<< Предыдущая

стр. 16
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
Pµ = ig µ? p? ,
(4)
?
D = xµ pµ ? 2i при F = F2 .
?u
О симметрии и точных решениях некоторых многомерных уравнений 69

Следствие 1. Из теоремы 1 вытекает, что уравнение Лиувилля является един-
ственным (в классе (1)) уравнением неполиномиального типа, инвариантным отно-
?
сительно группы P (1, n).
Замечание 1. Двумерное уравнение (1) при F = F1 = 0 или F = F2 = ?2 exp u ин-
?
вариантно относительно более широкой алгебры, чем алгебра Ли группы P (1, n).
Можно доказать [9], что в этих и только в этих двух случаях двумерное уравнение
?
(1) инвариантно относительно бесконечномерной алгебры A? ? P (1, n).
Замечание 2. Двумерное уравнение Лиувилля с помощью одной из нелокальных
подстановок [10]
C1 ? w
v
u = ln w? w? 1 ? tanh2
2
или
?w ?w
u = ln 2w? w? /(w + C2 )2 , w? = , w? = ,
?? ??
(5)
w + C3
1 + tanh2 v ? = x0 ? x1 ,
u = ln w? w? , ? = x0 + x1 ,
2
где C1 , C2 , C3 — произвольные постоянные, приводится к линейному волновому
уравнению

2? = ?pµ pµ w = 0. (6)

Зная общее решение уравнения (6)

w = f1 (x0 + x1 ) + f2 (x0 ? x1 ),

получаем решение двумерного нелинейного уравнения Лиувилля. Решение это
представим в виде (F = F2 = ?2 exp u)
?8f1 (?1 )f2 (?2 )
(7)
u = ln ,
?2 (f1 (?1 ) + f2 (?2 ))2
где ?1 = ?µ xµ , ?2 = ?µ xµ , параметры ?µ , ?µ удовлетворяют соотношениям

?µ ?µ = ?µ ? µ = 0, ?µ ? µ = 2, (8)

?f1 ?f2
f1 = , f2 = .
??1 ??2

Решение (7) совпадает с лиувиллевским решением, если положить ?1 = x0 + x1
(?0 = ?1 = 1), ?2 = x0 ? x1 (?0 = ?1 = 1). Представление решений двумерного
уравнения (1) в виде (7) имеет важное, с точки зрения обобщения, преимущество
по сравнению с лиувиллевским решением. Непосредственной проверкой можно
убедиться, что множество функций вида (7) удовлетворяет n-мерному уравнению
Лиувилля, если параметры удовлетворяют условиям типа (8).
Приведенное наблюдение подсказывает следующий способ построения частных
решений многомерного уравнения по решениям двумерного (или трехмерного)
уравнения: 1) представить (построить) решения двумерного (или трехмерного)
70 В.И. Фущич

уравнения в явно инвариантном виде, т.е. решения записать через всевозможные
инвариантные переменные ?1 , ?2 или, например,
?3 = ?µ? xµ x? , ?4 = ?µ? xµ x? , (9)
где ?µ? , ?µ? — параметры; 2) подставить явно инвариантные решения двумерного
уравнения в многомерное нелинейное ДУЧП и найти условия на параметры ?µ ,
?µ , ?µ? , ?µ? , при которых двумерные решения типа (7) являются решениями мно-
гомерного уравнения. Этот способ построения решений многомерных уравнений
по решениям двумерного и трехмерного уравнения широко использовался в [8]
для уравнения Тейлора–Даламбера (1).
Очевидно, что многомерное уравнение Лиувилля кроме решений вида (7) имеет
много других решений. Широкий класс решений многомерного уравнения Лиуви-
лля, неэквивалентных (7), построен в работе [8].
Укажем один простой способ построения частных решений четырехмерного
волнового уравнения вида
?2u ?2u ?2u ?2u
? ? (10)
+ = F (u).
?x2 ?x2 ?x2 ?x2
0 1 2 3

Ясно, что множество функций u, удовлетворяющих двумерным уравнениям
? 2 u(x0 , x) ? 2 u(x0 , x)
? (11)
= 0,
?x2 ?x2
0 1

? 2 u(x0 , x) ? 2 u(x0 , x)
? (12)
= F (u), x = (x1 , x2 , x3 ),
?x2 ?x2
2 3

будет решением уравнения (10). Множество функций u удовлетворяющих двумер-
ным уравнениям
?2u ?2u
? (13)
= 0,
?x2 ?x2
0 3

?2u ?2u
? (14)
= F (u),
?x2 ?x2
2 1

также будет решением уравнения (10).
Используя то обстоятельство, что общее решение волнового линейного уравне-
ния (11) или (13) задается через две произвольные функции f1 и f2 , т.е. решение
уравнения (11) имеет вид
u = f1 {?0 (x2 , x3 )x0 + ?1 (x2 , x3 )x1 + ?(x2 , x3 )}+
+ f2 {?0 (x2 , x3 )x0 + ?1 (x2 , x3 )x1 + ?(x2 , x3 )}, (15)
?0 ? ?1 = 0, ?0 ? ?1 = 0,
2 2 2 2


