<< Предыдущая

стр. 15
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ляется алгебра AE(n); для xn — AP (1, n ? 1); для µ(x; 0, . . . , m) — AO(1, m) ?
(W (m + 1, n)+ AO(m + 1 ^ n)) (m < n); для µ(x; 0, . . . , n) — AO(1, n); для
?
h(x; 1, . . . , m) — AO(m) ? (W (0) ? W (m + 1, n)+ Jab | a, b = 0, m + 1, . . . , n )
?
(m < n); для h(x; 1, . . . , n) — AO(n) ? P0 .
?
Теорема 3.2. Пусть L — подалгебра алгебры AG(n ? 1)+ J0n , обладающая
?
ненулевой проекцией на J0n . С точностью до P (1, n)-сопряженности ?1 (L) ?
L, и выполняется одно из условий:
1) проекции L на P0 и M суть нулевые;
2) P0 , M ? L;
3) M ? L и проекция L на P0 равна 0.
Если проекции L на P0 суть нулевые, то L — подпрямая сумма алгебр L1 и
L2 , удовлетворяющих одному из следующих условий: L1 = 0, L2 — подалгебра
алгебры V (1, n?1)+ ( J0n ?AO(n?1)); L1 — подалгебра W (1, n?1)+ AO(n?1),
? ?
L2 = J0n ; L1 — подалгебра W (1, k)+ AO(k), L2 — подалгебра V (k + 1, n ? 1)+
? ?
64 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

( J0n ? AO(k + 1 ^ n ? 1)) (1 ? k ? n ? 2). Пусть U = W (1, m) = L ? W (1, k). ПСИ
алгебры ? = L + AO(m)/AO(m) + U от переменных x0 , xm+1 , . . . , xn является
также полной системой инвариантов алгебры L. Алгебра ? сопряжена алгебре
T = V + F , где V = 0 или V = V (k + 1, l), a F — подпрямая сумма F1 ?
?
W (m + 1, k)+ AO(m + 1 ^ k), F2 ? AO(k + 1 ^ d) и J0n .
?
Если J0n ? F и V = 0, то ПСИ алгебры T от переменных x0 , xm+1 , . . . , xn со-
ставляют µ(x; 0, k + 1, . . . , n) и основные инварианты от переменных xm+1 , . . . ,
xk , xl+1 , . . . , xn?1 алгебры T + AO(k + 1 ^ l)/AO(k + 1 ^ l) + J0n + V .
Если J0n ? F и V = 0, то ПСИ алгебры T составляют µ(x; 0, k + 1, . . . , n)
и ПСИ алгебры T + AO(k + 1 ^ l)/AO(k + 1 ^ l) + V от переменных x0 ?
xn , xm+1 , . . . , xk , xl+1 , . . . , xn?1 .
Если P0 , M ? L, ?2 (L?M(1, n?1)) = ?(k), то полной системой инвариантов
алгебры L является ПСИ алгебры L + AO(k) + J0n + M(1, k)/AO(k) + J0n +
M(1, k) от переменных xk+1 , . . . , xn?1 .
Пусть M ? L и проекция L на P0 равна 0. Если [P0 , L ? M(1, n ? 1)] +
?2 (L ? M(1, n ? 1)) = ?(k), то при J0n ? L полную систему инвариантов алге-
бры L составляют основные инварианты алгебры L + AO(k) + M(1, k)/AO(k) +
J0n + M(1, k) от переменных xk+1 , . . . , xn?1 , а при J0n ? L — основные ин-
варианты алгебры L + AO(k) + M(1, k)/AO(k) + M(1, k) от переменных x0 ?
xn , xk+1 , . . . , xn?1 .
Доказательство. Любая подалгебра алгебры AO(n ? 1) ? J0n с ненулевой про-
екцией на J0n действует вполне приводимо на пространстве ? = M, P0 ?
Pn , G1 , . . . , Gn?1 и аннулирует в ? только нулевое подпространство. Отсюда в
силу предложения 1.1 [10] получаем, что проекция алгебры L на ? принадлежит
L. В силу теоремы 3.1 [10] можно предполагать, что ?1 (L) = V (s, t). Так как
[J0n , M ] = ?M , [J0n , Ga ] = ?Ga , [J0n , P0 ? Pn ] = P0 ? Pn , то проекция L на ?
разлагается в сумму проекций на ?1 = M, G1 , . . . , Gn?1 и на ?2 = P0 ? Pn .
Если Ga ? ?1 (L), P0 ? Pn ? L, то Pa , M ? L, а потому P0 , M, Pa , Ga ? L. Если
?1 (L) = 0 и P0 ? Pn ? L, то, применяя O(1, n)-автоморфизм алгебры AP (1, n),
соответствующий матрице

