<< Предыдущая

стр. 18
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

На множестве решений уравнений (50), (51) операторы (52), (53) можно предста-
вить в виде
D1 = 2x0 ?0 ? xa ?a ,
II II II
(54)
P µ = ?µ , D2 = I3 ,
II I II
(55)
Jab = Mab + Sab ,
где 3 ? 3 матрицы Sab = Sab реализуют векторное представление алгебры Ли
II

группы вращений SO(3), т.е.
? ? ? ?
0 ?1 0 00 0
S12 = S3 = ? 1 0 0 ? , S23 = S1 = ? 0 0 ?1 ? ,
000 01 0
? ? (56)
0 01
S31 = S2 = ? 0 0 0 ? .
?1 0 0
Легко подсчитать, что квадрат спинового оператора
?(Sab )2 ? = ? S1 + S2 + S3 ? = s(s + 1)I3 ? = 2?.
II 2 2 2
(57)
Проведенный анализ представлений (54), (55) показывает, что система ДУ (48),
(49) описывает физическую систему со спином s = 1.
Замечание 1. Необходимо заметить, что линейная система Навье–Стокса (48),
(49), в отличие от нелинейной, не инвариантна относительно преобразований Га-
лилея, т.е. для нее не выполняется основной принцип механики — принцип отно-
сительности Галилея. Это обстоятельство, как нам кажется, ставит под сомнение
правомерность использования линеаризованной системы Навье–Стокса для описа-
ния реальных гидродинамических систем.
Замечание 2. Максимальной АИ системы (48), без условия (49), является 22-
мерная алгебра с базисными операторами
Jab = Mab = xa ?b ? xb ?a ,
III III
(58)
P µ = ?µ ,
? ?
GIII = 2x0 ?a + xa ub DIII = 2x0 ?0 + xa ?a + ua (59)
, ,
a
?ub ?ua
3 1 ?
AIII = x0 xµ ?µ ? (60)
+ xa xa ub ,
2 2 ?ub
?
III
(61)
Sab = ua .
?ub
Это означает, что группой инвариантности системы (48) является группа
Sch(1, 3) ? GL(3).
Замечание 3. Система (48), (49), помимо локальной группы инвариантности, по-
рождаемой операторами (52), (53), обладает нелокальной симметрией SU (2). До-
казательство этого утверждения приводится с помощью метода, описанного в ра-
ботах [3–5]. По трем базисным операторам алгебры Ли группы SU (2) можно
построить новые законы сохранения для системы (48), (49).
78 В.И. Фущич

Замечание 4. Нелинейная система (?1 = 1, ?2 = 0)

?ui ?ui
+ uk (62)
= 0,
?t ?xk

div u = 0 (63)

?
инвариантна относительно группы G(1, 3). Максимальной АИ системы (58), (59)
является алгебра Ли группы IGL(4, R) ? P (1, 3). Базисные элементы этой алгебры
имеют вид
?
J0a = xa ?0 ? ua ub
I
P µ = ?µ , Jab = Jab , ,
?ub
(64)
? ? ?
Ga = xa ?0 ? D0 = x0 ?0 ? ub
, , Da = xa ?a + ua
?ua ?ub ?ua
(в Da суммы по a нет).
Из явного вида операторов (64) следует, что система уравнений Эйлера (62),
(63) инвариантна как относительно преобразований Галилея, так и относительно
преобразований Лоренца. Таким образом, система (62), (63) является примером
уравнений, для которых выполняется как принцип относительности Галилея, так
и принцип относительности Пуанкаре–Эйнштейна.
Замечание 5. Уравнение неразрывности (42) инвариантно относительно бесконе-
чной алгебры.
3. Чтобы ответить на вопрос, вынесенный в заглавие, достаточно провести
сравнительный анализ операторов (52), (53) и (43)–(47). Совокупность всех опе-
раторов (43)–(47), в отличие от операторов (52), (53), не может быть определена
в пространстве вектор-функций {?(t, x) = столбец (u1 (t, x), u2 (t, x), u3 (t, x)}, по-
? ?
скольку GI выражается через оператор сдвига ?ua . Оператор ?ua является неогра-
a
ниченным оператором, поэтому его невозможно представить матрицей конечного
порядка.
В силу этого действия всех операторов (43)–(47) можно задать только в про-
странстве функций {? = ?(t, x1 , x2 , x3 , u1 , u2 , u3 )}, зависящих от семи перемен-
ных. Это главное отличие операторов (43)–(47) от операторов (52), (53). Конечно,
операторы (52), (53) можно задать в пространстве {?}. При этом пространство
{?} будет приводимо относительно операторов (52), (53).
Из приведенного следует, что квадрат оператора спина
2 2 2 2
I I I I
(65)
Sab = S12 + S23 + S31

