<< Предыдущая

стр. 17
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?? ?p
p? = p? + ?7 ?? + ?8 A? + ?9 p? A? A? + ?10 p? pµ (Aµ A? A? );
?

??
?? ? ? uµ = 0, ?, µ, ?, ? = 0, 3,
?
? ?? ?
?? = ?? + ?11 u? + ?12 ?? F (u? u? ), ;
?x?
О симметрии и точных решениях некоторых многомерных уравнений 73

? ??
?0 ua + ?13 ?b ?b ua = 0,
?ub
? ?
?0 = ?0 + ?14 uc uc , ?b = ?b + ?15 ub + ?16 uc ,
?xc

где Fµ? , Aµ , Ei , Hi — тензор, вектор-потенциал, напряженности электромагни-
тного поля, uµ — вектор скорости жидкости, ?, ?1 , ?2 , . . . , ?20 — произвольные
параметры.
3. Какие уравнения описывают нелинейную теплопроводность? Процессы
тепломассопереноса описывают линейным или нелинейным уравнением вида

?u ? ?u
(31)
= c(u) + F (u), i = 1, 2, 3,
?t ?xi ?xi

u = u(t, x1 , x2 , x3 ), c(u) > 0, F (u) — произвольная дифференцируемая функция.
Групповые свойства одномерного линейного уравнения (31) (c(u) = ?1 , F (u) =
?2 u, ?1 , ?2 = const) полностью изучил еще С. Ли. Для нас важно подчеркнуть,
что в трехмерном случае линейное уравнение (31) инвариантно относительно 10-
параметрической группы Галилея G(1, 3) [5, 14].
Групповой анализ одномерного нелинейного уравнения (31) в случае F (u) = 0
осуществил Л.В. Овсянников [2]. Методом С. Ли [2] можно получить группо-
вые свойства трехмерного уравнения (31). Такие исследования были проведены
М.М. Серовой и Р.М. Чернигой. Результат их исследования таков: среди нелиней-
ных уравнений вида (31) (c(u) = const) не существует уравнений, инвариантных
относительно всей группы Галилея G(1, 3). Это означает, что для нелинейного
уравнения вида (31) (F = 0), в отличие от линейного, не выполняется принцип
относительности Галилея [6]. Если функции c и F явным образом зависят от
t, т.е. c(u, t), F (u, t), то уравнения вида (31) не будут инвариантны относитель-
но всей группы G(1, 3), но могут быть инвариантны относительно преобразова-
ний Галилея. Для таких уравнений будет иметь место принцип Галилея. Поэтому
представляется важной задача о построении классов нелинейных ДУЧП второго
порядка

u0 + F (x, u, u, u) = 0,
12

u = (u1 , u2 , . . . , un ), u = (u11 , u12 , . . . , unn ),
(32)
1 2

?2u
?u
u = u(x0 ? t, x1 , . . . , xn ),
uµ = , uµ? = , µ, ? = 0, n,
?xµ ?xµ ?x?

инвариантных относительно группы Галилея G(1, n) и группы Шредингера
Sch(1, n) ? G(1, n). Эта задача для случая n ? 3 решена М.М Серовой и ав-
тором данной работы. Решения ее приведем в виде следующих теорем.
Теорема 2. Уравнение (32) инвариантно относительно группы G(1, n) только
в таких случаях:
при n = 1

(33)
F = ?ui ui + ?1 (v1 ), v1 = ?u = u11 ;
74 В.И. Фущич

при n = 2
F = ?ui ui + ?2 (v1 , v2 ), v1 = ?u = u11 + u22 ,
(34)
u11 u12
= u11 u22 ? u12 u12 ;
v2 =
u12 u22
при n = 3
F = ?ui ui + ?3 (v1 , v2 , v3 ), v1 = ?u,
u11 u12 u11 u13 u22 u23
v2 = + + ,
u12 u22 u13 u33 u23 u33
(35)
u11 u12 u13
u12 u22 u23
v3 = ,
u13 u23 u33
?1 , ?2 , ?3 — произвольные функции из пространства C ? .
При доказательстве использована следующая реализация базисных элементов
?
расширенной алгебры Ли группы G(1, n) = {G(1, n), D(1)}:
P0 = p0 , Pa = p a , Jab = Mab ,
1 ?
Ga = x0 pa ? (36)
xa pu , pu = i , a, b = 1, n,
2? ?u
D = 2x0 p0 ? xa pa .
?
Если алгебру G(1, n) дополнить оператором A (соответствующим проективным
преобразованиям), то получим алгебру Шредингера Sch(1, n). В данном случае
12
A = x0 (x0 p0 ? xa pa ) + x pu .
4? i
?
Теорема 3. Уравнение (32) инвариантно относительно группы G(1, n) (n ? 3)
только в таких случаях:
при n = 1, F = ?ui ui + ?1 u11 ;
v2
при n = 2, F = ?ui ui + v1 ? , v1 = 0;
2 (37)
v1
v2 v3
при n = 3, F = ?ui ui + v1 ? 2; 3 .
v1 v1
Теорема 4. Уравнение (32) инвариантно относительно группы Шредингера
Sch(1, n) (n ? 3) только в таких случаях:
при n = 1, F = ?ui ui ;
1/2
F = ?ui ui + v1 v1 ? 4v2
2
при n = 2, ;
(38)
1/2
F = ?ui ui + v1 ? 3v2
2
при n = 3, ?(w),
2v1 ? 9v1 v2 + 27v3
3
2
w= , v1 = 3v2 , v1 = 0, v2 = 0.
3/2
? 3v2 )
2
(v1
О симметрии и точных решениях некоторых многомерных уравнений 75