En 0
,
0 1

получаем, что M ? L.
Теперь рассмотрим случай, когда проекция L на ?2 является нулевой. Пусть
?
? — проектирование AG(n ? 1)+ J0n на AO(n ? 1). Если Ga + ?M ? ?1 и
?
[Pa , ? (L)] = 0, то, применяя автоморфизм exp(?Pa ), получаем, что Ga ? L. Если
[Pa , ? (L)] = 0, то Ga принадлежит [L, Ga + ?M ] ? L. Следовательно, M ? L или
проекция L на M является нулевой.
?
Пусть ? = V (k + 1, l)+ K, где K — подпрямая сумма J0n и подалгебра
алгебры AO(k+1 ^ l). Так как ранг ? ? l?k+1, то ПСИ алгебры ? от переменных
x0 , xk+1 , . . . , xl , xn состоит из одной функции µ(x; 0, k + 1, . . . , l, n). Отсюда и из
предложений 1.6, 1,8 вытекают утверждения теоремы об инвариантах алгебры T .
Доказательства остальных утверждений аналогичны. Теорема доказана.
?
Следствие. Пусть L — подалгебра алгебры AG(n ? 1)+ J0n , обладающая?
ненулевой проекцией на J0n . Если codim L = 1, то с точностью до P (1, n)-
Инварианты подгрупп обобщенной группы Пуанкаре P (1, n) 65

сопряженности инвариантом алгебры L является одна из функций: µ(x; 0, n),
µ(x; 0, . . . , m, n), h(x; 1, . . . , m) (m = 1, . . . , n ? 1), ? ln(x0 ? xn ) + xn?1 .
?
Максимальной алгеброй инвариантности в AG(n ? 1)+ J0n для функции ?
µ(x; 0, n) является алгебра AE(n ? 1) ? J0n ; для µ(x; 0, . . . , m, n) (m < n ?
1) — V (1, m)+ (AO(m) ? J0n )) ? (W (m + 1, n ? 1)+ AO(m + 1 ^ n ? 1)); для
? ?
h(x; 1, . . . , m) (m < n?1) — AO(m)?M(m+1, n?1)+ (AO(m+1 ^ n?1)? J0n );
?
?
для ? ln(x0 ? xn ) + xn?1 — AG(n ? 2)+ J0n + ?Pn?1 .
?
Доказательство. Пусть M ? L и проекция L на P0 равна 0. При J0n ? L
инвариантом алгебры L (с точностью до P (1, n)-сопряженности) является функция
h(x; 1, . . . , m) (1 ? m ? n?1). Если J0n ? L и инвариант отличен от h(x; 1, . . . , m),
то согласно теореме 3.2 можно предполагать, что L = J0n + ?Pn?1 , M (? > 0).
Инвариантом этой алгебры является функция ? ln(x0 ? xn ) + xn?1 .
В остальных случаях инвариантом алгебры L будет одна из функций: µ(x; 0, n),
µ(x; 0, . . . , m, n), h(x; 1, . . . , m) (m = 1, . . . , n ? 1). Следствие доказано.
? ?
Теорема 3.3. Пусть F — подалгебра алгебры AG(n ? 1), обладающая ненуле-
?
выми проекциями на AO(n ? 1) и на P0 . Тогда F сопряжена U + L, где L —
подпрямая сумма алгебр L1 и L2 , содержащихся в AO(k) и M(k + 1, n ? 1),
соответственно. U — подпространство пространства M(1, k), [L1 , U ] = U ,
[P0 , U ] ? U ; при этом, если U = 0, то ?2 (U ) = W (1, d).
?
Если U = 0 и ?1 (U ) = 0, то ПСИ алгебры F составляют основные инва-
?
рианты алгебры F + AO(d)/U + AO(d) от переменных x0 , xd+1 , . . . , xn , а если
?
?1 (U ) = 0, то ПСИ алгебры F составляют основные инварианты алгебры
?
F + AO(d)/U + M + AO(d) от переменных x0 ? xn , xd+1 , . . . , xn?1 .
Доказательство. На основании теоремы 2.3, леммы 3.1 из [12] и теоремы 3.1
?
из [10] алгебра F сопряжена U + L, где L — подпрямая сумма L1 ? AO(k) и
L2 ? M(k + 1, n ? 1), a U ? M(1, k) и [L1 , U ] = U , [P0 , U ] ? U . Если U = 0,
то в силу теоремы 3.1 [10] можно предполагать, что ?2 (U ) = W (1, d). Поскольку
[P0 , U ] ? U , то для любого инварианта f (x) алгебры U + L имеем ?i f (x) = 0 для
всех i = 1, . . . , d. Поэтому f (x) не зависит от x1 , . . . , xd . Теорема доказана.
?
Следствие. Пусть L — подалгебра алгебры AG(n ? 1), обладающая ненулевой
проекцией на P0 . Если codim L = 1, то с точностью до P (1, n)-сопряженности
инвариантом алгебры L является одна из следующих функций: h(x; 1, . . . , m)
(m = 1, . . . , n ? 1), (x0 ? xn )2 ? 2xn?1 .
?
Максимальной алгеброй инвариантности в AG(n?1) для функции h(x; 1, . . . ,
m) является алгебра AO(m) ? (M(m + 1, n ? 1)+ AO(m + 1 ^ n ? 1)), m < n ? 1, а
?
для функции (x0 ?xn ) ?2xn?1 — алгебра M(1, n?2)+ (AO(n?2)? P0 +Gn?1 ).?
2