в пространстве {?, t, x, u} не равен 2, но принимает бесконечно много различных
значений.
Таким образом, поле Навье–Стокса (уравнения (41), (42)) и поле Эйлера (урав-
нения (62), (63)) несут всевозможные целочисленные спины s = 0, 1, 2, . . .. Этот
результат принципиально отличен от того, что мы знаем о нелинейном уравне-
нии Дирака (19) или о нелинейном уравнении для векторного поля, или о полях
Янга–Миллса, где спин принимает либо одно, либо конечное число значений.
О симметрии и точных решениях некоторых многомерных уравнений 79

В заключение приведем пример релятивистской алгебры (содержащей в каче-
стве подалгебры алгебру P (1, 3)) операторов, которые приводят также к бесконе-
чному набору целых спинов. Совокупность таких операторов имеет вид
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? ,
P µ = ?µ , Rµ = ,
?uµ
(66)
? ? ? ?
G± ± u? ? u?
= xµ , Sµ? = uµ .
µ?
?u? ?xµ ?u? ?uµ
Часть операторов (66) инвариантна относительно замены зависимых (u(x)) и не-
зависимых переменных (x): xµ > uµ , uµ > xµ .
5. О нелиевской симметрии релятивистского уравнения Гамильтона. В
работе [26] доказано, что максимальной (в смысле С. Ли) локальной группой
инвариантности уравнения Гамильтона
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u ?u ?u
? ? ? (67)
= =0
?xµ ?xµ ?x0 ?x1 ?x2 ?x3
является конформная группа C(1, 4) в пятимерном пространстве R5 (x0 , x1 , x2 ,
x3 , x4 ) с метрикой
s2 (x, u) = x2 ? x2 ? x2 ? x2 ? u2 = x2 ? u2 . (68)
0 1 2 3 µ

В данном разделе обращается внимание на существование новой (нелиевской)
симметрии уравнения (67). Для обнаружения этого факта достаточно заметить,
что (67) можно рассматривать как алгебраическое уравнение для вектора uµ =
?u
?xµ , т.е.

?u
uµ ?
uµ uµ = 0, (69)
µ = 0, 1, 2, 3, .
?xµ
Очевидно, что уравнение (69) инвариантно относительно преобразований Лоренца
и конформных преобразований
uµ = ?µ? u? , (70)
µ, ? = 0, 1, 2, 3,

uµ ? cµ u? u?
(71)
uµ = .
1 ? 2c? u? + c? c? u? u?
Обратим внимание на то, что преобразования (70), (71) заданы в пространстве
производных R4 (u0 , u1 , u2 , u3 ), а не в пространстве R5 (x0 , x1 , x2 , x3 , u). По этой
причине симметрию уравнения (67) относительно преобразований (70), (71) нево-
зможно было обнаружить с помощью метода С. Ли. Нелокальные симметрийные
свойства уравнения (67) относительно группы (70), (71) могут быть использованы
для размножения решений, если мы знаем какое-то частное решение (67).

1. Lie S., Uber die Integration durch bestimente integrate von einer Klasse lineare partiellen Differenti-
alglaichungen, Arch. Math., 1881, 6, 328–368.
2. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
3. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения, Теор. и
мат. физика, 1971, 7, № 1, 3–12.
80 В.И. Фущич

4. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической фи-
зики, Докл. АН СССР, 1979, 246, № 4, 846–850.
5. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений Максвелла, Киев, Hayк. думка, 1983, 200 с.
6. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические
исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
7. Фущич В.И., Серов Н.И., Симметрия и точные решения многомерного уравнения Монжа–
Ампера, Докл. АН СССР, 1983, 273, № 3, 24–64.
8. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A, 1983, 16, № 15, 3645–3656.
9. Шульга М.В., О двумерных нелинейных волновых уравнениях, инвариантных относительно не-
которых алгебр Ли, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики,
Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, 84–86.
10. Фущич В.И., Тычинин В.А., О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт № 82.83, Киев, Ин-т математики, 1982, 49 с.
11. G?rsey F., On a conform-invariant spinor wave equation, Nuovo Cim., 1956, 3, № 10, 988–1006.
u
12. Fushchych W.I., Shtelen W.M., On some exact solutions of the nonlinear Dirac equation, J. Phys.
A, 1983, 16, № 2, 271–277.
13. Фущич В.И., Штелень В.М., Об инвариантных решениях нелинейного уравнения Дирака, Докл.
АН СССР, 1983, 269, № 1, 88–92.
14. Фущич В.И., Никитин А.Г., Нерелятивистские уравнения движения для частиц с произвольным
спином, Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1981, 12, вып. 3, 1157–1219.
15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Проблемы гидродинамики и их математические модели, М.,
Наука, 1973, 416 с.
16. Биркгоф Г., Гидродинамика, М., Изд-во иностр. лит., 1954, 183 с.
17. Пухначев Вл.В., Групповые свойства уравнений Навье–Стокса в плоском случае, Журн. прикл.
мех. и техн. физ., 1960, № 1, 83–90.
18. Данилов Ю.А., Групповые свойства уравнений Максвелла и Навье–Стокса, Препринт, АН СС-
СР, Ин-т атом. энергии, М., 1967, 15 с.
19. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств систем дифференциальных урав-
нений в частных производных, В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике,
Киев, Ин-т математики АН УССР, 1978, 5–44.
20. Ибрагимов Н.X., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1983, 280 с.
21. Anderson R.L., Ibragimov N.H., Lie–B?cklund transformations in applications, Philadelphia, 1979,
a
150 p.
22. Сорокин В.С., О внутреннем трении жидкостей и газов, обладающих скрытым моментом им-
пульса, Журн. эл. техн. физики, 1943, 13, 306–314.
23. Шлиомис М.И., Динамика жидких парамагнетиков, Пермь, Перм. ун-т, 1983, 68 с.
24. Славуцкий С.Л., Групповые свойства некоторых уравнений гидрогазодинамики, В кн.: Теорети-
ко-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР,
1983, 71–74.
25. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р., Групповые свойства уравнения теплопро-
водности с источником в двумерном и трехмерном случаях, Дифф. ур-ния, 1983, 19, № 7,
1215–1224.
26. Fushchych W.I., Shtelen W.M., The symmetry and some exact solutions of the relativistic eikonal
equation, Lett. Nuovo Cim., 1982, 34, № 16, 498–502.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2001, Vol. 3, 81–86.

Непрерывные подгруппы обобщенной
группы Евклида
В.И. ФУЩИЧ, А.Ф. БАРАННИК, Л.Ф. БАРАННИК

Описание подгрупповой структуры группы Ли используется при решении ряда
задач теоретической и математической физики: разделение переменных в диф-
ференциальных уравнениях в частных производных [1], построение точных ча-
стных решений нелинейных дифференциальных уравнений [2], редукция пред-
ставлений группы на подгруппы [3].
Систематическое изучение непрерывных подгрупп неоднородных групп пре-
образований квантовой механики начато в работе [4], в которой предложен общий
метод классификации относительно определенной сопряженности подалгебр коне-
чномерной алгебры Ли L с нетривиальным абелевым идеалом N и полупростой
фактор-алгеброй L/N . Этим методом проведена классификация подалгебр алгебр
Ли групп Пуанкаре P (1, 3) [4], P (1, 4) [5, 6] и групп Евклида E(3) [7], E(4) [8].
В настоящей работе дается дальнейшее уточнение общего метода из [4], позво-
ляющее свести проблему классификации относительно E(n)-сопряженности по-
далгебр алгебры Евклида LE(n) к описанию относительно O(n)-сопряженности
неприводимых частей подалгебр алгебры LO(n). В качестве применения получен-
ных общих результатов дано описание максимальных абелевых подалгебр алгебры
LE(n), n ? 2, и всех подалгебр алгебры LE(5).
Пусть R — поле вещественных чисел, Rn — n-мерное арифметическое про-
странство над R, O(n) — группа ортогональных матриц порядка n, X1 , . . . , Xs
— векторное пространство или алгебра Ли над полем R с базисом X1 , . . . , Xs .
AX
Группой Евклида E(n) называется мультипликативная группа матриц ,
01
где A ? O(n), X ? Rn . Через LG обозначим алгебру Ли группы Ли G. Алгебра
Евклида LE(n) определяется такими коммутационными соотношениями:

[Jab , Jcd ] = ?ad Jbc + ?bc Jad ? ?ac Jbd ? ?bd Jac , [Pa , Jbc ] = ?ab Pc ? ?ac Pb ,
[Pa , Pb ] = 0, Jba = ?Jab , a, b, c = 1, 2, . . . , n.

Генераторы поворотов Jab порождают алгебру LO(n), а генераторы трансляций
?
Pc — коммутативный идеал N , причем LE(n) = N +LO(n). Алгебру LO(n) мы
рассматриваем как алгебру кососимметрических матриц порядка n над R, допол-

<< Предыдущая

стр. 18
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>