m = 2, . . . , n). Максимальной алгеброй инвариантности для функции x0 яв-

<< Предыдущая

стр. 14
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>