Для всех приведенных уравнений вида (2), инвариантных относительно групп
?
G(1, n) ? G(1, n) ? Sch(1, n), выполняется принцип относительности Галилея и
справедливы законы сохранения энергии, импульса и момента количества движе-
ния. Среди множества уравнений (32) с нелинейностями (35) имеется, в частности,
v
уравнение (при ?3 = v1 , v1 = v3 = 0)

(?u)2 = 0. (39)
u0 + ?ui ui + ?1
Это уравнение эквивалентно стандартному линейному уравнению теплопроводно-
сти v0 + ?1 ?v = 0, v = ?1 /? exp ?/?1 u.
Для найденных нелинейных уравнений можно ставить те же задачи, что и
для линейного уравнения теплопроводности. Конечно, начальные или граничные
условия будут, как и в линейном случае, нарушать галилеевскую симметрию.
Замечание 1. Для более адекватного описания тепловых и диффузионных процес-
сов естественно использовать интегродифференциальные уравнения вида
?u ?u ?u
{(exp µS) ? 1}u = F (40)
u, , ,
?t ?xa ?xa
где
µ2 2
µ ?
S + ···, ? ??.
exp µS = 1 + S + S=
1! 2! ?t
1 и S 2 u < Su , уравнение (40)
В том случае, когда F = 0, а параметр µ
приближенно совпадает со стандартным уравнением теплопроводности.
Замечание 2. Группу Галилея G(1, n), дополненную группой масштабных и про-
ективных преобразований, в литературе называют группой Шредингера и обозна-
чают символом Sch(1, n). Такое название этой группы совершенно не обосновано
и несправедливо, поскольку ни в одной работе Шредингера не встречается эта
группа. Впервые эта группа, как максимальная локальная группа инвариантности
одномерного уравнения теплопроводности, установлена Софусом Ли еще в 1885 г.
Поэтому, ради справедливости, эту группу следовало бы обозначать символом
SL(1, n) и назвать специальной группой Ли.
4. Какой спин несет поле Навье–Стокса? 1. Для наших целей достаточно
рассмотреть простейший вариант системы типа Навье–Стокса [15]
?ui ?ui
(41)
+ ?1 uk + ?2 ?ui = 0, i, k = 1, 2, 3,
?t ?xk
и уравнение непрерывности
?ui
div u = (42)
= 0.
?xi
Тот факт, что система уравнений (41), (42) инвариантна относительно расши-
?
ренной группы G(1, 3), известен давно [16]. Сравнительно недавно доказано, что
?
G(1, n) является максимальной (в смысле С. Ли) группой инвариантности (МГИ)
системы (41), (42) [2, 17, 18]. Базисные элементы 11-мерной алгебры инвариантно-
сти (АИ) уравнений (41), (42) имеют следующий вид (при ?1 = 1):
? ?
I
(43)
P µ = ?µ = , ?0 = , µ = 0, 3,
?xµ ?t
76 В.И. Фущич

Mab = xa ?b ? xb ?a ,
I I I I
(44)
Jab = Mab + Sab , a, b = 1, 3,
?
GI = t?a ? (45)
,
a
?ua
?
DI = 2t?0 + xa ?a ? ua (46)
,
?ua
где
? ?
? ub
I
(47)
Sab = ua .
?ub ?ua
Провести теоретико-алгебраический анализ уравнений означает [4, 19]: 1) най-
ти алгебру инвариантности (АИ); 2) построить по АИ группу инвариантности ДУ;
3) установить, какое именно представление реализуют базисные операторы АИ. В
соответствии с работами С. Ли и Л.В. Овсянникова провести групповой анализ
ДУ означает решить только первые две задачи. Во времена С. Ли третья задача не
могла и ставиться, поскольку только в 30–50-е годы нашего столетия построена
теория представлений групп и алгебр Ли. Как нам кажется, уместно использовать
словосочетание “теоретико-алгебраический анализ уравнения”, в том случае, когда
решаются все три задачи.
Важность решения третьей задачи теоретико-алгебраического анализа ДУ пред-
ставляется нам очевидной. Действительно, если, например, провести только груп-
повой анализ уравнения Дирака (т.е. решить первые две задачи), то мы не по-
лучим существенной информации о спиновой структуре этого уравнения, т.е. не
будем знать, что система Дирака описывает частицу и античастицу со спином
1/2. Последняя информация является следствием того, что на множестве решений
уравнения Дирака реализуется прямая сумма двух неприводимых представлений
алгебры Пуанкаре P (1, 3) со спином s = 1/2 [5]. Алгебра P (1, 3) является алге-
брой инвариантности уравнения Дирака.
2. Рассмотрим линейную систему типа (41), (42) (положив ?1 = 0, ?2 = ?1)
?ui
? ?ui = 0, (48)
?t
div u = 0. (49)

В матричной записи систему (48), (49) можно представить в виде
L0 = (?t ? ?)I3 , (50)
L0 ? = 0,
? ?
? 1 ?2 ?3
L1 = ? 0 0 0 ? , (51)
L1 ? = 0,
000

где ? — вектор-функция с компонентами (u1 , u2 , u3 ), I3 — единичная матрица
3 ? 3.
Базисные элементы максимальной алгебры инвариантности системы (48), (49)
выглядят так:
?
D1 = 2x0 ?0 ? xa ?a ,
II II II
(52)
P µ = ?µ , D2 = ua ,
?ua
О симметрии и точных решениях некоторых многомерных уравнений 77

II I I I
(53)
Jab = Jab = Mab + Sab .

<< Предыдущая

стр. 17
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>