уравнение (12) сводится к решению одного двумерного уравнения для функций f1 ,
f2 , ?µ , ?, ?µ , ?. В ряде случаев такое уравнение может быть решено.
Если нелинейность в (10) имеет, например, вид
(16)
F (u) = ?1 sin u + ?2 exp u,
О симметрии и точных решениях некоторых многомерных уравнений 71

то четырехмерное уравнение (10) редуцируется к двумерным уравнениям
?2u ?2u
? (17)
= ?1 sin u,
?x2 ?x2
0 1

?2u ?2u
? (18)
= ?2 exp u.
?x2 ?x2
2 3

Все решения уравнения (18) задаются формулой (7).
2. Решения нелинейного уравнения Дирака. Рассмотрим нелинейное урав-
нение Дирака
?
?µ pµ ? ?(??)k ? = 0, (19)
µ = 0, 3,

где ?µ — матрицы Дирака, ?, k — произвольные постоянные, ? = ?(x) — че-
тырехкомпонентный спинор, x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), ? = ?(x) = ?† ?0 — сопряженный
? ?
по Дираку спинор. Уравнение (19) инвариантно относительно конформной группы
C(1, 3) ? P (1, 3) только в том случае, когда k = 1/3 [11].
Решения уравнения ищем в виде [6]

(20)
? = A(? 1 )?(? 2 ),
? ?

где A(? 1 ) — функция, зависящая от матрицы ?1 , матричные элементы которой
? ?
зависят от x. Матрица ?1 выбирается так, чтобы она была инвариантной относи-
?
тельно подгруппы конформной группы, например относительно группы Лоренца.
Требование лоренц-инвариантности может быть записано в виде

(21)
[? 1 , Jµ? ] = 0,
? Jµ? = Mµ? + Sµ? ,

i
Mµ? = xµ p? ? x? pµ , (?µ ?? ? ?? ?µ ). (22)
Sµ? =
µ

?(? 2 ) — четырехкомпонентный спинор, ?2 — скалярная инвариантная переменная
? ?
типа (8), для которой по определению выполняется

(23)
[? 2 , Mµ? ] = 0.
?

Формуле (20) можно дать простую физическую интерпретацию: решение уравне-
ния (19) представляет собой волну с “амплитудой” A(? 1 ) и “фазой” ?(? 2 ). Под-
? ?
ставим (20) в (19), получим уравнение для A(? 1 ) и ?(? 2 ). При некотором спе-
? ?
циальном виде амплитуды A(? 1 ) для ?(? 2 ) получим систему обыкновенных ДУ
? ?
относительно переменной ?2 . Можно, конечно, задать явный вид фазы ?(? 2 ), а
? ?
амплитуду искать в виде

A(? 1 ) = ?µ xµ f (? 3 ), (24)
? ?

где f (? 3 ) — произвольная функция скалярного инварианта ?3 . Для отыскания
? ?
конформно-инвариантных решений уравнения (19), следуя [12, 13], выбираем ам-
плитуду в виде
?1
?
?1 = ?µ xµ , ?1 = (xµ xµ )2 .
?4 (25)
A(? 1 ) =
? , ?
?4
?1
72 В.И. Фущич

В качестве скалярного инварианта ?2 выберем инвариант конформных преобразо-
?
ваний
?µ xµ
? ?, x? x? = 0. (26)
?2 =
?
x? x?
Формула (20) принимает вид
?µ xµ
(27)
?(x) = ?(?).
(x? x? )2
Подстановка (27) в (19) приводит к системе обыкновенных ДУ для ?(?)
d? ?
(??)1/3 (?? ? ? )?. (28)
=i ?
?
d? ?? ?
Общее решение уравнения (28) имеет вид [12]

?(?) = exp{i?k(?? ? ? )?}?, (29)
k = 1/3,

где ? — постоянный спинор.
Таким образом, получили четырехпараметрическое семейство точных решений
уравнения (19) (k = 1/3) в форме
?? x?
exp{i?k(?? ? ? )?}?, ?? ? ? > 0. (30)
?(x) =
(x? x? )2
Аналогичным способом можно построить решения систем уравнений второго
порядка для спинорных, тензорных и векторных полей:
?
(?0 ?µ ? µ + ??? ? ? )? + ?1 F (??)? = 0,
?
?
?µ = pµ + ?2 ?µ + ?3 p? Fµ + ?4 Aµ + ?5 (??µ ?);

?µ ? µ ? = m2 ?;

?F µ?
?Fµ?
pµ ? ? 6 pµ ? ? 6 = 0;
?x?
?x?

?Ei ?(?19 Ei + ?20 Hi )
+ (?17 Ek + ?18 Hk ) = 0,
?t ?xk
?Hi ?(?19 Ei + ?20 Hi )
+ (?17 Ek + ?18 Hk ) = 0,
?t ?xk
div E = div H = 0;

p? p? Aµ ? pµ (?? A? ) = 0,

<< Предыдущая

стр. 16
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>