<< Предыдущая

стр. 19
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ненных снизу и справа соответственно нулевой строкой и нулевым столбцом, a
P1 , P2 , . . . , Pn считаем единичными векторами векторного пространства

0X
| X ? Rn .
N=
00

При этих предположениях получаем, что если Y ? LO(n), a Z ? N , то [Y, Z] =
Y · Z.
Укр. мат. журн., 1986, 38, № 1, C. 67–72.
82 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

Пусть C — такая матрица порядка n + 1 над R, что отображение ?C : X >
CXC ?1 является автоморфизмом LE(n). Если C ? E(n), то ?C называется E(n)-
автоморфизмом. Если
?E 0
? ? R,
C= , ? > 0,
0 1
то автоморфизм ?C называется гомотетией.
Подалгебры K и K алгебры LE(n) называются E(n)-сопряженными, если
?C (K) = K для некоторого E(n)-автоморфизма ?C алгебры LE(n).
Пусть ? — проектирование алгебры LE(n) на LO(n), F — подалгебра LO(n),
? ? ?
F — такая подалгебра алгебры LE(n), что ?(F ) = F . Если алгебра F E(n)-
?
сопряжена алгебре M +F , где M есть F -инвариантное подпространство пространс-
?
тва N , то F будем называть расщепляемой в алгебре LE(n). Если любая подалге-
? ?
бра F ? LE(n), удовлетворяющая условию ?(F ) = F , является расщепляемой, то
будем говорить, что подалгебра F обладает только расщепляемыми расширениями
в алгебре LE(n).
Теорема 1. Подалгебра F ? LO(n) обладает только расщепляемыми расши-
рениями в алгебре LE(n) тогда и только тогда, когда F полупроста или не
сопряжена подалгебре алгебры LO(n ? 1).
Доказательство. Нетрудно убедится в справедливости теоремы для коммутатив-
ных подалгебр алгебры LO(n). Пусть F — некоммутативная подалгебра алгебры
LO(n), не сопряженная подалгебре алгебры LO(n ? 1). Тогда F = D ? Q, где D —
центр, Q — фактор Леви. Так как по теореме Уайтхеда полупростые алгебры обла-
дают только расщепляемыми расширениями, то можно предполагать, что Q ? F .
Если из условия [Q, X] = 0, X ? N , вытекает X = 0, то вследствие полупростоты
Q-подпространств пространства N можно утверждать, что D ? F .
Допустим, что для некоторого ненулевого элемента X ? N выполняется [Q, X]
= 0. Обозначим через M максимальное подпространство пространства N , имею-
щее свойство [Q, M ] = 0. Если dim M = n ? k, 0 < k < n, то можно предполагать,
что M = Pk+1 , . . . , Pn . Но тогда Q ? LO(k). Отсюда и из тождества Якоби выте-
кает, что [D, M ] ? M , а потому D является подалгеброй алгебры LO(k) ? LO(M ).
Пусть D — проекция D на LO(M ). Поскольку F не сопряжена подалгебре ал-
гебры LO(n ? 1), то D имеет только расщепляемые расширения в M +LO(M ). ?
Отсюда следует, что D ? F . Теорема доказана.
Пусть F = D ? Q — разложение подалгебры F ? LO(n) в прямую сумму
центра D и фактора Леви Q. Обозначим через W максимальное подпространство
N , обладающее тем свойством, что [F, W ] = 0. Если dim W = n ? k, 0 ? k < n,
то можно предполагать, что W = Pk+1 , . . . , Pn . Но тогда F ? LO(k). Отсюда
? ?
в силу теоремы 1 заключаем, что алгебра F ? LE(n) со свойством ?(F ) = F
?
допускает разложение F = V +(D ?Q), где V — подпространство N , инвариантное
?
относительно F , а D — подалгебра прямой суммы алгебр D и Pk+1 , . . . , Pn .
Алгебры типа D можно классифицировать с помощью метода Ли–Гурса [4].
Из полученных результатов вытекает, что для описания подалгебр алгебры
LE(n) важно решить вопрос о структуре подпространств пространства N , инва-
риантных относительно F ? LO(n).
Подалгебра F алгебры LO(n), n ? 2, называется неприводимой, если триви-
альное представление F в LO(n) является неприводимым.
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Евклида 83