Доказательство. Если функция h(x; 1, . . . , m) не является инвариантом алге-
бры L, то на основании предложения 2.5 и теоремы 3.3 можно допускать, что
L = M, P0 + Gn?1 , P2 , . . . , Pn?2 . Отсюда вытекает, что инвариантом алгебры L
является функция (x0 ? xn )2 ? 2xn?1 . Следствие доказано.
Предложение 3.1. Функция x0 ? xn является инвариантом каждой подалгебры
?
алгебры AG(n?1), имеющей нулевую проекцию на P0 . Максимальная алгебра
?
инвариантности для функции x0 ? xn в AG(n ? 1) совпадает с M(1, n ? 1)+
?
AO(n ? 1).
66 Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

1. Гурса Е., Iнтегрування рiвнянь з частинними похiдними першого порядку, К., Рад. шк., 1941,
415 с.
2. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн. Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
3. Фущич В.И., Серов Н.И., О точных решениях уравнения Борна–Инфельда, Докл. АН СССР,
1981, 263, № 3, 582–586.
4. Fushchych W.I., Shtelen W.M., The symmetry and some exact colutions of the relativistic eikonal
equation, Lett. Nuovo Cim., 1982, 34, 498–502.
5. Фущич В.И., Штелень В.И., Об инвариантных решениях нелинейного уравнения Дирака, Докл.
АН СССР, 1983, 269, № 1, 88–92.
6. Fushchych W.I., Shtelen W.M., On some exact solutions of the nonlinear Dirac equations, J. Phys.
A: Math. Gen., 1983, 16, 271–277.
7. Fushchyсh W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 3645–
3646.
8. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, 791–806.
9. Фущич В.И., Серова М.М., О точных решениях некоторых нелинейных дифференциальных
уравнений, инвариантных относительно групп Евклида и Галилея, В кн. Теоретико-алгебра-
ические методы в задачах математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983,
24–54.
?
10. Баранник Л.Ф., Фущич В.И., Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре P (1, n),
Препринт № 85.90, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 50 с.
11. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Непрерывные подгруппы обобщенной группы
Евклида, Укр. мат. журн., 1986, 38, 67–72.
12. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Непрерывные подгруппы обобщенной группы
Галилея. I, Препринт № 85.19, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985, 46 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 67–80.


О симметрии и точных решениях некоторых
многомерных уравнений математической
физики
В.И. ФУЩИЧ