Тривиальное представление ? ненулевой алгебры F ? LO(n) в LO(n) впол-
не приводимо: ? = diag [?1 , . . . , ?p ], где ?i — неприводимое представление F в
LO(Wi ), Wi ? N и dim Wi ? 2, i = 1, . . . , m; m ? p. Пусть Fi = {diag [0, . . . , ?i (X),
. . . , 0] | X ? F }. Очевидно, Fi — неприводимая подалгебра алгебры LO(Wi ). Ал-
гебру Fi будем называть неприводимой частью алгебры F . Если ?i и ?j суть
эквивалентные представления, то будем предполагать, что для любого X ? F
выполняется равенство ?i (X) = ?j (X).
Объединив эквивалентные неприводимые ненулевые представления, получим
ненулевые дизъюнктные примарные подпредставления представления ?. Соответ-
ствующие им подалгебры алгебры LO(n), построенные по тому же правилу, что и
неприводимые части Fi , будем называть примарными частями алгебры F .
Лемма. Пусть F — неприводимая подалгебра алгебры LO(n). Группа автомор-
?
физмов алгебры N +F разлагается в прямое произведение группы E(n)-авто-
морфизмов и группы гомотетий.
Доказательство. Пусть D ? Q — разложение F в прямую сумму центра D и
? ? ?
фактора Леви Q. Если ? — автоморфизм алгебры N +F , то ?(N +D) = N +D
и с точностью до E(n)-автоморфизмов ?(Q) = Q. Вследствие неприводимости F
имеем ?(N ) = N . Поскольку F не сопряжена подалгебре алгебры LO(n ? 1), то
на основании теоремы 1 ?(D) = D.
Так как [?(X), ?(Pj )] = ?([X, Pj ]), то для каждого X ? F матрица оператора
?(X) в базисе ?(P1 ), ?(P2 ), . . . , ?(Pn ) совпадает с матрицей оператора X в ба-
зисе P1 , P2 , . . . , Pn . Отсюда вытекает, что если B — матрица перехода от базиса
P1 , P2 , . . . , Pn к базису ?(P1 ), ?(P2 ), . . . , ?(Pn ), то BXB 1 = ?(X). Матрицу B мо-
жно записать в виде T U , где T — положительно определенная симметрическая,
a U — ортогональная матрицы. Используя лемму Шура, получаем T = ?E, где
? > 0. Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть K1 , K2 , . . . , Kq — примарные части ненулевой подалгебры F
алгебры LO(n), M — подпространство пространства N , инвариантное отно-
?
сительно F . Тогда M = M1 ? Ms ? · · · ? Mq ? M , где Mi = [Ki , Mi ] = [Ki , M ],
?
[Kj , Mi ] = 0 при j = i, M = {X ? M | [F, X] = 0}. Если примарная ал-
гебра K является подпрямой суммой неприводимых подалгебр S1 , S2 , . . . , Sr
соответственно алгебр LO(W1 ), LO(W2 ), . . . , LO(Wr ), то относительно O(n)-
сопряженности ненулевые подпространства W пространства N с условием
[K, W ] = W исчерпываются пространствами: W1 , W1 ? W2 , . . . , W1 ? W2 ? · · · ?
Wr .
Доказательство. Так как M = M ? M ? , то будем предполагать, что M = 0. Пусть
?? ?
Ki — подпрямая сумма неприводимых частей Ki1 , . . . , Kisi , Mij = [Kij , M ], ?ij —
проектированием M на Mij , i = 1, . . . , q; j = 1, . . . , si . Допустим, что ?ab (M ) = 0.
На основании леммы и теоремы Ли–Гурса [4] о подалгебрах прямой суммы алгебр
в пространстве M существует такое максимальное F -инвариантное подпространс-
тво V , что ?ab (V ) = 0 и ?cd (V ) = 0, где 1 ? c ? q, c = a, 1 ? d ? sc . Отсюда
следует, что в M существует максимальное F -инвариантное подпространство Uab
со свойством: ?ab (Uab ) = 0, ?cd (Uab ) = 0 для всех c = a, d = 1, 2, . . . , sc . Очевидно,
Ma = Uab .
Пусть примарная алгебра K является подпрямой суммой неприводимых по-
далгебр S1 , S2 , . . . , Sr соответственно алгебр LO(W1 ), LO(W2 ), . . . , LO(Wr ), где
84 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

Wi = P(i?1)k+1 , P(i?1)k+2 , . . . , Pik , i = 1, . . . , r. Если [K, W ] = W и W = 0, то
переставляя, если это необходимо, подалгебры S1 , S2 , . . . , Sr , можно предполагать,
r?1
что W содержит элементы Pj + ?j Pjk+i , i = 1, . . . , k.
j=1
Пусть
? ?
1 ?
v v
···
E 0 0 E
? 1 + ?2 ?
1 + ?2
? ?
? ?
···
? ?
0 E 0 0
? ?
. .
? ?
. .
Cj (?) = ? ?,
. . j = 1, . . . , r ? 1,
? ?
···
? ?
0 0 E 0
? ?
? ?
? ?
? ?
? 1
v v
··· ?
E 0 0 E
1 + ?2 1 + ?2

tE = diag [E, . . . , E ],
t

где E — единичная матрица порядка k. Очевидно, Cj (?) ? O(jk + k). Легко
получаем

X 0 X 0
(1)
C1 (?) = C1 (?)
0 X 0 X

для любой матрицы X порядка k и
? ? ? ?
y1 y1
?.? ?. ?
?.? ?. ?
?.? ?. ?
? yk ? ? ?
? = 1 + ?2 ? yk
C1 (?) ? ?. (2)
? ?y1 ? ?0 ?
? ? ? ?
?.? ?. ?
?.? ?. ?
. .
?yk 0

Пусть ?Aj — автоморфизм LE(rk), соответствующий матрице Aj = diag [Cj (?),
(r ? j ? 1)E]. На основании равенства(1), (2) имеем ?Aj (K) = K, и автоморфизм

?Ar?1 (?r?1 )?Ar?2 (?r?2 ) · · · ?A1 (?1 )

отображает W на W1 ?W , где W — подпространство пространства W2 ?· · ·?Wr .
Остается применить индуктивное предположение. Теорема доказана.
Известно, что LO(n) обладает относительно O(n)-сопряженности только одной
максимальной разрешимой подалгеброй, совпадающей с подалгеброй Картана K(n)
= J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m , m = [n/2]. Отсюда вытекает, что алгебра K(n) = N +
?
K(n) является максимальной разрешимой подалгеброй алгебры LE(n) и каждая
максимальная разрешимая подалгебра алгебры LE(n) сопряжена с K(n).
Очевидно, J12 — неприводимая подалгебра алгебры LO(2). Примарные части
алгебры F ? K(n) можно найти таким способом.
Непрерывные подгруппы обобщенной группы Евклида 85