Принцип симметрии. В настоящее время не существует конструктивных ме-
тодов решения нелинейных многомерных дифференциальных уравнений в частных
производных (ДУЧП), поэтому важной является задача выделения специальных
классов многомерных нелинейных ДУЧП, обладающих богатыми симметрийными
свойствами, для которых можно в явном виде построить многопараметрические се-
мейства частных решений и провести детальные качественные исследования этих
уравнений, а также использовать частные решения для построения эффективных
приближенных алгоритмов ДУЧП.
В современных исследованиях по математической и теоретической физике все-
возрастающую роль играют принципы симметрии. Это прежде всего связано с
тем, что основные физические законы, уравнения движения, различные модели
обладают явной или скрытой геометрической или негеометрической, локальной [1,
2] или нелокальной [3–5] симметриями. Построение математического аппарата,
способного выявить разнообразные виды симметрий, — одна из важных задач ма-
тематической физики. Не менее важной является задача, в определенном смысле
обратная к только что сформулированной: по заданной группе или алгебре и их
представлениям построить математические модели, обладающие заданной симме-
трией.
Для адекватного математического описания физических явлений естественно,
как нам представляется, поставить идеи и принципы симметрии в основу науки
о построении математических моделей [6]. Симметрийный принцип в такой нау-
ке должен играть роль правила отбора, выделяющего из множества допустимых
математических моделей (уравнений) только такие, которые обладали бы соответ-
ствующими симметрийными свойствами. Этот принцип в явном или неявном виде
используется при построении современных физических теорий, но, к сожалению,
мало используется в классической математической физике.
В некоторых случаях требование инвариантности уравнений движения отно-
сительно этой или иной группы приводит к тому, что среди множества матема-
тически допустимых уравнений заданными свойствами обладают только одно или
несколько уравнений. Так, среди множества линейных систем дифференциаль-
ных уравнений в частных производных первого порядка для двух вектор-функций
E(t, x) = {E1 , E1 , E3 }, H(t, x) = {H1 , H2 , H3 } существует единственная систе-
ма ДУЧП, инвариантная относительно группы Пуанкаре P (1, 3). Этой системой

Cборник научных трудов “Исследования по теории функций комплексного переменного с приложе-
ниями к механике сплошных сред”, Киев, Наукова думка, 1986, С. 146–160.
68 В.И. Фущич

являются уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме [5]. Ана-
логичным свойством обладает и система уравнений Дирака. Единственной (с то-
чностью до преобразований эквивалентности) линейной системой четырех ДУ-
ЧП первого порядка, инвариантной относительно группы P (1, 3), является систе-
ма Дирака [5]. Указанными свойствами обладают не только линейные уравнения
движения, но и нелинейные ДУЧП. Примером нелинейного уравнения, обладаю-
щего широкой группой симметрии, является хорошо известная система уравнений
Эйлера–Навье–Стокса (см. п. 4). Необходимо отметить, что некоторые нелиней-
ные ДУЧП обладают такими широкими группами симметрии, какими не обладает
ни одно линейное ДУЧП. Примерами таких скалярных уравнений являются мно-
гомерное уравнение Монжа–Ампера и эйкональное уравнение [7, 8].
С чисто математической точки зрения важно знать максимальные (в некотором
смысле) группы симметрии ДУЧП. Особенно ценную информацию дает знание
нелинейных преобразований независимых и зависимых переменных, относительно
которых инвариантно то или иное ДУЧП, поскольку это дает возможность по за-
данному одному (иногда тривиальному) решению построить (генерировать) целые
семейства точных решений нелинейных ДУЧП.
Таким образом, классы нелинейных ДУЧП, обладающие богатыми симметрий-
ными свойствами, представляются нам важными и интересными как в теоретиче-
ском, так и прикладном плане.
1. О точных решениях многомерного уравнения Лиувилля. Среди множе-
ства Пуанкаре-инвариантных нелинейных волновых уравнений вида
pµ pµ u + F (u) = 0, (1)
где
? ?
pa = ?i
p0 = i , , µ = 0, n,
?x0 ?xa
u ? u(x), x0 ? t,
x = (x0 , x1 , . . . , xn ),
F — произвольная дифференцируемая функция из пространства C 2 . Существу-
ет только два типа уравнений, инвариантных относительно расширенной группы
? ?
Пуанкаре P (1, n). Группа P (1, n) — группа Пуанкаре, дополненная однопараметри-
?
ческой группой масштабных преобразований D(1), т.е. P (1, n) = {P (1, n), D(1)}.
?
Теорема 1 [8]. Уравнение (1) инвариантно относительно группы P (1, n) только
в случаях
F = F1 = ? 1 u k (2)
или F = F2 = ?2 exp u,
где ?1 , ?2 , k = 1 — произвольные вещественные параметры.
В этих случаях на множестве решений (1) реализуются следующие неэкви-
?
валентные представления алгебры Ли группы P (1, n):
Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
Pµ = ig µ? p? ,
(3)
2i ?
D = xµ pµ ? при F = F1 ,
1 ? k ?u

<< Предыдущая

стр. 15
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>