Зафиксируем некоторый базис Y1 , . . . , Yt алгебры F . Если Yj — такой первый
базисный вектор F , что его проекция на J2k?1,2k отлична от нуля, то считаем,
что коэффициент при J2k?1,2k в Yj является положительным числом. В каждом
базисном элементе алгебры F соберем слагаемые с коэффициентами, равными по
модулю, вынесем за скобки модуль коэффициентов, а затем в полученных выра-
жениях выделим суммы, содержащие максимально возможное число слагаемых с
одним и тем же знаком. Пусть S = {X1 , . . . , Xl } — множество всех таких сумм,
взятых со знаком +. Если Xi и Xj имеют общие слагаемые, то из множества S
исключаем Xi , Xj и вводим Xi ?Xj , Xi ?Xi ?Xj , Xj ?Xi ?Xj , где Xi ?Xj — сумма
общих слагаемых элементов Xi , Xj . В полученном множестве снова находим нену-
левые пересечения его элементов и производим дальнейшее преобразование мно-
жества S. На конечном шаге мы получим множество {H1 , H2 , . . . , Ha }, в котором
Hi , Hj не имеют общих слагаемых при 1 ? i < j ? a. Алгебры H1 , H2 , . . . , Ha
суть примарные части алгебры F .
На основании теорем 1, 2 можно доказать такие утверждения.
Предложение 1. Каждая разрешимая подалгебра алгебры LE(n) сопряжена с
W +A, где W ? N , A — абелева подалгебра.
?
Предложение 2. Каждая нильпотентная подалгебра алгебры LE(n) является
абелевой.
Предложение 3. Пусть m = [n/2], ? = 0 при n = 2m, ? = 1 при n = 2m + 1. Ма-
ксимальные абелевы подалгебры алгебры LE(n) исчерпываются относительно
E(n)-сопряженности такими алгебрами:
P1 , P2 , . . . , Pn , J12 , J34 , . . . , J2m?1,2m , ?Pn ,
P1 , P2 , . . . , P2r , ?Pn , J2r+1,2r+2 , . . . , J2m?1,2m ,
где r = 1, 2, . . . , m ? 1. Число максимальных абелевых подалгебр алгебры LE(n)
равно m + 1.
? ?
Если речь идет об алгебрах W1 +F, . . . , Ws +F , то используем обозначение F :
W1 , . . . , Ws .
Теорема 3. Относительно E(5)-сопряженности подалгебры алгебры LE(5) ис-
черпываются такими алгебрами:
0, P1 , P2 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
J12 : 0, P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P3 , P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 ,
P 1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
J12 + ?J34 : 0, P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P5 , P3 , P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 ,
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , 0 < ? < 1;
J12 + J34 : 0, P5 , P1 , P2 , P1 , P2 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
J12 , J34 : 0, P5 , P1 , P2 , P1 , P2 , P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
J12 , J13 , J23 : 0, P4 , P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
J12 + J34 , J13 ? J24 , J14v J23 : 0, P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
+ v
2J12 + J34 , J13 + J24 ? 3J45 , J23 ? J14 + 3J35 : 0, P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
J12 +J34 , J13 ?J24 , J14 +J23 , J12 ?J34 : 0, P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
J12 , J13 , J23 , J45 : 0, P4 , P5 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
LO(4): 0, P5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
LO(5): 0, P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ;
J12 + aP5 : 0, P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P1 , P2 , P3 , P4 , a > 0;
86 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник

J12 + ?J34 + aP5 : 0, P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , 0 < ? < 1, a > 0;
J12 + J34 + aP5 : 0, P1 , P2 , P1 , P2 , P3 , P4 , a > 0;
J12 + aP5 , J34 + bP5 : 0, P1 , P2 , P3 , P4 , P1 , P2 , P3 , P4 , a > 0, b ? 0;
J12 ? J34 + aP5 , J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 : 0, P1 , P2 , P3 , P4 , a > 0.
Теорема 3 доказывается на основании теорем 1, 2 с использованием предложен-
ного алгоритма для нахождения примарных частей подалгебр подалгебры Картана
K(n). Как видно из теоремы 3, алгебра LO(5) обладает двумя неприводимыми
v v
подалгебрами: LO(5), 2J12 + J34 , J13 + J24 ? 3J45 , J23 ? J14 + 3J35 .

1. Миллер У., Симметрия и разделение переменных, М., Мир, 1981, 342 с.
2. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
3. Никитин А.Г., Фущич В.И., Юрик И.И., Редукция неприводимых унитарных представлений

<< Предыдущая

стр. 19
(из 145 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>